1、圆和圆的位置关系知识点一圆和圆的位置关系（基础）设O1、O2的半径分别为R、r（其中Rr），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部dR+r两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部d=R+r两圆外切相交两个圆有两个公共点R-rdR+r两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部d=R-r两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例0d1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A内含B
2、内切C外离D相交【答案】C【详解】解：r1，23r，这两个圆的位置关系不可能外离故选：C【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：两圆外离dRr；两圆外切dRr；两圆相交RrdRr（Rr）；两圆内切dRr（Rr）；两圆内含dRr（Rr）典例2已知两圆的半径是方程x27x120两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是( )A内切 B相交 C外离 D外切【答案】C【详解】方程x2-7x+12=0，可转化为（x-3）（x-4）=0，解得x1=3，x2=4两圆半径之和为7，两圆半径之差为1；圆心距d=8，两圆半径之和为7；两圆外离故选C【名师点睛】考查用因
3、式分解法解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法典例3已知线段AB7cm现以点A为圆心，2cm为半径画A；再以点B为圆心，3cm为半径画B，则A和B的位置关系是()A内含 B相交 C外切 D外离【答案】D【解析】依题意，线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画A；再以点B为圆心，3cm为半径画B，R+r=3+2=5，d=7，所以两圆外离故选Dl 圆与圆位置关系内含（练习）【图示】典例1已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（）A11； B6； C3； D2【答案】D【解析】圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心
4、距为d，当d4+7或d11或d3，上述四个数中，只有D选项中的2符合要求.故选D.典例2已知的半径长为，的半径长为，如果与内含，那么圆心距的长度可以为（）A.；B.；C.；D.【答案】A【详解】A的半径长为2，B的半径长为5，A与B内含，AB5-2=3，A选项符合，故选：Al 圆与圆位置关系内切/外切（练习）【图示】典例1已知O1与O2相切，若O1的半径为1，两圆的圆心距为5，则O2的半径为（）A4 B6 C3或6 D4或6【答案】D【解析】解：O1与O2相切，O1的半径为1，两圆的圆心距为5，若O1与O2内切，则O2的半径为：5-1=4，若O1与O2外切，则O2的半径为：5+1=6，O2的半
5、径为4或6故选D典例2已知两圆的直径分别为7和1，当它们相切时，圆心距为（）A8 B6 C8或6 D4或3【答案】D【解析】试题解析：直径分别为7和1，两圆半径分别为3.5和0.5，当两圆外切时，圆心距为3.5+10.5=4；当两圆内切时，圆心距为3.50.5=3.故选D.典例3两个圆的半径分别为5和9，两圆的圆心距为d，当两圆相切时， d的值是（）A14 B6 C6或14 D4或14【答案】D【解析】根据两圆相切的定义得：当或时，两圆相切.易得D.l 圆与圆位置关系相交（练习）【图示】典例1如图，圆与圆的位置关系没有（）A相交B相切C内含D外离【答案】A【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是
6、图像中没有两个交点的情况,所以圆与圆的位置关系没有相交,故选A.【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉位置关系的辨析方法是解题关键.典例2 O1和O2半径分别是x27x120两根O1O22，则二圆位置关系是( )A相交 B相离 C相切 D外切【答案】A【详解】解方程x27x120得x13，x24，O1O22，x2x17，x2x11，x2x1O1O2x2x1，O1与O2相交，故答案选A.【名师点睛】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断，解题的关键是正确的解一元二次方程.典例3已知两圆的半径满足方程，圆心距为，则两圆位置关系是（）A.相交B.外切C.内切D.外离【
7、答案】A【详解】解方程得两圆半径都等于.则两半径相减=02，两半径相加=2，因此两圆的位置关系是相交的.故选：A.【名师点睛】设两圆半径为R，r,圆心距为p. R-rpR+r时，两圆相交.典例4已知在ABC中，AB=AC=13，BC=10，如果以A为圆心为半径的A和以BC为直径的D相交，那么的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【详解】由题意得：BD=DC=5，AB=AC=13，由勾股定理得：AD=12，设A的半径为r，根据两圆相交得：r-512r+5，解答：7r17，故选D典例5已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系为（）A相交 B外切 C内切 D外离【答案】
8、A【解析】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）.因此，两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，即两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.这两圆的位置关系为相交.故选A.巩固训练一、单选题（共10小题）1如图，O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交O于B、C点，则BC=（）A.63B.62C.33D.32【答案】A【解析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长解：如图所示
9、，设OA与BC相交于D点.AB=OA=OB=6，OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD=62-32=33所以BC=2BD=63.故选A.2如图，已知POQ=30，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的A与直线OP相切，半径长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是（）A.5OB9B.4OB9C.3OB7D.2OB7【答案】A【详解】设A与直线OP相切时切点为D，连接AD，ADOP，O=30，AD=2，OA=4，当B与A相内切时，设切点为C，如图1，BC=3，OB=OA+AB=4+32=5；当A与B相外切时，设切点为E，如图2，OB=OA+AB
10、=4+2+3=9，半径长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是：5OB9，故选A【名师点睛】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.3已知O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与O的位置关系为（）A相交 B相切 C相离 D无法确定【答案】B【详解】圆心到直线的距离5cm=5cm，直线和圆相切，故选B【名师点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离4已知A与B外切，C与A、B都内切，且AB5，AC6，BC7，那么
