1、5.3 正弦、余弦定理及解三角形 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 正弦、余弦定理 1.理解正弦定理、余弦定理的推导过程.2.掌握正弦定理、余弦定理并能灵活运用.2019 浙江,14,6 分 正弦定理 两角差的余弦公式 2018 浙江,13,6 分 正弦、余弦定理 解三角形及其综合应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与三角形有关的几何问题以及和测量有关的实际问题.2016 浙江,16,14 分 解三角形 两角和的正弦公式 2015 浙江,16,14 分 解三角形 二倍角公式 分析解读 1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正
2、弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.2.高考命题仍会以三角形为载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查.3.预计 2021 年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点一 正弦、余弦定理 1.(2019 浙江名校协作体联考,3)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A=45,B=60,b=3,则 a=()A.2 B.6 C.32 2 D.32 6 答案 A 2.(2019 浙江衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,14)已知ABC 的面积为332,A=60,D 是边 AC 上一点,AD=2DC,BD=2,则AB=,cos C=
3、.答案 2;277 3.(2020 届浙江师大附中 11 月模拟,14)在ABC 中,C=45,AB=6,D 为 BC 边上的点,且 AD=5,BD=3,则 cos B=,AC=.答案 59;873 4.(2020 届浙江镇海中学期中,19)在锐角ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b=3,a2=c2-3c+9.(1)求 A;(2)求 sin2B+sin2C 的取值范围.解析(1)在ABC 中,由余弦定理得 cos A=2+2-22=9+2-(2-3c+9)2=12,又ABC 为锐角三角形,所以 A=3.(2)解法一:sin2B+sin2C=sin2(+3)+sin2
4、C=(12 sin+32 cos)2+sin2C=34 sin 2C-14cos 2C+1,故 sin2B+sin2C=12sin(2-6)+1,又因为ABC 是锐角三角形,所以 C(6,2),则 sin(2-6)(12,1,故 sin2B+sin2C 的取值范围是(54,32.解法二:根据正弦定理可得 sin B=2,sin C=2,2R=sin,其中 R 为ABC 外接圆的半径.A=3,b=3,所以 sin2B+sin2C=342+92+93c,又因为ABC 为锐角三角形,所以2+2-2 0,2+2-2 0,2+2-2 0,解得32ca,bc,所以 B 为ABC 中最大的角,当 c=5 时
5、,cos B=2+2-220,与ABC 为钝角三角形矛盾,舍去,当 c=3 时,cos B=2+2-22a,所以 BA=3,所以 C0,则 B(0,2),又 A(0,),故-2A-B0,由 cos B 求 sin B 仅有一正解.7.(2019 北京文,15,13 分)在ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求 b,c 的值;(2)求 sin(B+C)的值.解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-23c(-12
6、).因为 b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c(-12).解得 c=5.所以 b=7.(2)由 cos B=-12得 sin B=32.由正弦定理得 sin A=sin B=3314.在ABC 中,B+C=-A.所以 sin(B+C)=sin A=3314.8.(2019 江苏,15,14 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.(1)若 a=3c,b=2,cos B=23,求 c 的值;(2)若sin=cos2,求 sin(+2)的值.解析 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.考查了数学运算的核心素养.(1)因为 a=3c,
7、b=2,cos B=23,由余弦定理得 cos B=2+2-22,得23=(3)2+2-(2)223,即 c2=13,所以 c=33.(2)因为sin=cos2,由正弦定理得cos2=sin,所以 cos B=2sin B.从而 cos2B=(2sin B)2,即 cos2B=4(1-cos2B),故 cos2B=45.因为 sin B0,所以 cos B=2sin B0,从而 cos B=255.因此 sin(+2)=cos B=255.9.(2019 课标全国理,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsi
8、n C.(1)求 A;(2)若2a+b=2c,求 sin C.解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得 sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc.由余弦定理得 cos A=2+2-22=12.因为 0A180,所以 A=60.(2)由(1)知 B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32 cos C+12sin C=2sin C,可得 cos(C+60)=-22.由于 0C120,所以
9、sin(C+60)=22,故 sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角 A 的余弦值,进而得出角 A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角 C 的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出 sin C.10.(2018 天津文,16,13 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsin A=acos(-6).(1)求角 B 的大小;(2)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的值.解析 本
