1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第八节 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义上一页返回首页下一页高三一轮总复习1条件概率(1)条件概率的定义设 A，B 是两个事件，当 P(B)0 时，称 P(A|B)为发生时发生的条件概率当 P(A)0 时，称 P(B|A)为发生时发生的条件概率BAAB(2)条件概率的运算公式P(A|B)PA
2、BPB，P(B|A)PABPA.上一页返回首页下一页高三一轮总复习2事件的相互独立性(1)定义对两个事件 A，B，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称 A，B 相互独立(2)性质如果 A，B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B也相互独立；如果 A1，A2，An 相互独立，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)上一页返回首页下一页高三一轮总复习3二项分布进行 n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”(2)每次试验“成功”的概率均为 p，“失败”的概率均为 1p.(3)各次试验是相互独立的用 X 表示这 n
3、次试验中成功的次数，则P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)若一个随机变量 X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记为 XB(n，p)上一页返回首页下一页高三一轮总复习4正态分布密度函数满足的性质(1)函数图像关于直线 x 对称(2)(0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”(3)正态分布的三个常用数据P(X)68.3%；P(2X2)95.4%；P(3X3)99.7%.上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B)()(2)P(AB)表示事件 A，B 同时
4、发生的概率，一定有 P(AB)P(A)P(B)()(3)正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布，参数 是正态分布的均值，是正态分布的标准差()(4)二项分布是一个用公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布()答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是()A.49 B.29 C.427 D.227A 所求概率 PC131311133149.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3已
5、知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们大小形状完全相同甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310B13C.38D29上一页返回首页下一页高三一轮总复习B 设“第一次拿到白球”为事件 A，“第二次拿到红球”为事件 B，依题意 P(A)21015，P(AB)23109 115.故 P(B|A)PABPA 13.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(2015全国卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432
6、 C0.36D0.312A 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C230.62(10.6)，投中 3 次的概率为 P(k3)0.63，所以通过测试的概率为 P(k2)P(k3)C230.62(10.6)0.630.648.故选 A.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5(2017郑州调研)已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，且 P(4)0.8，则 P(04)_.上一页返回首页下一页高三一轮总复习06 由 P(4)0.8，得 P(4)0.2.又正态曲线关于 x2 对称 则 P(0)P(4)0.2，P(04)1P(0)P(4)0.6.上一页返回首页下一页高三一轮总复习条件概率 (1)从
7、1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)()A.18 B.14C.25D12上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)如图 10-8-1，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”，则 P(B|A)_.图 10-8-1上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)B(2)14(1)法一：事件 A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即
8、 n(A)4，事件 AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即 n(AB)1.故由古典概型概率 P(B|A)nABnA 14.上一页返回首页下一页高三一轮总复习法二：P(A)C23C22C25 410，P(AB)C22C25 110.由条件概率计算公式，得 P(B|A)PABPA 11041014.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由题意可得，事件 A 发生的概率P(A)S正方形EFGHS圆O 2 212 2.事件 AB 表示“豆子落在EOH 内”，则 P(AB)SEOHS圆O 121212 12.故 P(B|A)PABPA 12214.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 条件概
9、率的求法(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)PABPA 求 P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nABnA.上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A.1127B1124C.827D 924上一页返回首页下一页高三一轮总复习C 设从 1 号箱取到红球为事件 A，从 2
10、 号箱取到红球为事件 B.由题意，P(A)42423，P(B|A)318149，所以 P(AB)P(B|A)P(A)2349 827，所以两次都取到红球的概率为 827.上一页返回首页下一页高三一轮总复习相互独立事件同时发生的概率 (2017南宁质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列.【导学号：5796247
11、5】上一页返回首页下一页高三一轮总复习解 记 E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知 P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25，且事件 E 与 F，E 与 F，E与 F，E与 F都相互独立.2 分(1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 H E F，于是 P(H)P(E)P(F)1325 215.故所求的概率为 P(H)1P(H)1 2151315.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)设企业可获利润为 X 万元，则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因为 P(X0)P(E F)1325 215，P(X100)P(EF)133515，P(X120
12、)P(E F)2325 415，P(X220)P(EF)233525.8 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习故所求 X 的分布列为 X0100120220 P2151541525 12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.求解该类问题关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算 2求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2 在一场娱乐晚会上，有
13、5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选 3名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X2”的事件概率上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3 号歌手”，则 P(A)C12C2323，P(B)C
