1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.圆C1:x2+y2-6y=0和圆C2:x2+y2-8x+12=0的位置关系是()A.相交B.外切C.内切D.相离2.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.若将直线3x-y+c=0向右平移1个单位再向下平移1个单位,平移后的直线与圆x2+y2=10相切,则c的值为()A.14或-6B.12或-8C.8或-12D.6或-144.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为()A.y-2=0B.
2、x+2y-5=0C.2x-y=0D.x-1=05.空间直角坐标系中,点A(3,4,0)和点B(1,y,5)的距离为35,则y的值为()A.0B.8C.0或8D.-8或06.若圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.x+y-1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0D.x-y+1=07.若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.(-3,3)B.-3,3C.-33,33D.-33,338.已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点,且AOB为等腰直
3、角三角形,则实数a的值为()A.6或-6B.5或-5C.6D.59.直线l:kx-y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A,B两点,且|AB|=42,过点A,B分别作l的垂线与y轴分别交于点M,N,则|MN|等于()A.22B.4C.42D.810.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过点(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=011.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x
4、=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过定点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)12.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使OMN=30,则x0的取值范围为()A.-1,1B.-3,3C.-33,33D.-22,22二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若点P(x,y)满足x2+y2=16,则x-y的最大值为.14.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为.15.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r0)上存在点P,且
5、点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是.16.已知P为圆A:(x-4)2+y2=4上一动点,Q为圆B:(x-6)2+(y-4)2=1上一动点,O为坐标原点,则|PO|+|PQ|+|PB|的最小值为.三、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)已知圆C过点P(2,1),圆心为C(5,-3).(1)求圆C的标准方程;(2)如果过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C没有公共点,求k的取值范围.18.(12分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且圆心C在直线x+y-1=0上.(1)求圆C的方程;(2)若直线lPQ,且l与圆C
6、交于A,B两点,以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.19.(12分)装修房间时,准备在过道顶部设计如图所示的圆弧造型.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出圆弧所在圆的方程;(2)现有一个长方体形的冰箱,其长、宽、高分别为100 cm,80 cm,180 cm,用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道?20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(0,3),设圆C的半径长为1,圆心C(a,b)在直线l:y=2x-4上.(1)若圆心C也在直线y=-x+5上,求圆C的方程;(2)在上述的条件下,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(3)若圆C上存在点M,使|MA|=|MO
7、|,求圆心C的横坐标a的取值范围.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.22.(12分)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(2,0),动点M(x,y)满足|MA|MB|=12,设动点M的轨迹为曲线C.(1)求动点M的轨迹方程,并