11、C的半径长是（）A.11B.10C.9D.8【答案】C【详解】设A的半径为X,B的半径为Y,C的半径为Z.X+Y=5Z-X=6Z-Y=7解得Z=9X=3Y=2故选：C【名师点睛】此题考查相切两圆的性质，解题关键在于列出方程5已知O1的半径为3cm，O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则O1与O2的位置关系是（）A外离 B外切 C相交 D内切【答案】C【解析】详解：O1的半径为3cm，O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又2+3=5，3-2=1，145，O1与O2的位置关系是相交故选：C6如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，A的半径长为3
12、，D与A相交，且点B在D外，那么D的半径长r的取值范围是（）A.2r4B.C.D.【答案】A【详解】试题分析：由勾股定理，得：AD5，D与A相交，所以，r532，BD734，点B在D外，所以，r4，故有2r4故选A7已知圆O1的半径长为6cm，圆O2的半径长为4cm，圆心距O1O2=3cm，那么圆O1与圆O2的位置关系是( )A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】C【解析】详解：圆O1的半径长为6cm，圆O2的半径长为4cm，圆心距O1O2=3cm，6-436+4,圆O1与圆O2的位置关系是相交.故选C.8如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a,0)，半径为5.如果两圆内含，
13、那么a的取值范围为（）A-2a2B-2a2C0a5D0a3【答案】B【详解】根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a-0|=|a|，因为两圆内含时，圆心距5-3，即|a|2，解得-2a2故选B【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，注意圆和圆内含的条件；当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值9已知O1的半径为3cm，O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则O1与O2的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】C【解析】详解：O1的半径为3cm，O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又2+3=5，32=1，145，O1与O2的位置关系是相交故选：C10已知两
14、圆的半径R 、r 分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为 7，则两圆的位置关系是（）A外离B相交C外切D内切【答案】C【详解】解：x2-7x+10=0，（x-2）（x-5）=0，x1=2，x2=5，即两圆半径R 、r分别是2，5，2+5=7，两圆的圆心距为7，两圆的位置关系是外切故选：C【名师点睛】本题考查圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解题的关键二、填空题（共5小题）11已知O1和O2的半径分别是一元二次方程x2-2x+89=0的两根，且O1O2=1，则O1和O2的位置关系是_.【答案】相交【解析】详解：x
15、2-2x+89=0，解得：x=23或x=43，又O1和O2的半径分别是一元二次方程x2-2x+89=0的两根，O1和O2的半径分别是23与43，23+43=2，43-23=23，且O1O2=1，O1和O2的位置关系是相交故答案为：相交12如图，A、B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB=10cm，现A、B分别沿直线l以每秒2cm和每秒1cm的速度相向移动，则当两圆相切时，B运动的时间为_秒【答案】103【详解】本题所说的两圆相切，应分为两圆第一次相遇时的相切和两圆继续移动，即将相离时的相切两种情况第一种情况两圆所走的路程为10-2=8cm，83=83秒，第二种情况两圆所
16、走的路程为10+2=12cm，123=4秒，故答案为83或4.【名师点睛】本题考查了两圆间的位置关系、行程问题，熟练掌握行程问题中的时间、路程、速度三者间的关系以及运用分类讨论思想解答本题是关键.13如图，A和B的半径分别为5和1，AB3，点O在直线AB上，O与A、B都内切，那么O半径是_【答案】32或92【解析】当点O在点A左侧时，O半径r=10-12=92 ,当点O在点B右侧时，O半径r=10-72=32 .故填92或32.14已知：关于x的一元二次方程x2（R+r）x+14 d2=0没有实数根，其中R、r分别为O1和O2的半径，d为此两圆的圆心距，则O1和O2的位置关系为_【答案】两圆外
17、离【解析】详解：根据题意，得：=（R+r）2d2=（R+r+d）（R+rd）0，R+rd0，即dR+r，则两圆外离15已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为_【答案】4【详解】两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3另一个圆的半径734故答案为：4【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，本题的解题关键是掌握当两圆外切时圆心距为两圆半径之和，两圆内切时，圆心距为大圆半径-小圆半径.三、解答题（共2小题）16实践探索题：在生产、生活中，我们会经常遇到捆扎圆柱管的问题下面，我们来探索捆扎时，所需要的绳子的长度(不计接头部分)与圆柱管的半径r之间的关系(1)当圆柱管
18、的放置方式是“单层平放”时，截面如图所示：请你完成下表：圆柱管个数123绳子长度2r(2)当圆柱管的放置方式是“两层叠放(每一个圆都和至少两个圆外切)”时，截面如图所示：请你填写下表：圆柱管个数3456绳子长度【答案】(1)4r+2r，8r+2r；(2)6r+2r，8r+2r，10r+2r，12r+2r.【分析】（1）随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长；（2）以3个圆柱管为基础，随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长.【详解】（1）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长，得4r+2r，8r+
19、2r；（2）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长，得6r+2r，8r+2r，10r+2r，12r+2r.【名师点睛】解决本题的关键是观察分析得到每类圆柱管的放置规律17如图，若O的周长为20cm，A、B的周长都是4cm，A在O内沿O滚动，B在O外沿O滚动，B转动6周回到原来的位置，而A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？【答案】与原题意相符【解析】解：圆O的周长为20cm，圆O的半径=10cm，圆A圆B周长都是4cm，圆A圆B周长半径都是2，圆A在圆O内沿圆O滚动半径是102=8，圆B在圆O外沿圆O滚动半径是10+2=12要回到原来的位置，圆B转动的周数=122=6，圆A转动的周数=82=4