10、题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC 中,由正弦定理可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=acos(-6),得 asin B=acos(-6),即 sin B=cos(-6),可得 tan B=3.又因为 B(0,),所以 B=3.(2)在ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B=3,得 b2=a2+c2-2accos B=7,故 b=7.由 bsin A=acos(-6),可得 sin A=37.因为 ac,故 cos A=27.因此 sin 2A=2sin Aco
11、s A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以 sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=437 12-1732=3314.考点二 解三角形及其综合应用 1.(2018 课标全国文,11,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若ABC 的面积为2+2-24,则 C=()A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 2.(2019 课标全国理,15,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B=3,则ABC 的面积为 .答案 63 3.(2018 北京文,14,5 分)若ABC 的面积为34(a2
12、+c2-b2),且C 为钝角,则B=;的取值范围是 .答案 3;(2,+)4.(2015 课标,16,5 分)在平面四边形 ABCD 中,A=B=C=75,BC=2,则 AB 的取值范围是 .答案(6-2,6+2)5.(2019 课标全国文,18,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin+2=bsin A.(1)求 B;(2)若ABC 为锐角三角形,且 c=1,求ABC 面积的取值范围.解析 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及
13、正弦定理得 sin Asin+2=sin Bsin A.因为 sin A0,所以 sin+2=sin B.由 A+B+C=180,可得 sin+2=cos2,故 cos2=2sin2cos2.因为 cos20,故 sin2=12,因此 B=60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC=34 a.由正弦定理得 a=sinsin=sin(120)sin=32tan+12.由于ABC 为锐角三角形,故 0A90,0C90.由(1)知 A+C=120,所以 30C90,故12a2,从而38 SABC32.因此,ABC 面积的取值范围是(38,32).思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三
14、角恒等变换求解角 B.(2)用正弦定理先表示出 a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角 C 的范围,进而求出ABC 面积的取值范围.6.(2017 课标全国理,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求 c;(2)设 D 为 BC 边上一点,且 ADAC,求ABD 的面积.解析 本题考查解三角形.(1)由已知可得 tan A=-3,所以 A=23.在ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos23,即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去)或 c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD
15、=BAC-CAD=6.故ABD 面积与ACD 面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC 的面积为1242sinBAC=23,所以ABD 的面积为3.思路分析(1)由 sin A+3cos A=0,可求得 tan A=-3,注意到 A 是三角形内角,得 A=23,再由余弦定理求 c.(2)由题意知CAD=2,BAD=6,于是可求得的值,再由 SABC=1242sinBAC=23得解.一题多解(2)1 题多解 1:由余弦定理得 cos C=27,在 RtACD 中,cos C=,CD=7,AD=3,DB=CD=7,SABD=SACD=1227sin C=737=3.1 题多解 2
16、:BAD=6,由余弦定理得 cos C=27,CD=7,AD=3,SABD=1243sinDAB=3.1 题多解 3:过 B 作 BE 垂直 AD,交 AD 的延长线于 E,在ABE 中,EAB=23-2=6,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即 D 为 BC 中点,SABD=12SABC=121224sinCAB=3.C 组 教师专用题组 考点一 正弦、余弦定理 1.(2017 课标全国文,11,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则 C=()A.12 B.6
17、 C.4 D.3 答案 B 2.(2016 天津,3,5 分)在ABC 中,若 AB=13,BC=3,C=120,则 AC=()A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 3.(2016 课标全国,13,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=45,cos C=513,a=1,则 b=.答案 2113 4.(2015 天津,13,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知ABC 的面积为 315,b-c=2,cos A=-14,则 a 的值为 .答案 8 5.(2015 福建,12,4 分)若锐角ABC 的面积为 103,且 A
18、B=5,AC=8,则 BC 等于 .答案 7 6.(2015 广东,11,5 分)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=3,sin B=12,C=6,则 b=.答案 1 7.(2015 重庆,13,5 分)在ABC 中,B=120,AB=2,A 的角平分线 AD=3,则 AC=.答案 6 8.(2019 北京理,15,13 分)在ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求 b,c 的值;(2)求 sin(B-C)的值.解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题
