1、上海交大附中2015届高三上学期期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=2（4分）不等式1的解集是3（4分）设集合A=5，log2（a+3），集合B=a，b若AB=2，则AB=4（4分）已知函数，则方程f1（x）=4的解x=5（4分）方程sin2x=sin3x的解集是6（4分）函数y=log2（x2+2x+3）的单调递减区间为7（4分）若函数y=f（x）的图象与y=x+的图象关于x=1轴对称，则f（x）=8（4分）已知等差数列an中，a
2、1=10，当且仅当n=5时，前n项和Sn取得最大值，则公差d的取值范围是9（4分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（xa22，a）是奇函数，则a+b=10（4分）不等式x23axa对一切3x4恒成立，则实数a的取值范围是11（4分）在ABC中，锐角B所对的边b=10ABC的面积SABC=10，外接圆半径R=13，则ABC的周长CABC=12（4分）若函数f（x）=|x3|logax+1无零点，则a的取值范围为13（4分）设logax=logby=2，a+b=2，则x+y的取值范围为14（4分）已知函数f（x）满足：对任意x（0，+），恒有f（2x）=2f（x）成立；当x（1，2时，f（
3、x）=2x若f（a）=f，则满足条件的最小的正实数a是二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号的空格内直接写结果，选对得5分，否则一律得零分15（5分）“函数f（x）在a，b上为单调函数”是“函数f（x）在a，b上有最大值和最小值”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件16（5分）若，有下面四个不等式：|a|b|；ab；a+bab，a3b3，不正确的不等式的个数是（）A0B1C2D317（5分）已知：数列an满足a1=16，an+1an=2n，则的最小值为（）A8B7C6D518（5分）设函数、的零点分别为x1
4、、x2，则（）A0x1x21Bx1x2=1C1x1x22Dx1x22三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（12分）关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q，若QP，求正数a的取值范围20（14分）已知：函数f（x）=psinxcosxcos2x（p0，0）的最大值为，最小正周期为（）求：f（x）的解析式；（）若ABC的三条边为a，b，c，满足a2=bc，a边所对的角为A求：角A的取值范围及函数f（A）的值域21（14分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快已知每投放a（1a4，且aR）个单位的洗衣液在一定量水的洗
5、衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用（）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）22（16分）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a2=4，S5=30（）求an的表达式；（）设An为数列的前n项积，是否存在实数a
6、，使得不等式a对一切nN*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（）将数列an依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10，a11，a12），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b2015的值23（18分）已知函数f1（x）=e|x2a+1|，f2（x）=e|xa|+1，xR（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x2，3上的最小值；（2）若|f1（x）f2（x）|=f2（x）f1（x）对于任意的实数xR恒成立，求a的取值范围；（3）当
7、4a6时，求函数g（x）=在x1，6上的最小值上海交大附中2015届高三上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=64考点：等比数列的通项公式 专题：综合题分析：根据等比数列的通项公式分别化简a1+a2=3，a2+a3=6后得到首项和公比的两个关系式，分别记作和，然后即可求出公比，把公比代入即可求出首项，根据求出的首项和公比，利用等比数列的通项公式求出a7的值即可解答：解：由a1+a2=a1（1+q）=3，a2+a
8、3=a1q（1+q）=6，得：q=2，把q=2代入得到a1=1，则a7=26=64故答案为：64点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题2（4分）不等式1的解集是x|x2或x0考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：根据分式不等式的解法即可得到结论解答：解：不等式等价为或，即x2，或x0，故不等式的解集为x|x2或x0，故答案为：x|x2或x0点评：本题主要考查分式不等式的求解，比较基础3（4分）设集合A=5，log2（a+3），集合B=a，b若AB=2，则AB=1，2，5考点：并集及其运算；对数的运算性质 专题：计算题分析：由AB=2可知2A，2B，建
9、立关系可求得a、b的值，再利用并集的定义求解即可解答：解：AB=2，log2（a+3）=2a=1b=2A=5，2，B=1，2AB=1，2，5，故答案为1，2，5点评：本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题4（4分）已知函数，则方程f1（x）=4的解x=1考点：反函数；对数的运算性质 专题：计算题分析：根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f1（x）=4的x值，即求f（4）的值解答：解：由题意得，即求f（4）的值，f（4）=log3（1+2）=1，f（4）=1即所求的解x=1故答案为1点评：本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题5（4分）方程s
