1、第三章指数函数和对数函数5对数函数第5.1对数函数的概念第5.2对数函数y=log2x的图像和性质第5.3对数函数的图像和性质第1课时对数函数的图像与性质基础过关练题组一对数函数的概念1.下列函数表达式中,是对数函数的有()y=logx2;y=logax(aR);y=log8x;y=ln x;y=logx(x+2);y=2log4x;y=log2(x+1).A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知函数f(x)=loga(x+2)(a0,且a1),若其图像过点(6,3),则f(2)的值为()A.-2 B.2C.12 D.-123.设集合A=x|y=lg x,B=y|y=lg x,则下列关系中正确
2、的是()A.AB=A B.AB=C.A=B D.AB4.(2021广东东莞七校高一上联考)函数f(x)=log2(x-1)+4-x的定义域为.(结果用区间表示)5.已知对数函数f(x)的图像过点(4,2),求f 12及f(2lg 2)的值.题组二与对数函数图像有关的问题6.为了得到函数f(x)=log2x的图像,只需将函数g(x)=log2x8的图像()A.向上平移3个单位长度B.向下平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度D.向右平移3个单位长度7.(2020陕西延安吴起高中高一上期中)函数y=|lg(x+1)|的图像是()8.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角
3、坐标系中的图像大致是()9若点(a,b)在函数f(x)=ln x的图像上,则下列点中,不在函数f(x)图像上的是()A.1a,-b B.(a+e,1+b)C.ea,1-b D.(a2,2b)10.(2021江西南昌五校高一上期中联考)函数f(x)=4+loga(x-1)(a0,且a1)的图像过一定点,则这个定点坐标是()A.(2,4) B.(4,2)C.(1,4)D.(2,5)11.如图所示,曲线是对数函数y=logax(a0,a1)的图像,已知a取2,53,25,310,则对应C1,C2,C3,C4的a值依次为()A.2,53,25,310 B.2,53,310,25C.53,2,25,31
4、0 D.53,2,310,25题组三与对数函数单调性有关的问题12.函数y=log2|x-2|在区间(2,+)上的单调性为()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减13.已知函数f(x)=loga|x+1|在(-1,0)上有f(x)0,那么()A.f(x)在(-,0)上是增函数B.f(x)在(-,0)上是减函数C.f(x)在(-,-1)上是增函数D.f(x)在(-,-1)上是减函数14.(2020浙江91高中联盟高一上期中)若ab0,0ccb B.logcalogcbC.acbc D.logac0且a1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.17.设函数f(
5、x)=loga1-ax,其中0a1,求x的取值范围.18.若函数y=log12(x2-ax+a)在区间(-,2)上是增函数,求实数a的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2019江西赣州十四县(市)高一上期中联考,)函数y=loga(x-1)+loga(x+1)(a0,且a1)的图像必过定点()A.(3,0)B.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)2.()设a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a、b、c的大小关系是()A.abcB.bcaC.bacD.cab)的图像如图所示,则函数g(x)=loga(x-b)的图像大致是()4.(2019安徽宿州十三所重点
6、中学高一上期中,)为了得到函数y=log4x-34的图像,只需把函数y=12log2x图像上的所有点()A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度5.(2019黑龙江哈尔滨三中高一上第一模块测试,)函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是()A.(-,-3) B.(1,+)C.(-,-1) D.(-1,+)6.()若0af(2)f13 B.f13f(2)f14C.f14f13f(2) D.f(2)f13f14二、填空题7.()已知函数f
7、(x)=lg(x2+2ax-5a)在2,+)上是增函数,则a的取值范围为.8.()函数f(x)=4-x2x-1+log12(x+1)的定义域是.9.()已知函数f(x)=logax,01对定义域中任意的x1,x2,当x1f(x2)成立,则实数a的取值范围是.三、解答题10.()已知函数f(x)=ax-1(a0,且a1).(1)若函数y=f(x)的图像经过点P(3,4),求a的值;(2)比较flg1100与f(-2.1)的大小,并写出比较过程;(3)若f(lg a)=100,求a的值.11.()已知函数f(x)=1x+lg4-xx.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)在定义域内的单调
8、性,并根据函数单调性的定义证明;(3)解关于x的不等式f12x(3-x)-1-lg 30.答案全解全析第三章指数函数和对数函数5对数函数第5.1对数函数的概念第5.2对数函数y=log2x的图像和性质第5.3对数函数的图像和性质第1课时对数函数的图像与性质基础过关练1.B2.B3.D6.A7.A8.C9.B10.A11.C12.C13.C14.B1.B中,自变量出现在底数,不是对数函数;中,底数aR不能保证a0,且a1,不是对数函数;由于的真数分别为x+2,x+1,也不是对数函数;中,log4x的系数为2,也不是对数函数;只有符合对数函数的定义.故选B.2.B将(6,3)代入函数f(x)的解析
9、式,得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,a=2,f(x)=log2(x+2),f(2)=log2(2+2)=2.3.D因为A=x|y=lg x表示函数y=lg x的定义域,即A=(0,+),B=y|y=lg x表示函数y=lg x的值域,即B=R,所以AB,故选D.4.答案(1,4解析要使函数f(x)=log2(x-1)+4-x有意义,则x-10,4-x0,解得10,且a1),则2=loga4,故a=2,则f(x)=log2x,因此f12=log212=-1, f(2lg 2)=log22lg 2=lg 2.6.A因为函数g(x)=log2x8=log2x-log28=log2x