19、的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-23c(-12).因为 b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c(-12).解得 c=5.所以 b=7.(2)由 cos B=-12得 sin B=32.由正弦定理得 sin C=sin B=5314.在ABC 中,B 是钝角,所以C 为锐角.所以 cos C=1 sin2C=1114.所以 sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=437.9.(2018 课标全国理,17,12 分)在平面四边形 ABCD 中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5
20、.(1)求 cosADB;(2)若 DC=22,求 BC.解析(1)在ABD 中,由正弦定理得 sin=sin.由题设知,5sin45=2sin,所以 sinADB=25.由题设知,ADB90,所以 cosADB=1 225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD 中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以 BC=5.方法总结 正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注
21、意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.10.(2017 山东文,17,12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b=3,=-6,SABC=3,求 A 和 a.解析 本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为 =-6,所以 bccos A=-6,又 SABC=3,所以 bcsin A=6,因此 tan A=-1,又 0A,所以 A=34.又 b=3,所以 c=22
22、.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 a2=9+8-2322(-22)=29,所以 a=29.11.(2016 江苏,15,14 分)在ABC 中,AC=6,cos B=45,C=4.(1)求 AB 的长;(2)求 cos(-6)的值.解析(1)因为 cos B=45,0B,所以 sin B=1 cos2B=1 (45)2=35.由正弦定理知 sin=sin,所以 AB=sinsin=62235=52.(2)在ABC 中,A+B+C=,所以 A=-(B+C),于是 cos A=-cos(B+C)=-cos(+4)=-cos Bcos 4+sin Bsin4,又 cos B=45
23、,sin B=35,故 cos A=-4522+3522=-210.因为 0A0).则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cos+cos=sin 中,有 cossin+cossin=sinsin,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC 中,由 A+B+C=,有 sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以 sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有 cos A=2+2-22=35.所以 sin A=1 cos2A=45.由(1)可知 sin Asin
24、B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故 tan B=sincos=4.评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式.13.(2015 课标,17,12 分)ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,ABD 面积是ADC 面积的 2 倍.(1)求sinsin;(2)若 AD=1,DC=22,求 BD 和 AC 的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为 SABD=2SADC,BAD=CAD,所以 AB=2AC.由正弦定理可得sinsin=12.(2)因为 SA
25、BDSADC=BDDC,所以 BD=2.在ABD 和ADC 中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1.考点二 解三角形及其综合应用 1.(2017 课标全国文,15,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60,b=6,c=3,则 A=.答案 75 2.(2015 北京,12,5 分)在ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2sin=.答案 1 3.(2018 北京理,15,13 分)在AB
26、C 中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求 AC 边上的高.解析(1)在ABC 中,因为 cos B=-17,所以 sin B=1 cos2B=437.由正弦定理得 sin A=sin=32.由题设知2B,所以 0A2.所以A=3.(2)在ABC 中,因为 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3314,所以 AC 边上的高为 asin C=73314=332.方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边
27、或角.4.(2017 课标全国理,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知ABC 的面积为 23sin.(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求ABC 的周长.解析 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得12acsin B=23sin,即12csin B=3sin.由正弦定理得12sin Csin B=sin3sin.故 sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即 cos(B+C)=-12.所