10、in2x=sin3x的解集是x|x=2k或x=（kZ）考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的求值分析：首先对三角函数的方程进行恒等变换，进一步解出方程的解解答：解：方程sin2x=sin3x则：sin（2x+2k）=sin3x或sin3x=sin（2k+2x）解得：x=2k或x=（kZ）故：本题的解集为：x|x=2k或x=（kZ）故答案为：x|x=2k或x=（kZ）点评：本题考查的知识要点：三角函数方程问题属于基础题型6（4分）函数y=log2（x2+2x+3）的单调递减区间为（1，3）考点：复合函数的单调性 专题：函数的性质及应用分析：令t=x2+2x+30，求得函数的定义域为（1
11、，3），且y=log2t，本题即求t在（1，3）上的减区间再利用二次函数的性质求得t=（x1）2+4在（1，3）上的减区间解答：解：令t=x2+2x+30，求得1x3，故函数的定义域为（1，3），且y=log2t，故本题即求t在（1，3）上的减区间再利用二次函数的性质求得t=（x1）2+4的减区间为（1，3），故答案为：（1，3）点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了等价转化的数学思想，属于中档题7（4分）若函数y=f（x）的图象与y=x+的图象关于x=1轴对称，则f（x）=考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由函数f（x）的图象与函数y=x+的图象关于x=1对称
12、，故在函数y=f（x）的图象上任取（x，y），则点（x，y）关于x=1对称的点为（2x，y）在的图象上，代入即可得到答案解答：解：在函数y=f（x）的图象上任取（x，y），点（x，y）关于x=1对称的点为（2x，y），（2x，y）在的图象上，所以f（x）=，故答案为：点评：本题考查了函数图象的对称性与函数解析式的求法，属于基础题8（4分）已知等差数列an中，a1=10，当且仅当n=5时，前n项和Sn取得最大值，则公差d的取值范围是（2.5，2）考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意，等价于a50a6，即10+4d010+5d，从而可得公差d的取值范围解答：解：由题意
13、，等价于a50a6，所以10+4d010+5d，所以d（2.5，2）故答案为：（2.5，2）点评：本题考查公差d的取值范围，考查等差数列的性质，比较基础9（4分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（xa22，a）是奇函数，则a+b=1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）=asinx+bcosx（xa22，a）是奇函数，可得a22+a=0，aa22，解得a，又f（0）=b=0，即可得出解答：解：函数f（x）=asinx+bcosx（xa22，a）是奇函数，a22+a=0，aa22，解得a=1，又f（0）=b=0，a+b=1故答案为：1点评：本题考查了函数的奇偶性
14、，属于基础题10（4分）不等式x23axa对一切3x4恒成立，则实数a的取值范围是a3考点：一元二次不等式的解法；函数恒成立问题 专题：计算题；压轴题分析：由x23axa对一切3x4恒成立可得，在x3，4恒成立构造函数，x3，4从而转化为ag（x）min结合函数=在x3，4单调性可求解答：解：x23axa对一切3x4恒成立在x3，4恒成立令，x3，4即ag（x）min而=在x3，4单调递增故g（x）在x=3时取得最小值3故答案为：a3点评：本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：af（x）（或af（x）恒成立af（x）max（或af（x）min），体现了转化
15、思想在解题中的应用11（4分）在ABC中，锐角B所对的边b=10ABC的面积SABC=10，外接圆半径R=13，则ABC的周长CABC=10+10考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理列出关系式，把b，R代入求出sinB的值，根据B为锐角求出cosB的值，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，求出a2+c2的值，根据完全平方公式求出a+c的值，即可确定出三角形周长解答：解：由正弦定理=2R，得sinB=，B为锐角，cosB=，SABC=acsinB=10，ac=52，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即100=a2+c296，整理得：a2+c2
16、=196，（a+c）2=a2+c2+2ac=196+104=300，即a+c=10，则ABC的周长CABC=a+c+b=10+10故答案为：10+10点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键12（4分）若函数f（x）=|x3|logax+1无零点，则a的取值范围为（3，+）考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：f（x）=|x3|logax+1无零点可化为|x3|+1=logax无解即函数y=|x3|+1与y=logax没有公共点作图求解解答：解：假若f（x）=|x3|logax+1无零点，即|x3|+1=logax无解即函数y=
17、|x3|+1与y=logax没有公共点在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可知只需0loga31所以，a的取值范围为（3，+）点评：本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题13（4分）设logax=logby=2，a+b=2，则x+y的取值范围为（2，+）考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：首先利用对数的运算性质求出x，y，进而求得x+y与ab关系，然后利用a+b=22，求得ab范围，代入x+y即可求出结果解答：解：logax=logby=2x=a2，y=b2，又a+b=2，且a、b均不能为1，ab=，x+y=a2+b2=+=，x+y2故答案为：（2，+）点评：本题主要考查对数的运算