10、-3,所以只需将函数g(x)=log2x8的图像向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2x的图像,故选A.7.A由题意,函数y=|lg(x+1)|的定义域为x(-1,+),其中,当x=0时,y=|lg(0+1)|=|lg 1|=0.故选A.8.Cf(x)=1+log2x的图像是由y=log2x的图像向上平移1个单位长度得到的,且过点(1,1),g(x)=2-x+1=12x-1的图像是由y=12x的图像向右平移1个单位长度得到的,且过点(0,2),故只有C选项中的图像符合.9.B因为点(a,b)在f(x)=ln x的图像上,所以b=ln a,所以-b=ln1a,1-b=lnea,2b
11、=2ln a=ln a2,故选B.10.A令x-1=1,则x=2,此时f(2)=4+loga1=4,所以函数f(x)=4+loga(x-1)(a0,且a1)的图像恒过定点(2,4),故选A.11.C解法一:C1,C2对应的对数函数的底数都大于1,当x1时底数大的图低,所以C1,C2对应的a分别为53,2,C3,C4对应的对数函数的底数都小于1,当x2时,函数f(x)=log2|x-2|=log2(x-2),又函数y=log2u是增函数,u=x-2在区间(2,+)上也是增函数,故y=log2|x-2|在区间(2,+)上单调递增,故选C.13.C当x(-1,0)时,|x+1|(0,1).loga|
12、x+1|0,0a1.画出f(x)的大致图像如图,由图可知选C.14.B解法一:0cb0,cacb,故A错误;0cb0,logcalogcb,故B正确;0cb0,acbc,故C错误;0cb1时,logaclogbc,故D错误.故选B.解法二:特殊值法.取a=4,b=2,c=12,则ca=116,cb=14,cabc,排除C;logac=-12,logbc=-1,logaclogbc,排除D;易知选B.15.答案(2,+)解析函数f(x)=ln(x2-4)的定义域为(-,-2)(2,+),令t=x2-4,则函数t=x2-4在(-,-2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,又函数y=ln t单调递增
13、,所以函数f(x)=ln(x2-4)在(-,-2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.易错提醒求与对数函数有关的复合函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则,即在函数的定义域范围内求单调区间.16.解析(1)由题知,ax-10,即ax1,当a1时,ax1的解集是(0,+);当0a1的解集是(-,0);所以当a1时,f(x)的定义域是(0,+);当0a1时,y=logau是增函数,u=ax-1是增函数,从而函数f(x)=loga(ax-1)在(0,+)上是增函数,同理,当0a1时,函数f(x)=loga(ax-1)在(-,0)上是增函数.17.解析(1)证明:任取x1,x2(a,+),且令0a
14、x1x2,g(x)=1-ax,则g(x1)-g(x2)=1-ax1-1-ax2=a(x1-x2)x1x2.0ax1x2,x1-x20,g(x1)-g(x2)0,g(x1)g(x2),g(x)为增函数,又0a1,01-axa,1-aax1,又0a0,ax0,x+10得x1,y=loga(x-1)+loga(x+1)(a0,且a1)的定义域为(1,+),y=loga(x2-1)(a0,且a1,x1).令x2-1=1,得x2=2,又x1,x=2.当x=2时,y=loga(2)2-1=0,因此y=loga(x-1)+loga(x+1)的图像必过定点(2,0),故选C.2.C由y=log0.7x是减函数
15、,且0.70.8log0.70.8log0.71,即0a1;由y=log1.1x是增函数,且0.91得,log1.10.9log1.11=0,即b0得,1.10.91.10=1,即c1.因此,ba1,-1b1,-1b0,则0-b1,取x=0,得g(0)=loga(-b)0,x1或x-3.设t=x2+2x-3,t=x2+2x-3在(-,-3)上是减函数,在(1,+)上是增函数,且y=log2t在(0,+)上是增函数,函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是(-,-3),故选A.6.C因为0a1,所以f(2)=|loga2|=-loga12=loga12,f13=loga13=loga1
16、3,f14=loga14=loga14.因为0a1,所以loga12loga13f13f(2),故选C.二、填空题7.答案-2,4)解析由函数f(x)=lg(x2+2ax-5a)在2,+)上是增函数,可得-a2,4+4a-5a0,解得-2a0,即-2x2,x1,x-1,解得-1x2,且x1.故函数f(x)的定义域是(-1,1)(1,2.9.答案0,27解析依题意得函数f(x)在定义域内递减,则0a1,3a-10,loga1(3a-1)1+a2,解得00,a=2.(2)当a1时, flg1100f(-2.1);当0a1时, flg11001时,y=ax在(-,+)上为增函数,-3-3.1,a-3
17、a-3.1,即flg1100f(-2.1);当0a-3.1,a-3a-3.1,即flg11000,x0,解得0x4,因此函数f(x)的定义域为(0,4).(2)f(x)在区间(0,4)上单调递减.下面给予证明:任取x1,x2(0,4),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1x1+lg4-x1x1-1x2-lg4-x2x2=x2-x1x1x2+lg4x2-x1x24x1-x1x2.0x1x20,4x2-x1x24x1-x1x2,4x2-x1x24x1-x1x21,lg4x2-x1x24x1-x1x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在区间(0,4)上单调递减.(3)f(1)=1+lg 3,原不等式等价于f12x(3-x)f(1).由题(2)知, f(x)在(0,4)上单调递减,012x(3-x)0得x(x-3)0,解得0x3.由12x(3-x)0,解得x2,原不等式的解集为(0,1)(2,3).