1、第三章函数的应用本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若幂函数f(x)的图象过点(2,2),则函数g(x)=f(x)-3的零点是()A.3B.9C.(3,0)D.(9,0)2.已知函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,给出以下四个命题:f(x),g(x),h(x)在其定义域上都是增函数;f(x)的增长速度始终不变;g(x)的增长速度越来越快;h(x)的增长速度越来越慢.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.43.根据表格中的数据,可以判断方程ex-x-
2、2=0的一个根所在的区间为()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,6)进行整理,得数据如下表所示:x1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型的是()A.y=0.5(x+1)B.y=log3x+1.5 C.y=2x-1D.y=
3、2x5.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古学家发现一批鱼化石,经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%,则该生物生存的年代距今约()A.1.7万年B.2.3万年 C.2.9万年D.3.5万年6.已知f(x)=2x-log12x的零点为a,g(x)=12x-log2x的零点为b,h(x)=12x-log12x的零点为c, 则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bcaD.bac7.方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有两个不同的实数根x1,x2,且满足0x11x24,则m的取值范围是()A.-
4、75,-54B.(-,-1)(5,+) C.-3,-75D.-3,-548.某工厂2017年投入的科研资金为120万元,在此基础上,每年投入的科研资金比上一年增长12%,则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 30.48,lg 20.30)A.2022年B.2023年C.2024年D.2025年9.甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.
5、120万元D.140万元10.已知函数f(x)=x2+ex-1(x2)有n个不同的实数根x1,x2,xn,则f(x1+x2+xn)=()A.5eB.4eC.14eD.13e二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若函数f(x)=m3x-x+3(m0,f(-x),x0.给出下列四个命题:F(x)=|f(x)|;函数F(x)是偶函数;当a0时,若0mn1,则有F(m)-F(n)0时,函数y=F(x)-2有4个零点.其中真命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2
6、-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.(1)若函数f(x)的两个零点分别是-1和-3,求k的值;(2)若函数f(x)的两个零点分别是和(,R),求2+2的取值范围.18.(本小题满分12分)已知f(x)=2x+1,x0,log2(x+1),x0.(1)作出函数f(x)的图象,并写出单调区间;(2)若函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天该产品每天的价格呈直线上升趋势,而后60天呈直线下降趋势.现抽取其中4天的价格如下表所示:时间第4天第32天第60天第90天价格(元)2330227(1)写出价格
7、f(x)关于时间x的函数解析式(x表示投入市场的第x天);(2)若销售量g(x)与时间x的函数关系式是g(x)=-13x+1093 (1x100,xN*),求日销售额的最大值,并求第几天日销售额最高.20.(本小题满分12分)某公司研发芯片耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入y1(千万元)与投入的资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y2(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y2=kxa(x0),其图象如图所示.(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式;(2)如果公司
8、只生产一种芯片,生产哪种芯片毛收入更大?(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示公司所获利润,当x为多少时,可以获得最大利润?并求最大利润.(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)21.(本小题满分12分)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(单位:月,xN)的关系有两个
9、函数模型y=kax(k0,a1)与y=px12+q(p0)可供选择.(参考数据:21.414,31.732,lg 20.301,lg 30.477)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的y关于x的函数解析式;(2)求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投放面积的1 000倍.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(4-a)x+2a-5,g(x)=lna-1x,其中a为常数.(1)当a=3时,设函数h(x)=f(2x2-1)-f(x2),判断函数h(x)在(0,+)上是增函数还是减函数,并说明理由;(2)设函数F(x)=f(x)-g(x),若函数F
10、(x)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围.答案全解全析第三章函数的应用本章达标检测1.B2.D3.C4.B5.C6.B7.A8.A9.C10.C11.C12.C一、选择题1.B设幂函数f(x)=x,f(x)的图象过点(2,2),f(2)=2=2,解得=12,f(x)=x12,函数g(x)=f(x)-3=x12-3,令g(x)=0,得x=9.函数g(x)=f(x)-3的零点是9.故选B.2.D根据常见函数模型及增长特点可知,均为真命题.3.C设f(x)=ex-x-2,则f(1)=2.72-30,f(1)f(2)0,所以方程ex-x-2=0的一个根所在区间为(1,2).4.B根据题表中的数据可得
11、年销售量y随着年宣传费x的增长而增长,且增长速度越来越平缓.故排除A、C.当x=1时,y=log3x+1.5=1.5,y=2x=2;当x=3时,y=log3x+1.5=2.5,y=2x=233.46;经过验证,可知函数y=log3x+1.5的数据更接近已知数据,故应选择函数模型y=log3x+1.5.5.C设该生物生存的年代距今是第n个5 730年,则(1-50%)n=3.1%,解得n=log0.53.1%5,55 730=28 6502.9万年.故选C.6.B在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=log12x,y=12x,y=log2x的图象,如图所示.由图象可得acb.故选B.7.A由0