8、说明曲线C是什么图形;(2)过点(1,2)的直线l与曲线C交于E,F两点,若|EF|=455,求直线l的方程;(3)设P是直线x+y+8=0上的点,过点P作曲线C的切线PG,PH,切点分别为G,H,设C(-2,0),求证:过G,P,C三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.本章达标检测1.B2.C3.A4.B5.C6.A7.D8.B9.D10.B11.A12.B一、选择题1.B把圆C1的方程化成标准方程,得x2+(y-3)2=9,圆心C1(0,3),半径长r1=3,把圆C2的方程化成标准方程,得(x-4)2+y2=4,圆心C2(4,0),半径长r2=2,圆心距|C1C2|=42+(-3)2=5
9、,|C1C2|=r1+r2,两圆相外切.故选B.2.C易得圆心坐标为(-1,-2),半径长r=124+16+12=22,又圆心到直线x+y+1=0的距离d=|-1-2+1|2=2,过圆心且平行于直线x+y+1=0的直线与圆有2个交点,另一条与直线x+y+1=0的距离为2的平行线与圆相切,只有1个交点,共有3个点.3.A将直线3x-y+c=0,即y=3x+c向右平移1个单位再向下平移1个单位,平移后的直线方程为y=3(x-1)+c-1,即3x-y+c-4=0.由直线3x-y+c-4=0与圆x2+y2=10相切,得|0-0+c-4|32+(-1)2=10,即|c-4|=10,所以c=14或c=-6
10、.4.B由圆的性质可知,当弦垂直于过P的直径时弦长最短,圆x2+y2=9的圆心为(0,0),过点P(1,2)的直径所在直线的斜率为2,故由垂直关系可得所求弦所在直线的斜率为-12,故该弦所在直线的方程为y-2=-12(x-1),化为一般式可得x+2y-5=0.故选B.5.C由两点间的距离公式,得|AB|=(3-1)2+(4-y)2+(0-5)2=35,解得y=0或y=8.6.A将圆的方程x2+y2-2x-5=0,x2+y2+2x-4y-4=0化为(x-1)2+y2=6,(x+1)2+(y-2)2=9.设两圆圆心分别为C1,C2,则C1(1,0),C2(-1,2).线段AB的垂直平分线必经过C1
11、,C2,所以直线C1C2为线段AB的垂直平分线,直线C1C2的方程为x+y-1=0.7.D作图如下,易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心(1,0)到直线kx-y-3k=0的距离应小于或等于半径长1,即|-2k|1+k21,解得-33k33.8.B由题意知,圆心O到直线AB的距离为1,即|a|12+(-2)2=1,解得a=5.9.D圆x2+y2=8的圆心为(0,0),半径长r=22,因为|AB|=42=2r,所以AB为圆x2+y2=8的一条直径.所以直线AB过圆心(0,0),所以k=-1,则直线l的方程为y=-x,所以两条垂线的斜率均为1,倾斜角为
12、45,结合图象(图略)易知|MN|=2222=8.10.B当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,联立x=0,x2+y2-2x-2y-2=0,解得x=0,y=1-3或x=0,y=1+3,|AB|=23,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,圆x2+y2-2x-2y-2=0可化为(x-1)2+(y-1)2=4,圆心为C(1,1),半径长r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1,又d2+|AB|22=r2,(k+2)2k2+1+3=4,解得k=-34,直线l的方程为y=-34x+3,即3x+4y-12=0.综上
13、,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=0.11.A依题意得圆C的半径长r=4212+12=4,所以圆C的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,OP.因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OAAP,OBBP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),bR,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y-b22=42+b22,bR,化简得x2+y2-8x-by=0,bR,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,bR,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过定点(2,0).12.B易知M(x0,1)在直线y=1上,设圆x2+y
14、2=1与直线y=1的交点为T,显然若存在点N,使得OMN=30,则必有OMNOMT,所以要是圆上存在点N,使得OMN=30,只需OMT30,因为T(0,1),所以只需在RtOMT中,tanOMT=|OT|TM|=1|x0|tan 30=13,解得-3x03,且x00.当x0=0时,显然满足题意,故x0-3,3.故选B.二、填空题13.答案42解析令x-y=t,则y=x-t,将其代入x2+y2=16,得2x2-2tx+t2-16=0,所以=4t2-8(t2-16)0,所以t232,所以t的最大值为42,即x-y的最大值为42.14.答案(0,-1)解析圆C的方程可化为x+k22+(y+1)2=-
15、34k2+1,所以当k=0时,圆C的面积最大,此时圆心C的坐标为(0,-1).15.答案2-1,2+1解析C2关于直线x-y=0的对称圆为圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,因为C(1,2),C1(0,1),所以|CC1|=(1-0)2+(2-1)2=2.由题意知,圆C与圆C1有交点,所以|r-1|2r+1,所以r的取值范围是2-1,2+1.16.答案9解析P为圆A:(x-4)2+y2=4上一动点,Q为圆B:(x-6)2+(y-4)2=1上一动点,O为坐标原点,取C(3,0),连接PC,PA,BC,则|AC|AP|=|AP|AO|=12,ACPAPO,|PO|=2|PC|,|PO|+|PQ|
