1、上海交大附中2015届高三上学期摸底数学试卷一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1（4分）函数f（x）=1+log2x（x2）的反函数f1（x）=2（4分）函数y=的最小值3（4分）若，则a的取值范围是4（4分）若对任意正实数a，不等式x21+a恒成立，则实数x的最小值为5（4分）同时满足（1）M1，2，3，4，5，6，7，8，9；（2）若aM，则9aM的非空集合M有个6（4分）设，若“a=1”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是7（4分）已知sin=3cos，则=8（4分）方程有解，则k9（4分）如果=tansec成立，那么角的范围是10（4分）函数f（x）=2x+sin
2、2x1图象的对称中心是11（4分）（）n=0，则a的取值范围是12（4分）Sn为等差数列an的前n项和，若=，则=13（4分）关于函数f（x）=4sin（2x+）（xR），有下列命题：（1）由f（x1）=f（x2）=0，可得x1x2必定是的整数倍；（2）y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x+）；（3）y=f（x）的图象关于点（，0）对称；（4）y=f（x）的图象关于直线x=对称，其中正确的命题的序号是14（4分）已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和记为S，又设Bn=，（nN*，n2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T2014的最小正整数为二、选择题（本大题共
3、4题，每题5分，满分20分）15（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x2x2=0”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件16（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，217（5分）如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三
4、角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形18（5分）定义一种新运算：ab=已知函数f（x）=（1+）log2x，若函数g（x）=f（x）k恰有两个零点，则k的取值范围为（）A（1，2B（1，2）C（0，2）D（0，1）三、解答题（本大题共5题，满分74分12+14+14+16+18=74）19（12分）解关于x的不等式：mx2+（m2）x2020（14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（）求A的大小；（）若a=6，求b+c的取值范围21（14分）数列an的首项a1=a，an+an+1=3n54，nN*（1）求数列an的通项公式；（3）设an的前n项和
5、为Sn，若Sn的最小值为243，求a的取值范围？22（16分）阅读：已知a、b（0，+），a+b=1，求y=+的最小值解法如下：y=+=（+）（a+b）=+33+2，当且仅当=，即a=1，b=2时取到等号，则y=+的最小值为3+2应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a，b，c（0，+），a+b+c=1，求y=+的最小值；（2）已知x（0，），求函数y=+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，an，a1+a2+a3+an=1，求证：S=+23（18分）已知函数f（x）满足，对x0恒成立，在数列an，bn中，a1=1，b1=1，对任意（1）求函数f（x）的解析式；（2）求an、bn的通项公式
6、；（3）若对任意实数0，1，总存在自然数k，当nk时，恒成立，求k的最小值上海交大附中2015届高三上学期摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1（4分）函数f（x）=1+log2x（x2）的反函数f1（x）=f1（x）=2x1（x2）考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：由x2，可得y=1+log2x2，由y=1+log2x，解得x=2y1，把x与y互换即可得出反函数解答：解：x2，y=1+log2x2，由y=1+log2x，解得x=2y1，故f1（x）=2x1（x2）故答案为：f1（x）=2x1（x2）点评：本题考查了反函数的求法、指数与对数的
7、互化，属于基础题2（4分）函数y=的最小值考点：函数单调性的性质；函数的值域 专题：函数的性质及应用分析：化简函数的表达式，然后利用基本不等式求出函数的最小值即可解答：解：函数y=，显然，令，y=t+，函数在t上是增函数，所以函数的最小值为t=3时，即x=0时，原函数取得最小值：故答案为：点评：本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，是中档题3（4分）若，则a的取值范围是考点：对数函数的单调性与特殊点 专题：计算题分析：当a1时，由，可得原不等式成立当1a0时，由，求得a的取值范围，然后把这两个a的取值范围取并集解答：解：当a1时，成立当 1a0时，0a综上可得，a的取值范围是 故答案为：点评
