1、专题限时集训(二)排列、组合与二项式定理统计与统计案例概率、随机变量及其分布列1(2019全国卷)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5B0.6C0.7D0.8C由题意得，阅读过西游记的学生人数为90806070，则其与该校学生人数之比为701000.7.故选C2(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F
2、处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24B18C12D9B由题意可知EF有C种走法，FG有C种走法，由乘法计数原理知，共CC18种走法，故选B3(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种B18种C24种D36种D由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有CA36种故选D4(2020全国卷)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p
3、4，且pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()Ap1p40.1，p2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p40.3，p2p30.2B对于A：E(X)10.120.430.440.12.5，所以D(X)(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)20.4(42.5)20.10.65；同理，对于B：E(X)2.5，D(X)1.85；对于C：E(X)2.5，D(X)1.05；对于D：E(X)2.5，D(X)1.45.故选B5(2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
4、形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()ABCDB设正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为a2，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，故选B6(2019全国卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A中位数B平均数C方差D极差A中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的
5、是中位数，平均数、方差、极差均受影响故选A7(2018全国卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植
6、收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%28%58%50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确故选A8(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()ABCDC不超过30的素数有2,3,5,7,1
7、1,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P，故选C9(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()ABCDA由6个爻组成的重卦种数为2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P.故选A10(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60C(x
8、2xy)5的展开式的通项为Tr1C(x2x)5ryr，令r2，则(x2x)3的通项为C(x2)3kxkCx6k，令6k5，则k1，(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为CC30.故选C11(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.7B0.6C0.4D0.3B由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的人数X概率分布符合二项分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得Cp4(1p)6Cp6(1p)4，即(1p
9、)2p2，所以p0.5，所以p0.6.12(2019全国卷)我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_0.98由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2，其中高铁个数为10201040，所以该站所有高铁平均正点率约为0.98.13(2018全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)16根据题意，没有女生入选有C4种选法，从6名学
10、生中任意选3人有C20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种14(2015全国卷)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.3设f(x)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a5x5，令x1，则a0a1a2a5f(1)16(a1)，令x1，则a0a1a2a5f(1)0.得，2(a1a3a5)16(a1)，所以23216(a1)，所以a3.15(2019全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，
11、且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_0.18前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以41获胜的概率是0.630.50.520.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以41获胜的概率是0.40.620.5220.072，综上所述，甲队以41获胜的概率是P0.1080.0720.18.1(2020广州模拟)如果数据x1，x2，xn的平均数为，方差为82，则5x12,5x22，5xn2的平均数和方差分别为()A，82B52,82C52,2582D，2582C数据x1，x2，xn的平均数为，方差为82，5x12,5x22，5xn2的平均数为：52,5x12,5x22，5xn2的方
12、差为2582.故选C2. (2020银川模拟)为了调查不同年龄段女性的平均收入情况，研究人员利用分层抽样的方法随机调查了A地20,65岁的n名女性，其中A地各年龄段的女性比例如图所示若年龄在20,50)岁的女性被抽取了40人，则年龄在35,65岁的女性被抽取的人数为()A50B10C25D40C由题意，设抽到的年龄在35,65岁的女性人数为x，则，解得x25，故选C3(2020保定一模)恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重据某机构预测，n(n10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且回归方程为y0.4x1.2，若其中某城市职工的人均月
13、消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为()A60%B64%C58%D55%B把x5代入回归方程y0.4x1.2中，得y0.451.23.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为0.6464%，故选B4(2020邯郸模拟)为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到22列联表如表：选择“物理”选择“历史”总计男生352055女生153045总计5050100附：K2P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828由此得出的正确结论是()A在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”B在犯错误的概率不超
14、过0.01的前提下，认为“选择物理与性别无关”C有99.9%的把握认为“选择物理与性别有关”D有99.9%的把握认为“选择物理与性别无关”A由题意可知，K29.0916.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与性别有关”，或有99%的把握认为“选择物理与性别有关”故选A5(2020洛阳模拟)在边长为4的正方形的边上随机取一点，则该点到正方形中心的距离小于的概率是()ABCDD如图，作OCAB于C，OD，则CD1.故该点到正方形中心的距离小于的概率是：，故选D6(2020昆明模拟)已知(2x1)(xa)3展开式中各项系数之和为27，则其展开式中x2项的系数为()A24B
15、18C12D4B由已知令x1可得，(21)(1a)327，则a2.(2x1)(ax)3(2x1)(2x)3.展开式中含x2的项的系数是2C222C18，故选B7(2020齐齐哈尔一模)已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是()A该组数据的极差为12B该组数据的中位数为21C该组数据的平均数为21D该组数据的方差为11D由题意，极差为261412，中位数为21，平均数为(141820202122232526)21，方差为(1421)2(1821)2(2621)2，D错误，故选D8(2020石家庄模拟)雷达图(RadarChart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart)，原先