14、24C3535.2 分 事件 A 与 B 相互独立，A 与B相互独立，则 AB表示事件“甲选中 3 号歌手，且乙没选中 3 号歌手”P(A B)P(A)P(B)P(A)1P(B)2325 415.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则 P(C)C24C3535.7 分 依题意，A，B，C 相互独立，A，B，C相互独立，且 AB C，ABC，ABC，ABC 彼此互斥 又 P(X2)P(AB C)P(A BC)P(ABC)2335252325351335353375，10 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习P(X3)P(ABC)23353
15、51875.P(X2)P(X2)P(X3)337518751725.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习独立重复试验与二项分布 (2017北京东城区质检)在 20162017 赛季 CBA 联赛中，某队甲、乙两名球员在前 10 场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数nN，N 表示投篮次数，n 表示命中次数)，假设各场比赛相互独立.上一页返回首页下一页高三一轮总复习 场次球员 12345678910 甲513412143059141910161223486131019 乙1326918914816615101472191610221220上一页返回首页下一页高三一轮总复习根据统计表的
16、信息：(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于 0.5 的概率；(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过 0.5 的概率；(3)在接下来的 3 场比赛中，用 X 表示这 3 场比赛中乙球员命中率超过 0.5的场次，试写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，甲球员投篮命中率超过 0.5的场次有 5 场，分别是 4,5,6,7,10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过 0.5 的概率是12.4 分(2)在 10 场比赛中，乙球员投篮命中率超过 0.5
17、的场次有 4 场，分别是3,6,8,10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过 0.5 的概率是25.6 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过 0.5 为事件 A，甲队员命中率超过 0.5 且乙队员命中率不超过 0.5 为事件 B1，乙队员命中率超过 0.5且甲队员命中率不超过 0.5 为事件 B2，则 P(A)P(B1)P(B2)1235122512.8 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(3)X 的可能取值为 0,1,2,3，依题意 XB3，25.P(X0)C03250353 27125；P(X1)C13251352 5
18、4125；P(X2)C23252351 36125；P(X3)C33253 8125，10 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习X 的分布列如下表：X0123 P2712554125361258125 EXnp32565.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解 2(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同(2)牢记公式 Pn(k)Cknpk(1p
19、)nk，k0,1,2，n，并深刻理解其含义上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3 某架飞机载有 5 位空降兵依次空降到 A，B，C 三个地点，每位空降兵都要空降到 A，B，C 中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是13，用 表示地点 C 空降人数，求：(1)地点 A 空降 1 人，地点 B，C 各空降 2 人的概率；(2)随机变量 的分布列与数学期望上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)设“地点 A 空降 1 人，地点 B，C 各空降 2 人”为事件 M，易知基本事件的总数 n35243 个，事件 M 发生包含的基本事件 MC15C2430 个 故所求事件 M 的概率 P(
20、M)mn 302431081.5 分(2)依题意，5 位空降兵空降到地点 C 相当于 5 次独立重复试验 B5，13，且 的取值可能为 0,1,2,3,4,5.则 P(k)Ck513k1135k 上一页返回首页下一页高三一轮总复习P(0)C051301135 32243，P(1)C1513 1134 80243，P(2)C25132233 80243，P(3)C35133232 40243，P(4)C45134113 10243，P(5)C55135 1243.10 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习随机变量 的分布列为：012345 P32243802438024340243102431
21、243根据二项分布得数学期望 E51353.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习正态分布及应用(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(参考数据：若随机变量 服从正态分布 N(，2)，则 P()68.26%，P(22)95.44%，P(3399.74%.)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%上一页返回首页下一页高三一轮总复习B 由正态分布的概率公式知 P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故 P(36)P66P3320.954 40.682 620.13
22、5 913.59%，故选 B.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.利用 3 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个 2利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x 对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.注意下面两个结论的活用：(1)P(Xa)1P(Xa)；(2)P(X)P(X)上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 4(2017河南名校联考)在如图 10-8-2 所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(1,1)的
23、密度曲线)的点的个数的估计值为()(参考数据：若 XN(，2)，则 P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)上一页返回首页下一页高三一轮总复习图 10-8-2A1 193B1 359C2 718D3 413上一页返回首页下一页高三一轮总复习B 对于正态分布 N(1,1)，1，1，正态曲线关于 x1 对称，故题图中阴影部分的面积为12P(3X1)P(2X0)12P(2X2)P(X)12(0.954 40.682 6)0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率 P0.135 910.135 9，投入 10 000 个点，落入阴影部分的个数约为 10 0
24、000.135 91 359.上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1古典概型中，A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)PABPA nABnA，其中，在实际应用中 P(B|A)nABnA 是一种重要的求条件概率的方法 上一页返回首页下一页高三一轮总复习2相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为 P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)上一页返回首页下一页高三一轮总复习3n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次可看作是 Ckn个互斥事件的和，其中每一个
25、事件发生的概率都是 pk(1p)nk.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Cknpk(1p)nk.4若 X 服从正态分布，即 XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范 1易混淆“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥 2易混淆 P(B|A)与 P(A|B)前者是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，后者是在 B 发生的条件下 A 发生的概率上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（六十五）点击图标进入