8、：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想4（4分）若对任意正实数a，不等式x21+a恒成立，则实数x的最小值为1考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：根据a是正实数，确定x21，解得1x1，所以实数x的最小值为1解答：解：a是正实数，1+a1，不等式x21+a恒成立等价于x21，解得：1x1，实数x的最小值为1，故答案为：1点评：本题考查不等式性质的应用以及恒成立命题的转化属于中档题5（4分）同时满足（1）M1，2，3，4，5，6，7，8，9；（2）若aM，则9aM的非空集合M有15个考点：子集与真子集；元素与集合关系的判断 专题：计算题；集合分析：由集合M
9、的元素所满足的两个性质，找到集合M的元素，从而确定集合M的个数解答：解：（1）M1，2，3，4，5，6，7，8，9；（2）若aM，则9aM，将数分组1，8；2，7；3，6；4，5所以集合M中，若有1、8，则成对出现，有2、7、则成对出现，有3、6、则成对出现，有4、5、则成对出现满足题意点的集合M有15个故答案为：15点评：本题考查集合的子集和元素与几何的关系，比较简单的集合可以用列举法写出来属简单题6（4分）设，若“a=1”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是（2，2）考点：绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法 专题：计算题分析：化简集合A、集合B，根据a
10、=1时，AB，可得b=0 满足条件，当b0时，应有 b11b+1，或 b11b+1，分别求出b的范围后，再取并集，即得所求解答：解：=x|1x1，B=x|xb|a=x|baxb+a，“a=1”是“AB”的充分条件，x|1x1x|b1xb+1，当b=0时，A=B，满足条件当b0时，应有 b11b+1，或 b11b+1解得2b0，或 0b2综上可得2b2，故答案为 （2，2）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题7（4分）已知sin=3cos，则=考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦 专题：计算题；三角函数的求值分析：由已知先求tan，把所求的式子
11、中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，代入可求 值解答：解：sin=3cos，tan=3则=故答案为：点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握二倍角的正弦、余弦函数公式是解本题的关键8（4分）方程有解，则k3，1考点：正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦 专题：计算题分析：先把k表示出来，然后再用三角恒等变换的相关公式，构造正弦型或余弦型函数根据函数的有界性即可得解解答：解：由题意知，k=cos2x2sinxcosx1=cos2xsin2x1=2cos（2x+）1当xR时，cos（2x+）1，12cos（2x+）2
12、，22cos（2x+）13，1即k3，1故答案为：3，1点评：本题考查三角恒等变换（倍角公式、和角公式）及三角函数值域的求解，求函数值域时需注意定义域，须能熟练应用公式属简单题9（4分）如果=tansec成立，那么角的范围是考点：三角函数的化简求值 专题：三角函数的求值分析：根据平方关系、商的关系将等式两边分别化简，再进行比较，由三角函数值的符号求出角的范围解答：解：左边=，右边=tansec=，则cos0，角的取值范围是：，故答案为：点评：本题考查平方关系、商的关系，三角函数值的符号，属于基础题10（4分）函数f（x）=2x+sin2x1图象的对称中心是（0，1）考点：函数的图象 专题：函数
13、的性质及应用分析：先研究函数g（x）=2x+sin2x的对称性，在研究函数f（x）与函数g（x）图象间的关系，最后由g（x）的对称中心推出f（x）的对称中心解答：解：设g（x）=2x+sin2x，则g（x）=2x+sin（2x）=2xsin2x=（2x+sin2x）=g（x）g（x）为奇函数，其对称中心为（0，0）f（x）=g（x）1函数f（x）的图象是由函数g（x）的图象再向下平移1个单位得到的，故f（x）的对称中心为（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查了函数的奇偶性及其判断方法，函数图象的平移变换，函数的对称性的判断的应用11（4分）（）n=0，则a的取值范围是a或a考点：极限及其
14、运算 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用（）n=0，可得|1，即可求出a的取值范围解答：解：（）n=0，|1，a或a故答案为：a或a点评：本题考查极限及其运算，考查学生的计算能力，比较基础12（4分）Sn为等差数列an的前n项和，若=，则=考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用=，可得an=d，a1=，求出Sn，即可求出解答：解：由=，即=，得an=d，a1=Sn=故=故答案为：点评：本题采用基本量法来作，考查学生的计算能力，属于基础题13（4分）关于函数f（x）=4sin（2x+）（xR），有下列命题：（1）由f（x1）=f（x2）=0，可得x1x2必定是的
15、整数倍；（2）y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x+）；（3）y=f（x）的图象关于点（，0）对称；（4）y=f（x）的图象关于直线x=对称，其中正确的命题的序号是（2），（3）考点：命题的真假判断与应用 专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数的性质直接判断即可解答：解：f（x）=4sin（2x+），T=对于（1），由f（x1）=f（x2）=0，可得x1x2必定是的整数倍，故（1）不正确对于（2），f（x）=4sin（2x+）=f（x）=4sin（2x+）=4cos（2x+），故（2）正确对于（3），f（+x）+f（x）=0，函数y=f（x）关于点（，0）中心对称，故（3）正确