28、以 B+C=23,故 A=3.由题设得12bcsin A=23sin,即 bc=8.由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得 b+c=33.故ABC 的周长为 3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsin B=23sin,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出 sin Bsin C 的值;(2)首先利用 sin Bsin C 的值以及题目中给出的 6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出 B+C,进而得出 A,然后利用三角形的面积公式和 a 的值求出 bc 的值,最后利用余弦定理求出 b+c 的值,进而得出ABC 的周长.方法
29、总结 解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将12csin B=3sin变形为12sin Csin B=sin3sin.(2)三角形面积公式:S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.(3)三角形的内角和为.这一性质经常在化简中起到消元的作用,例如:在ABC 中,sin(B+C)=sin A.5.(2017 课标全国理,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin22.(1)求 cos B;(2)若 a+c=6,ABC 的面积为 2,求 b
30、.解析(1)由题设及 A+B+C=得 sin B=8sin22,故 sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0,解得 cos B=1(舍去)或 cos B=1517.(2)由 cos B=1517得 sin B=817,故 SABC=12acsin B=417ac.又 SABC=2,所以 ac=172.由余弦定理及 a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2172(1+1517)=4.所以 b=2.解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中
31、b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.6.(2017 北京理,15,13 分)在ABC 中,A=60,c=37a.(1)求 sin C 的值;(2)若 a=7,求ABC 的面积.解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC 中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得 sin C=sin=3732=3314.(2)因为 a=7,所以 c=377=3.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 72=b2+32-2b312,解得 b=8 或 b=-5(舍).所以ABC 的面积 S=12bcsin A=
32、128332=63.解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.7.(2016 课标全国,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求 C;(2)若 c=7,ABC 的面积为332,求ABC 的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2 分)2cos Csin(A+B)=sin C.故 2sin Ccos C=sin C.(4 分)可得 cos C=12,所
33、以 C=3.(6 分)(2)由已知,得12absin C=332.又 C=3,所以 ab=6.(8 分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10 分)所以ABC 的周长为 5+7.(12 分)评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的边与角的关系,通过正弦定理转化为角之间的关系,再运用三角函数知识求解.8.(2016 北京,15,13 分)在ABC 中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B 的大小;(2)求2cos A+cos C 的最大值.解
34、析(1)由余弦定理及题设得 cos B=2+2-22=2ac2=22.又因为 0B,所以B=4.(6 分)(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos(34-A)=2cos A-22 cos A+22 sin A=22 cos A+22 sin A=cos(-4).(11 分)因为 0A34,所以当A=4时,2cos A+cos C 取得最大值 1.(13 分)思路分析 第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.评析本题考查余弦定理、三角恒等变
35、换及三角函数的性质.属中档题.9.(2015 四川,19,12 分)如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角.(1)证明:tan2=1cossin;(2)若 A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求 tan2+tan2+tan2+tan2的值.解析(1)证明:tan2=sin2cos2=2sin222sin2cos2=1cossin.(2)由 A+C=180,得 C=180-A,D=180-B.由(1),有 tan2+tan2+tan2+tan2=1cossin+1cossin+1cos(180)sin(180)+1cos(180)sin(180)=2sin+
36、2sin.连接 BD.在ABD 中,有 BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD 中,有 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以 AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则 cos A=2+A2-B2-C22(+)=62+52-32-422(65+34)=37.于是 sin A=1 cos2A=1 (37)2=2107.连接 AC.同理可得 cos B=2+B2-A2-C22(+)=62+32-52-422(63+54)=119,于是 sin B=1 cos2B=1 (119)2=61019.所以 tan2+tan2+tan2+ta
37、n2=2sin+2sin=27210+219610=4103.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查方程、化归与转化等数学思想.10.(2015 安徽,16,12 分)在ABC 中,A=34,AB=6,AC=32,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长.解析 设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以 a=310.又由正弦定理得 sin B=sin=3310=1010,