18、性质，关键是利用a+b=22，求得ab范围；本题应注意a，b是对数的底数不等于114（4分）已知函数f（x）满足：对任意x（0，+），恒有f（2x）=2f（x）成立；当x（1，2时，f（x）=2x若f（a）=f，则满足条件的最小的正实数a是92考点：函数的周期性 分析：取x（2m，2m+1），得到（1，2，f（ ）=2，从而f（x）=2m+1x，根据f=f（a）进行化简，能求出满足条件的最小的正实数a的值解答：解：取x（2m，2m+1），则 （1，2；f（ ）=2，从而f（x）=2f（ ）=2mf（ ）=2m+1x，其中，m=0，1，2，f=210f（）=2112012=20482012=36
19、=f（a）设a（2m，2m+1），则f（a）=2m+1a=36a=2m+136（2m，2m+1）即m6，即a92，满足条件的最小的正实数a是92故答案为：92点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号的空格内直接写结果，选对得5分，否则一律得零分15（5分）“函数f（x）在a，b上为单调函数”是“函数f（x）在a，b上有最大值和最小值”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条
20、件的判断 专题：综合题分析：（1）充分性；利用函数的单调性的定义可直接判断充分性成立；（2）必要性：举反例：二次函数y=x2，在区间1，2上有最大值和最小值，但不是单调函数，说明必要性不成立解答：解：先看充分性：若函数f（x）在a，b上为单调增函数，则函数f（x）在a，b上有最大值为f（b）和最小值f（a）；若函数f（x）在a，b上为单调减函数，则函数f（x）在a，b上有最大值为f（a）和最小值f（b），说明充分性成立再看必要性：给出二次函数y=x2，在区间1，2上有最大值f（2）=4，最小值为f（0）=0，但是函数在区间1，2上先减后增，不是单调函数，说明必要性不成立故选A点评：本题以函数为
21、载体，考查了充分必要条件的判断，属于基础题，结合函数的图象来理解函数的单调性与最值，对于本题的解决很有帮助16（5分）若，有下面四个不等式：|a|b|；ab；a+bab，a3b3，不正确的不等式的个数是（）A0B1C2D3考点：不等关系与不等式 专题：证明题分析：由条件可得 0ab，代入各个选项，检验各个选项是否正确解答：解：由 ，可得 0ab，|a|b|，故不成立；a+b0ab，a3b3都成立，故一定正确，故选 C点评：本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出 0ab17（5分）已知：数列an满足a1=16，an+1an=2n，则的最小值为（）A8B7C6D5考点：数列递推式 专题：计
22、算题；压轴题分析：a2a1=2，a3a2=4，an+1an=2n，这n个式子相加，就有an+1=16+n（n+1），故，由此能求出的最小值解答：解：a2a1=2，a3a2=4，an+1an=2n，这n个式子相加，就有an+1=16+n（n+1），即an=n（n1）+16=n2n+16，用均值不等式，知道它在n=4的时候取最小值7故选B点评：本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用18（5分）设函数、的零点分别为x1、x2，则（）A0x1x21Bx1x2=1C1x1x22Dx1x22考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；综合题；压轴题；数形结合分析：根据函数、的零点分别
23、为x1、x2，由图象知0x21x1，根据对数的运算法则将进行化简可得，根据指数函数的单调性可得，利用对数函数的单调性可求得结果解答：解：函数、的零点分别为x1、x2，0x21x1，=0，=0，而，即，0x1x21，故选A点评：此题是个难题综合考查函数图象的交点问题和对数函数的单调性以及指数函数的单调性，体现了数形结合和转化的思想，以及考查学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（12分）关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q，若QP，求正数a的取值范围考点：指、对数不等式的解
24、法；集合关系中的参数取值问题 专题：计算题分析：解不等式可得其解集Q，再解分式不等式求出其解集P，再由QP，求得正数a的取值范围解答：解：解不等式可得0x212，解得1x，或x1故Q=x|1x，或x1由a0，可得不等式的解集为p=x|x1，或 xa，再由QP可得 a1综合可得0a1，故正数a的取值范围（0，1点评：本题主要考查分式不等式的解法，对数不等式的解法，集合关系中参数的取值范围问题，属于中档题20（14分）已知：函数f（x）=psinxcosxcos2x（p0，0）的最大值为，最小正周期为（）求：f（x）的解析式；（）若ABC的三条边为a，b，c，满足a2=bc，a边所对的角为A求：角
25、A的取值范围及函数f（A）的值域考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：解三角形分析：（）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式求出的值，由函数的最大值求出p的值，即可确定出解析式；（）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式代入并利用基本不等式变形求出cosA的范围，确定出A的范围，进而求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的值域解答：解：（）f（x）=sin2xcos2x=sin（2xarctan），由=，得=2，由=及p0，得p=，则f（x）=sin（
26、4x）；（）ABC中，a2=bc，cosA=，A为三角形内角，0A，4A，sin（4A）1，则1f（A）故值域是1，点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，基本不等式的运用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21（14分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快已知每投放a（1a4，且aR）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升
