1、11 正弦定理和余弦定理11.1 正弦定理内 容 标 准学 科 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理2.了解正弦定理的变形，并能解决一些简单的三角形度量问题.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 正弦定理预习教材P23，思考并完成以下问题在任意三角形中，有大边对大角，小边对小角，能否得到这个边角关系的准确量化？(1)如图，在 RtABC 中，asin A，bsin B，csin C分别等于什么？三者有什么关系？提示：要联系正弦函数的定义(asin Ac，bsin Bc，csi
2、n Cc，三者相等)(2)在一般锐角三角形中，asin Absin Bcsin C还成立吗？提示：成立(3)如图，ABC 的角 B 为钝角，如何验证asin A，bsin B，csin C的关系？提示：要构造直角三角形设 AB 边上的高为 CD，如图根据三角函数的定义有，CDasin(B)asin B，CDbsin A，所以 asin Bbsin A.得到asin Absin B.同理得到bsin Bcsin C，故asin Absin Bcsin C.知识梳理(正弦定理 law of sines)设ABC 的外接圆的半径为 R.(1)asin Absin Bcsin C2R.(2)a2Rsi
3、n A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆的半径)(3)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R(R 为ABC 外接圆的半径)(4)三角形的边长之比等于其对角的正弦比，即 abcsin Asin Bsin C.(5)abcsin Asin Bsin Casin Absin Bcsin C.(6)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin CcsinB思考 正弦定理对任意三角形都适用吗？提示：适合于任意三角形知识点二 解三角形知识梳理 一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的已知三角形的几个元素求其他元
4、素的过程叫做元素解三角形思考 任意给出三角形的三个元素，用正弦定理都能求出其他元素吗？提示：不一定，如已知三角形三个角 A、B、C，则不能确定其各边的大小自我检测1在ABC 中，C90，a12c，则 sin A_.答案：122在ABC 中，C120，A45，c2，则 a_.答案：2 633在ABC 中，若 B30，b2，则asin A_.答案：4探究一 已知两角及一边解三角形阅读教材 P3例 1 及解答在ABC 中，已知 A32.0，B81.8，a42.9 cm，解三角形题型：已知两角及一边方法步骤：(1)根据 ABC180求角 C.(2)根据正弦定理asin Absin B求边 b.(3)根
5、据正弦定理asin Acsin C求边 c.例 1 在ABC 中，a5，B45，C105，解这个三角形解析 由三角形内角和定理知A180(BC)180(45105)30.由asin Acsin C，得casin Csin A5sin 105sin 30 5sin6045sin 305sin 60cos 45cos 60sin 45sin 3052(6 2)由正弦定理asin Absin B，得 basin Bsin A 5sin 45sin 30 5 2.例 2 在ABC 中，AC6，cos B45，C4，求 AB 的长解析 因为 B 为三角形的内角且 cos B45，所以 sin B35，因
6、为 ABsin C ACsin B，所以AB22635AB5 2.方法技巧 解决已知两角及一边类型的解题方法(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边延伸探究 1.将例 1 中的“C105”改为“A105”，解这个三角形解析：由三角形内角和定理知 C30.又 sin Asin 105 6 24，由正弦定理asin Absin B，得basin Bsin A 5 226 245(31)同理，casin Csin A 5126 245 6 22
7、.2若例 2 条件不变，求 BC 的长解析：由 cos B45，知 sin B35，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C35 22 45 22 7 210.由正弦定理得：BCsin A ACsin B，BCACsin Asin B 67 210357 2.探究二 已知两边及一边的对角解三角形阅读教材 P4例 2在ABC 中，已知 a20 cm，b28 cm，A40，解三角形(角度精确到 1，边长精确到 1 cm)题型：已知两边及一边的对角方法步骤：(1)根据正弦定理求 sinB(2)判断角 B 解的情况(本题两解)(3)讨论角 B，求解角 C 和 c.例 3(1)A
8、BC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c 2，则 C()A.12 B.6C.4D.3解析 由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，即 sin C(sin Acos A)2sin CsinA4 0，所以 A34.由正弦定理asin Acsin C得2sin 342sin C，即 sin C12，得 C6.答案 B(2)在ABC 中，已知 a2，c 6，C3，求 A，B，b.解析 因为asin Acsin C，所以 sin
9、 Aasin Cc 22.因为 ca，所以 CA，所以 A4.所以 B512，bcsin Bsin C 6sin 512sin 3 31.延伸探究 3.若把本例(2)中 C3改为 A4，其他条件不变，求 C，B，b.解析：因为 csin A 6 22 32，所以 6sin 42 6，即 csin Aac，所以本题有两解因为asin Acsin C，所以 sin Ccsin Aa 32.所以 C3或23.当 C3时，B512，basin Bsin A 31.当 C23 时，B 12，basin Bsin A 31.方法技巧 1已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出