16、是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法错误的是()A甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同B甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙C在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙D甲在这五个方面的综合表现优于乙C由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲，乙在销售方面的数据小于甲，显然C选项的分析错误故选C9(2020宜春模拟)6件产品中有4件合格品，2件次品为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为()ABCDC题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，p1；第二种情
17、况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，p2，故pp1p2.故选C10(2020临沂模拟)下列说法中正确的是()A先把高三年级的2 000名学生编号：1到2 000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m50，m100，m150的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B线性回归直线x不一定过样本中心点(，)C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D设随机变量X服从正态分布N(10,0.01)，则P(X10)DA错误，这样的抽样方法是系统抽样法；B错误，线性回归直线x一定过样本中心点(，)；C错误，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数
18、r的绝对值越接近于1，故C错误； D显然正确故选D11(2020碑林区校级模拟)虚拟现实(VR)技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入(包含软件收入和硬件收入)逐年翻一番据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍D设2017年VR市场总收入为1，该地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，故
19、A正确； 2017年和2018年的硬件收入总和为10.920.82.540.72.8，故B正确；2019年的VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，故C正确； 2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故D错误故选D12(2020福州模拟)小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖假设小王和外卖小哥都在12：0012：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是()ABCDD设小王和外卖小哥分别到达小王楼下的时间为12点x分，12点y分，则其区域是以10为边长的正方形，面积1010100，小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分
20、钟，即0yx5，其表示区域为如图所示阴影部分其面积为(10055)，故所求概率P，故选D13(2020和平区模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为()ABCDA甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.甲恰好比乙多击中目标2次包含两种情况：甲击中2次，乙击中0次；甲击中3次，乙击中1次则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为：PCCCC.故选A14(2020长沙模拟)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第
21、一个出场的概率为()ABCDA在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，基本事件总数nCCA54，学生丙第一个出场包含的基本事件个数mCA18，学生丙第一个出场的概率为p.故选A15(2020南充模拟)我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情，现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为()A116B100C124D90B根据题意，分2步进行分析：将5名医学专家分为3组，若分为2、2、1的三组，有15种分组方法，若分为3、1、1的三组，有C10种分组方法，则有151025种分组方法；将分好的三组分派到三个
22、医疗点，甲专家所在组不去A医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点，有2种情况，则3个组的分派方法有224种情况，则有254100种分配方法故选B16.(2020江门模拟)我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，若取出的两行为“生”的次数记为X，则E(X)与D(X)的值分别为()A1，B3，C5，D7，C设从五行中随机任取两行为“生”的事件为A，则P(A)，依题意，随机变量X服从二项分布，有XB(10,0.5)，
23、故E(X)5，D(X)2.5，故选C17(2020广东实验中学模拟)某公司针对新购买的50 000个手机配件的重量随机抽出1 000台进行检测，如图是根据抽样检测后的重量(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是96,106，样本数据分组为96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106用样本估计总体，则下列说法错误的是()A这批配件重量的平均数是101.30 (精确到0.01)B这批配件重量的中位数是在100,101之间Ca0.125D这批配件重量在96,100)范围的有15 000 个B由已知图可知：(0.050.0750.1a0.15)21
24、，解得a0.125，故C正确；故估计手机配件的重量的平均数为970.1990.21010.31030.251050.15101.30(克)，故A正确；设中位数为x，则0.10.2(x100)0.150.5，x101.33，故B错误；这批配件重量在96,100)范围的有50 0000.15215 000 个，故D正确故选B18(2020宁波模拟)已知随机变量的分布列如下：012Pbaba则()AE()有最小值BE()有最大值CD()有最小值0DD()有最大值D由随机变量的分布列的性质得：baba1,2b1，b0.5,0a0.5，E()0(ba)b2a0.52a,0a0.5，故无最大值也无最小值，
25、D()(2a0.5)2(0.5a)(0.52a)20.5(1.52a)2a4a22a4，当a时，D()取得最大值，故选D19(2020麒麟区二模)已知变量x与变量y的取值如表所示，且2.5mn6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是()x2345y2.5mn6.5A0.8x2.3B2x0.4C1.5x8D1.6x10A由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除C、D选项3.5，(3.5,5.5)，把3.5分别代入A、B选项，对于A，有0.83.52.35.1(3.5,5.5)，符合题意；对于B，有23.50.47.4(3.5,5.5)，不符合题意故选A20(2020济阳模拟)已知样本
26、x1，x2，xn的平均数为x；样本y1，y2，ym的平均数为y(xy)，若样本x1，x2，xn，y1，y2，ym的平均数zax(1a)y，其中0a，则n，m(n，mN*)的大小关系为_nm由题意得z(nxmy)xy，a，0a，0，nm.21(2020泉州一模)若(2x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5，则a4_.80(2x1)512(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5，则a4C2480.22. (2020衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果，周髀算经九章算术海岛算经孙子算经缉古算经等10部专著是了解我
27、国古代数学的重要文献这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为_设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，则 P()，所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：P(A)1P()1.23. (2020秦皇岛模拟)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,102)，从中抽取一个同学的数学成绩，记“该同学的成绩90110”为事件A，记“该同学的成绩80100”为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)_.(结果用小数表示，精确到0.01)附：X服从正态分布，则P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3.0.28由题意得，P(A)0.477 25，P(AB)(0.954 50.682 7)0.135 9.P(B|A)0.28.