12、x11x20,f(1)0,即2m+60,1+2(m-1)+2m+60,解得-75m200,两边取常用对数,得xlg 1.12lg53,因此xlg5-lg3lg1.12=1-lg2-lg3lg1.121-0.30-0.480.05=4.4,由xN*,得x5,所以2 017+5=2 022,即从2022年起该厂投入的科研资金开始超过200万元,故选A.9.C要想获得最大利润,则甲的价格为6元时,全部买入,可以买1206=20(万份),价格为8元时,全部卖出,此过程获利202=40(万元);乙的价格为4元时,全部买入,可以买(120+40)4=40(万份),价格为6元时,全部卖出,此过程获利402=
13、80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.10.Cf(x)=x2+ex-1(x0),函数f(x)=x2+ex-1(x0)有解,即x2+e-x-1=x2+ln(x+a)有正解,整理,得e-x-1=ln(x+a)有正解,转化为当x0时,函数y=e-x-1和y=ln(x+a)的图象存在交点,临界值在x=0处取得,此时a=1,故当a1时,y=e-x-1和y=ln(x+a)的图象存在交点,故选C.11.C令2x=|x-2|,两边平方,得4x=x2-4x+4,即x2-8x+4=0,解得x=4+23或x=4-23,作出函数y=m与y=f(x)的图象,如图中实线部分所示.设x1x2x3,则0x1
14、4-23,x2+x3=4,因此x1+x2+x3=x1+4,由0x14-23,得44+x11.作出函数y=f(x)的图象,如图所示.由f(x)的图象知, f(x)=1有三个解,分别为e,x1,x2,且x1+x2=2e, f(x)=m-1有两个解,分别为x3,x4,且x3+x4=2e.因此f(x1+x2+xn)=f(5e)=14e,故选C.二、填空题13.答案-23,-19解析易知函数f(x)=m3x-x+3(m0)为减函数.因为f(x)在区间(1,2)上有零点,所以f(1)f(2)0,即(3m+2)(9m+1)0,解得-23m-19.故m的取值范围为-23,-19.14.答案(2,3)解析设f(
15、x)=x3-2x-5,则f(2)0, f(4)0,故f(2)f(3)0,f(-x),x0,所以F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确,所以是假命题.因为F(x)=f(|x|),所以F(x)=F(-x),所以函数F(x)是偶函数,所以是真命题.当a0时,若0mn|log2n|,则F(m)F(n),即F(m)-F(n)0时,F(x)在(0,1上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以x0时,F(x)的最小值为F(1)=1,故x0时,F(x)的图象与直线y=2有2个交点.因为函数F(x)是偶函数,所以x0时,函数y=F(x)-2有4个零点.所以是真命题.综上,真命题为.三、解答题17.
16、解析(1)-1和-3是函数f(x)的两个零点,-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根.(2分)则-1-3=k-2,-1(-3)=k2+3k+5,解得k=-2.(4分)(2)函数f(x)的两个零点分别为和,和是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个不相等的实数根.(6分)+=k-2,=k2+3k+5,=-(k-2)2-4(k2+3k+5)0,解得-4kg-43=509,g(k)g(-4)=18.2+2的取值范围是509,18.(10分)18.解析(1)画出函数f(x)的图象,如图所示.(4分)由图象得f(x)在(-,0,(0,+)上单调递增.(6分)(2)若
17、函数y=f(x)-m有两个零点,则y=f(x)的图象和直线y=m有两个交点,(8分)结合图象得1m2.(11分)故实数m的取值范围是(1,2.(12分)19.解析(1)由题意知价格f(x)关于时间x的函数符合一次函数模型.(2分)用待定系数法,易得f(x)=14x+22,1x40,xN*,-12x+52,40x100,xN*.(5分)(2)设日销售额为S元,当1x40时,S=14x+22-13x+1093=-112x-2122+3880948,(7分)xN*,当x=10或x=11时, Smax=16172=808.5;(8分)当40x100时,S=-12x+52-13x+1093=16(x2-
18、213x+11 336),(10分)在(40,100上单调递减,S0);(1分)将(1,1),(4,2)代入y2=kxa,得k=1,k4a=2,解得k=1,a=12,(3分)所以生产B芯片的毛收入为y2=x(x0).(4分)(2)令x4x,得x16;令x4=x,得x=16;令x4x,得0x0,a1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p0)的增长速度越来越慢,函数模型y=kax(k0,a1)更符合题意.(2分)由ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,(4分)y=832x(xN).(6分)(2)由(1)可知,当x=0时,y=8,原先投放的水葫芦的面积为8 m2.(8分)设经过x个月
19、该水域中水葫芦的面积是当初投放面积的1 000倍,则有832x=81 000,x=log321 000=lg1000lg32=3lg3-lg217,(11分)约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投放面积的1 000倍.(12分)22.解析(1)由题意得,当a=3时,f(x)=ln(x+1),则h(x)=ln2x2x2+1(x0),(1分)因为2x2x2+1=2-2x2+1,且2x2+1在(0,+)上单调递减,所以2-2x2+1在(0,+)上单调递增,(2分)根据复合函数的单调性,可得函数h(x)在(0,+)上是单调递增函数.(3分)(2)由F(x)=0,得f(x)=g(x),即ln(4-a
20、)x+2a-5=lna-1x,若函数F(x)有且只有1个零点,则方程ln(4-a)x+2a-5=lna-1x有且只有1个实数根,(4分)化简,得(4-a)x+2a-5=a-1x,即(4-a)x2+(a-5)x+1=0在f(x)和g(x)的公共定义域内有且只有1个实数根.(5分)当a=4时,(4-a)x2+(a-5)x+1=0可化为-x+1=0,即x=1,此时(4-a)1+2a-5=30,a-1=30,满足题意;(6分)当a4时,由(4-a)x2+(a-5)x+1=0,得(4-a)x-1(x-1)=0,解得x=14-a或x=1.(7分)(i)当14-a=1,即a=3时,方程(4-a)x2+(a-5)x+1=0有2个相等的实数根,此时(4-a)1+2a-5=20,a-1=20,满足题意;(8分)(ii)当14-a1,即a3时,若x=1是F(x)的零点,则(4-a)1+2a-50,a-10,解得a1;(9分)若x=14-a是F(x)的零点,则(4-a)14-a+2a-50,a-114-a0,解得a2.(10分)因为函数F(x)有且只有1个零点,所以a1,a2或a1,a2,所以1a2,(11分)综上,a的范围是(1,23,4.(12分)