16、对于（4），有（3）可知，不正确故答案选：（2），（3）点评：本题考查三角函数的图象性质，属于基础题14（4分）已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和记为S，又设Bn=，（nN*，n2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T2014的最小正整数为45考点：等比数列的性质 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：求出等比数列an的前n项和S，Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T2014，即可求出最小正整数解答：解：等比数列an的首项为，公比为，其前n项和记为S，S=1，当n=2时，Bn的所有非空子集为：，S=；当n=3时，S=4+1+2=4；当n4时，当最小值为
17、时，每个元素都有或无两种情况，共有n1个元素，共有2n11个非空子集，S1=；当最小值为，不含，含，共n2个元素，有2n21个非空子集，T=S1+S2+S3+Sn=+2+=S+2T2014，1+n212014n45故答案为：45点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x2x2=0”的必要不充分条件C命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题D“tanx=1”是“
18、x=”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用 专题：综合题；简易逻辑分析：对选项逐个进行判断，即可得出结论解答：解：A：命题“若x2=1，x=1”的否命题是“若x21，则x1”，故不正确；B：“x=1”是“x2x2=0”的充分不必要条件，故不正确；C：命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题，故正确；D：“tanx=1”是“x=”的必要不充分条件，故不正确故选：C点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，考查充要条件，属于中档题16（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1
19、，0C1，2D0，2考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2a20，得1a2，问题解决解答：解；当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：a2x+a，解不等式：a2a20，得1a2，0a2，故选：D点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题17（5分）如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，
20、A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形考点：诱导公式的作用 专题：压轴题；反证法分析：首先根据正弦、余弦在（0，）内的符号特征，确定A1B1C1是锐角三角形；然后假设A2B2C2是锐角三角形，则由cos=sin（）推导出矛盾；再假设A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出A2B2C2是钝角三角形的结论解答：解：因为A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则A1B1C1是锐角三角形若A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，这与三角形内角和是相矛盾；若A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1
21、=cosA1，所以A1在（0，）范围内无值所以A2B2C2是钝角三角形故选D点评：本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想18（5分）定义一种新运算：ab=已知函数f（x）=（1+）log2x，若函数g（x）=f（x）k恰有两个零点，则k的取值范围为（）A（1，2B（1，2）C（0，2）D（0，1）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：由新定义可得函数f（x）的解析式，问题等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象可得答案解答：解：令1+=log2x，可解得x=4，此时函数值为2，而且当0x4时，1+log2x，当x4时1+l
22、og2x，故f（x）=（1+）log2x=，函数g（x）=f（x）k恰有两个零点等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象：由图象可知，k的取值范围为（1，2）故选B点评：本题考查根的存在性即个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题三、解答题（本大题共5题，满分74分12+14+14+16+18=74）19（12分）解关于x的不等式：mx2+（m2）x20考点：一元二次不等式的解法 专题：分类讨论；不等式的解法及应用分析：讨论m=0、m0以及m0时，对应的不等式解集的情况，求出解集即可解答：解：当m=0时，不等式化为2x20，解得x1；当m0时，不等式化为（mx2）（x+