38、由题设知 0B0,所以 A(0,4).于是 sin A+sin C=sin A+sin(2-2A)=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2(sin-14)2+98.因为 0A4,所以 0sin A22,因此22-2(sin-14)2+9898.由此可知 sin A+sin C 的取值范围是(22,98.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对学生思维的严谨性有较高要求.12.(2015 陕西,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a,3b)与 n=(cos A,sin B)平行.(1)求 A;(2
39、)若 a=7,b=2,求ABC 的面积.解析(1)因为 mn,所以 asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得 sin Asin B-3sin Bcos A=0,又 sin B0,从而 tan A=3,由于 0A0,所以 c=3.故ABC 的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得 7sin3=2sin,从而 sin B=217,又由 ab,知 AB,所以 cos B=277.故 sin C=sin(A+B)=sin(+3)=sin Bcos3+cos Bsin3=32114.所以ABC 的面积为12absin C=332.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 8
40、分)1.(2019 浙江高考信息优化卷(一),7)在ABC 中,BAC,B,C 所对的边分别是 a,b,c,AD 为 BC 边上的高.已知 AD=36 a,b=1,则 c+1的最大值为()A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A 2.(2019 浙江嵊州期末,6)在ABC 中,sin(A-B)+sin C=1,且 BC=2AC,则 B=()A.8 B.4 C.8或38 D.4或34 答案 A 二、填空题(每空 3 分,共 54 分)3.(2020 届浙江浙南名校联盟联考,13)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b=1,c=2 且 2cos A(bcos C+cco
41、s B)=a,则A=;若 M 为边 BC 的中点,则|AM|=.答案 3;72 4.(2020 届浙江“超级全能生”联考,14)在ABC 中,D 为 AC 的中点,若 AB=463,BC=2,BD=5,则 cosABC=,sin C=.答案 66;210521 5.(2019 浙江杭州二模,13)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=-14,则 sin C=;当 a=2,2sin A=sin C时,b=.答案 104;6或 26 6.(2020 届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=3,b+c
42、=12,B=120,则 b-c=,sin(B+C)=.答案 2;3314 7.(2019 浙江名校新高考研究联盟联考,14)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60,且ABC 外接圆的半径为3,则a=,若 b+c=33,则ABC 的面积为 .答案 3;332 8.(2018 浙江名校协作体,14)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 c=2b,sin C=34,则 sin B=;若 2a2+b2+c2=4,则ABC面积的最大值是 .答案 38;55 9.(2020 届浙江 Z20 联盟开学联考,14)在ABC 中,ACB=90,点 D,E 分别
43、在线段 BC,AB 上,AC=BC=3BD=6,EDC=60,则BE=,cosCED=.答案 32+6;22 10.(2019 浙江高考数学仿真卷(三),14)已知锐角ABC,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c=1,a2-c2=bc,则 cos=,1tan-1tan的取值范围是 .答案 2;(1,233)11.(2019 浙江高考数学仿真卷(一),14)如图,等腰ABC 中,AC=BC,AB=1,C=20,ABD=60,BAE=50,则cos20=,BDE=.答案 2;30 三、解答题(共 30 分)12.(2019 浙江宁波北仑中学模拟,18)在ABC 中,a,b,c 是三
44、个内角 A,B,C 对应的三边,已知 b2+c2=a2+bc.(1)求 A 的大小;(2)若 sin Bsin C=34,试判断ABC 的形状,并说明理由.解析(1)由已知得,b2+c2-a2=bc,cos A=2+2-22=12,0A,A=3.(2)ABC 为等边三角形.理由如下:A+B+C=,A=3,C=23-B.由 sin Bsin C=34得 sin Bsin(23-B)=34,即 sin B(sin 23 cos-cos 23 sin)=34,32 sin Bcos B+12sin 2B=34,34 sin 2B+14(1-cos 2B)=34,即32 sin 2B-12cos 2B
45、=1,sin(2-6)=1.又0B23,-62B-676,2B-6=2,即 B=3.A=3,ABC 为等边三角形.13.(2020 届浙江省重点高中统练,18)已知 m=(3sin 4,1),n=(cos 4,cos2 4),记 f(x)=mn.(1)若 f(x)=1,求 cos(+3)的值;(2)在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求 f(2A)的取值范围.解析 本题考查平面向量的数量积、三角恒等变换以及解三角形等知识;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)=3sin4cos4+cos24=32 sin2+12+12cos2=sin(2+6)+12,由 f(x)=1 可得 sin(2+6)=12,所以 cos(+3)=1-2sin2(2+6)=1-214=12.(2)由(2a-c)cos B=bcos C 可得 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A,所以 cos B=12,所以 B=3,所以 A+C=23,由 A(0,2),且 C=23-A(0,2),解得 A(6,2),所以 A+6(3,23),所以 sin(+6)(32,1,所以 f(2A)=sin(+6)+12(1+32,32.故 f(2A)的取值范围为(1+32,32.