27、）时，它才能起到有效去污的作用（）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（I）a=4，所以y=，利用水中洗衣液的浓度不低于4（克/升），利用分段函数的意义分类讨论即可解出；（II）当6x10时，y=2（5）+a=（14x）+a4a4，利用基本不等式，即可得出结论解答：解：（）因为a=4，所以y=（1分）则当0x4时，由，解得x0，所以此时0x4（3分）
28、当4x10时，由202x4，解得x8，所以此时4x8（5分）综上，得0x8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟（6分）（）当6x10时，y=2（5）+a=（14x）+a4a4（10分）当且仅当14x=4时等号取到（因为1a4，所以x6，10能取到）所以y有最小值8a4（12分）令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为24161.4（14分）点评：本题考查了分段函数的意义及基本不等式的运用、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题22（16分）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a2=4，S5=30（）求an的表达式；（）设An为数列的前n项
29、积，是否存在实数a，使得不等式a对一切nN*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（）将数列an依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10，a11，a12），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b2015的值考点：数列的应用；等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）因为数列an是等差数列，从而可求通项公式an=4+（n2）2=2n（nN*）；（）设g（n）=（1）（1）（1），可证g（n）单调递减，从而可得g（n）max=g（1
30、）=从而化恒成立问题为最值问题；（）数列an依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），；，每一次循环记为一组由于每一个循环含有3个括号，故b2015是第672组中第2个括号内各数之和由分组规律知，b2，b5，b8，b2015，组成首项b2=10，公差d=24的等差数列从而求得解答：解：（）因为数列an是等差数列，由S5=30，得a3=6，所以公差d=2所以an=4+（n2）2=2n（nN*）；（）设g（n）=（1）（1）（1），因为=（1）=1，并且g（n）0，所以g（n）g（n+1）g（n）单调递减，所以g（n）max
31、=g（1）=因为不等式a对一切nN*都成立，所以a（）数列an依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），；，每一次循环记为一组由于每一个循环含有3个括号，故b2015是第672组中第2个括号内各数之和由分组规律知，b2，b5，b8，b2015，组成首项b2=10，公差d=24的等差数列其中b2015是这个数列的第672项，所以b2015=10+（6721）24=16114点评：本题考查了数列的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题23（18分）已知函数f1（x）=e|x2a+1|，f2（x）=e|xa|+1，xR（1
32、）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x2，3上的最小值；（2）若|f1（x）f2（x）|=f2（x）f1（x）对于任意的实数xR恒成立，求a的取值范围；（3）当4a6时，求函数g（x）=在x1，6上的最小值考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题 专题：计算题；数形结合；分类讨论分析：（1）对于a=2，x2，3，去掉绝对值得f（x）=e3x+ex1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f1（x）f2（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x2a+1|xa|1对于任意的实数x恒成立，然后
33、利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；（3）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x2a+1|与|xa|+1的大小关系，则令F1（x）=|x2a+1|，F2（x）=|xa|+1，则G（x）=其中4a6，x1，6，结合图形可知当4a6时G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e解答：解：（1）对于a=2，x2，3，f（x）=e|x3|+e|x2|+1=e3x+ex1（3分）2=2e，当且仅当e3x=ex1，即x=2时等号成立，f（x）min=2e（6分）（2）|f1（x）f2（x）|=f2（x）f1（x）对于
34、任意的实数x恒成立，即f1（x）f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x2a+1|e|xa|+1对于任意的实数x恒成立，|x2a+1|xa|+1，即|x2a+1|xa|1对于任意的实数x恒成立（9分）又|x2a+1|xa|（x2a+1）（xa）|=|a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|a+1|1，解得0a2，a的取值范围为0a2（12分）（3）g（x）=（13分）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x2a+1|与|xa|+1的大小关系令F1（x）=|x2a+1|，F2（x）=|xa|+1，G（x）=其中4a6，x1，6（14分）4a62a1a1，令2a1x=1，得x=2a2，由题意可以如下图象：（15分）当4a6时，a62a2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去