23、1）0，解得x1，或x；当2m0时，1，不等式化为（x）（x+1）0，解得x1；当m=2时，不等式化为（x+1）20，此时无解；当m2时，1，不等式化为（x）（x+1）0，解得1x；综上，m=0时，不等式的解集是x|x1；m0时，不等式的解集是x|x1，或x；2m0时，不等式的解集是x|x1；m=2时，不等式无解；m2时，不等式的解集是x|1x点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题目20（14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（）求A的大小；（）若a=6，求b+c的取值范围考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用
24、专题：解三角形分析：（）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A（）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可解答：解：（）由正弦定理知=，sinA=cosA，即tanA=，0A，A=（）由已知：b0，c0，b+ca=6，由余弦定理得36=b2+c22bccos=（b+c）23bc（b+c）2（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），（b+c）2436，又b+c6，6b+c12，即b+c的取值范围是（6，12点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用结合了基本不等式知
25、识的考查，综合性较强21（14分）数列an的首项a1=a，an+an+1=3n54，nN*（1）求数列an的通项公式；（3）设an的前n项和为Sn，若Sn的最小值为243，求a的取值范围？考点：数列的求和；数列递推式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）可求a2=51a，则an+1+an+2=3n51，an+an+1=3n54，两式作差，得an+2an=3，即奇数项成等差，偶数项成等差，分n为奇数、偶数可分别求出；（2）分n为奇数、偶数求出Sn，然后利用二次函数性质可求得最值，根据已知条件可得a的不等式；解答：解：（1）a1=a，a2=51a，又an+1+an+2=3n51，an+an
26、+1=3n54，则an+2an=3，即奇数项成等差，偶数项成等差，；（2）当n为偶数，即n=2k时：，SnS18=243；当n为奇数，即n=2k1时：，SnS17=S19=a216，（Sn）min=243，a216243，a27点评：本题考查由递推式求数列通项、等差数列是通项公式、数列求和及二次函数的性质，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力22（16分）阅读：已知a、b（0，+），a+b=1，求y=+的最小值解法如下：y=+=（+）（a+b）=+33+2，当且仅当=，即a=1，b=2时取到等号，则y=+的最小值为3+2应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a， b，c（0，+），a+b+
27、c=1，求y=+的最小值；（2）已知x（0，），求函数y=+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，an，a1+a2+a3+an=1，求证：S=+考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出解答：解（1）a+b+c=1，y=+=（a+b+c）=3+2=9，当且仅当a=b=c=时取等号即的最小值为9（2）=10+2，而，=8，当且仅当，即时取到等号，则y18，函数y=的最小值为18（3）a1+a2+a3+an=1，2S=（+）（a1+a2）+（a2+a3）+（an+a1）=+（2a1a2+2a2a3+2ana1）=1当且仅当a1=a2=an=时取到等号，则
28、点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题23（18分）已知函数f（x）满足，对x0恒成立，在数列an，bn中，a1=1，b1=1，对任意（1）求函数f（x）的解析式；（2）求an、bn的通项公式；（3）若对任意实数0，1，总存在自然数k，当nk时，恒成立，求k的最小值考点：数列与函数的综合 专题：计算题；综合题；转化思想分析：（1）由知，让与x互换可得，联立解求解（2）由，可变形为，是以1为首项、2为公差的等差数列求解又bn+1bn=2n1再用累加法求解（3）对任意实数0，1时，恒成立，转化为恒成立、变形为（2n1）+n22n+30，0，1恒成立再求g（）=（2n1）+n24n+3的最小值即可解答：解：（1）由知，让与x互换可得，联立解得：f（x）=3x（2）由，可变形为，是以1为首项、2为公差的等差数列又bn+1bn=2n1，bnbn1=2（n1）1，b3b2=221，b2b1=21，相加有bn+1b1=n2bn=（n1）2+1=n22n+2（3）对任意实数0，1时，恒成立，则恒成立、变形为（2n1）+n22n+30，0，1恒成立设g（）=（2n1）+n24n+3，n3或n1nN+点评：本题主要考查用构造法和累加法求数列通项公式以及变形研究不等式恒成立问题