10、另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论2已知两边及一边对角的三角形解的个数(1)代数角度由正弦定理得 sin Bbsin Aa.若bsin Aa1，则满足条件的三角形个数为 0，即无解若bsin Aa1，则满足条件的三角形个数为 1，即一解若bsin Aa1，则满足条件的三角形个数为 1 或 2.(2)几何角度图形关系式解的个数absin A；ab一解bsin Aab两解A 为锐角absin
11、A无解图形关系式解的个数ab一解A 为钝角或直角ab无解跟踪探究 1.在ABC 中，a30，b25，A150，则ABC 的解的个数为()A一个解 B两个解C无解D无法确定解析：由正弦定理得 sin Bbsin Aa25sin 15030 512，又 ab，所以 B 为锐角，角 B 有唯一的解进一步，可以求角 C 和边 c，都是唯一的答案：A2已知ABC 中，a2 3，b6，A30，解三角形解析：由正弦定理，可得asin Absin B，所以 sin Bbsin Aa6sin 302 3 32，又 0B180，所以 B60或 120.当 B60时，C180(AB)90，此时 c a2b2 2 3
12、2624 3，当 B120时，C180(AB)30，此时 ca2 3.探究三 判断三角形的形状 教材 P10习题 1.1 B 组第 2 题在ABC 中，如果有性质 acos Abcos B，试问这个三角形的形状具有什么特点？解析：设ABC 的外接圆的半径为 R，由正弦定理得 a2Rsin A，b2Rsin B，由 acos Abcos B 得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B.由于 A、B(0，)，所以 2A2B 或 2A2B，故 AB 或 AB2，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形例 4 在ABC 中，已知 acos Bbcos A，试判断ABC 的形
13、状解析 由正弦定理，得 sin Acos Bsin Bcos A，即 sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，因为 A，B 为ABC 的内角，故 AB0，AB，即ABC 为等腰三角形延伸探究 4.将例 4 中的条件改为“sin Aacos Bbcos Cc”，判断三角形的形状解析：由正弦定理得sin Aasin Bbsin Cc，又sin Aacos Bbcos Cc，两式相除得 1tan Btan C，又 0B，0C，所以 BC4，所以 A2.所以ABC 为等腰直角三角形5将例 4 中的条件改为“a2tan Bb2tan A”，判断三角形的形状解析：设三角形外接圆半径为
14、 R，则 a2tan Bb2tan A，所以a2sin Bcos B b2sin Acos A，即4R2sin2Asin Bcos B4R2sin2Bsin Acos A，因为 0A，0B，所以 sin A0，sin B0，可得 sin Acos Asin Bcos B，所以 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，所以 AB 或 AB2，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形方法技巧 1判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函
15、数恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC 这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2用正弦定理进行边角互化的两种方法课后小结对正弦定理的认识(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系(4)正弦定理与三角形的外接圆的半径结合起来，可实现三角形的边与角的互化(5)正弦定理可用于求解两类三角形：一是已知三角形的两角(或其三角函数值)和一边；二是已
16、知三角形两边及一边的对角(或其三角函数值)第一种三角形只有一解，第二类三角形可能一解、两解或无解素养培优1不理解三角形解的情况与条件的关系在ABC 中，已知 ax，b2，B60，如果ABC 有两组解，则 x 的取值范围是()Ax2 Bx2C2x43 3D2x43 3易错分析 对两组解存在的条件理解不清，只认为 ab 即可或理解“反”，即 ab，考查逻辑推理、数学运算的学科素养自我纠正 当 asin Bba 时，ABC 有两组解，已知 b2，B60，ax，如果ABC 有两组解，那么 x 应满足 xsin 602x，即 2x43 3.答案：C2忽视边或角的大小关系在ABC 中，角 A，B，C 的对
17、边分别为 a，b，c，已知 B6，a 3，b1，则 A()A.3B.23C.3或23D.6易错分析 忽视条件 a 与 b 的大小关系和作用，只盲目得一种结果，错选 A 或 B.考查数学运算及分类讨论思想自我纠正 在ABC 中，由正弦定理得 sin Aasin Bb3sin 61 32，因为 ba，所以 AB6，又 A(0，)，所以 A3或23.答案：C3解答不完备，题意审不清在ABC 中，若 sin A2sin Bcos C，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC 的形状易错分析 将此题的两个条件割裂开应用，致题意审不清，解答不完备或混淆概念考查数学运算、逻辑推理的学科素养及基本知识
18、的综合应用能力自我纠正 法一：根据正弦定理asin Absin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A 是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B 22.0B90，B45，C45，ABC 是等腰直角三角形法二：根据正弦定理asin Absin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A 是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC0，BC，ABC 是等腰直角三角形04 课时 跟踪训练