16、+|PB|PO|+2|PB|-1=2|PC|+2|PB|-12|BC|-1=2(6-3)2+(4-0)2-1=9.故答案为9.三、解答题17.解析(1)由已知可得圆的半径长为|PC|=(5-2)2+(-3-1)2=5.圆C的标准方程为(x-5)2+(y+3)2=25.(3分)(2)由题意可知,直线l的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0.(5分)由题意得|5k+3+1|k2+15,解得k940.(7分)k的取值范围是940,+.(10分)18.解析(1)已知P(4,-2),Q(-1,3),设线段PQ的中点为M,则M的坐标为32,12,又直线PQ的斜率kPQ=-1,(2分)线段PQ的垂直平分线
17、的方程为y-12=1x-32,即x-y-1=0.(3分)解方程组x-y-1=0,x+y-1=0得x=1,y=0,圆心C(1,0),半径长r=(4-1)2+(-2-0)2=13.(5分)故圆C的方程为(x-1)2+y2=13.(6分)(2)由直线lPQ,设l的方程为y=-x+m(m2),代入圆C的方程,得2x2-2(m+1)x+m2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=m+1,x1x2=m22-6.(8分)故y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2+x1x2-m(x1+x2)=m22-m-6,依题意知OAOB,y1x1y2x2=-1,即x1x2+y1y2=0,(10分)
18、于是m2-m-12=0.解得m=4或m=-3,经检验,都满足0.故直线l的方程为y=-x+4或y=-x-3.(12分)19.解析(1)如图,以AD所在直线为x轴,AD的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,则BC的中点坐标为(0,200),F(60,160),(3分)设圆弧所在圆的圆心为(0,b),半径长为r,则圆的方程为x2+(y-b)2=r2,(5分)则(200-b)2=r2,602+(160-b)2=r2,解得b=135,r=65,(7分)所以圆弧所在圆的方程为x2+(y-135)2=652.(8分)(2)当x=40时,402+(y-135)2=652,(10分)解得y=135+510518
19、0,(11分)所以该冰箱能直立通过此过道.(12分)20.解析(1)由y=2x-4,y=-x+5得圆心C为(3,2).(2分)圆C的半径为1,(3分)圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.(4分)(2)由题意知切线的斜率一定存在.(5分)设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则|3k-2+3|k2+1=1,解得k=0或k=-34,(7分)所求圆C的切线方程为y=3或y=-34x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(8分)(3)设M的坐标为(x,y),则x2+(y-3)2=x2+y2,整理得y=32,设为直线m,(10分)点M既在圆C上又在直线m上,即圆C和直线m有公共
20、点,2a-4-321,解得94a134,综上所述,a的取值范围为94,134.(12分)21.解析(1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,(2分)所以圆心C1(-3,1)到直线l的距离d=|-3k-1-4k|k2+(-1)2=22-2322=1,化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-724.(5分)所以直线l的方程为y=0或y=-724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(6分)(2)设点P的坐标为(m,n),不妨设直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx-y+
21、n+mk=0.(7分)因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆的半径长也相等,所以圆心C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心C2(4,5)到直线l2的距离相等,即|-3k-1+n-km|k2+(-1)2=-4k-5+n+mk-1k2+(-1)2,化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,关于k的方程有无穷多解,则2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0,(10分)解得m=52,n=-12或m=-32,n=132,故满足条件的点P的坐标为52,-12或-32,132.(12分)22.解析(1)由题意得(x+1)2+y2(x
22、-2)2+y2=12,化简可得(x+2)2+y2=4,所以动点M的轨迹方程为(x+2)2+y2=4.曲线C是以(-2,0)为圆心,2为半径长的圆.(3分)(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,圆心(-2,0)到直线l的距离d=|-3k+2|1+k2.(5分)|EF|=24-d2=455,d2=165=(2-3k)21+k2,即29k2-60k+4=0,解得k1=2,k2=229,(7分)直线l的方程为2x-y=0或2x-29y+56=0.(8分)(3)点P在直线x+y+8=0上,设P(m,-m-8).C为曲线C的圆心,由圆的切线的性质可得PGGC,(9分)经过G,P,C三点的圆是以线段PC为直径的圆,其方程为(x+2)(x-m)+y(y+m+8)=0,整理可得x2+y2+2x+8y+m(-x-2+y)=0,(10分)令x2+y2+2x+8y=0,且-x-2+y=0,解得x=-2,y=0或x=-5,y=-3.则经过G,P,C三点的圆必过定点,所有定点的坐标为(-2,0),(-5,-3).(12分)