1、北师大万宁附中2020-2021学年下学期期中考试(高一)数学试题（考试时间120分钟 满分150分 ）一、 单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，则x等于()A3 B3 C. D2在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2ac，则角B为()A. B. C.或 D.或3. 在中，为边上的中线，为的中点，则()A. B. C. D. 4把ABC按斜二测画法得到ABC(如图所示)，其中BOCO1，AO，那么ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形 D三边互不
2、相等的三角形5正四面体的棱长为，分别为，的中点，则的长为（ ）ABCD6设、是两条不同的直线，是平面，、不在内，下列结论中错误的是（ ）A，则B，则C，则D，则7若正三棱台上、下底面边长分别为和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（ ）ABCD8已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）ABC1D5二多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，漏选得3分，选错得0分）9两平面，平行，直线a，则下列四个命题正确的是()Aa与内的所有直线平行 Ba与内无数条直线平行Ca与至少有一个公共点 Da与没有公共点1
3、0.下列说法正确的是（ ）A.在中，B.在中，若，则C.在中，若，则；若，则D.在中，11已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则()A三棱锥SABC的体积为 B三棱锥SABC的体积为C三棱锥OABC的体积为 D三棱锥OABC的体积为12如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点，则（ ）A直线A1G与直线DC所成的角的正切值为B直线与平面平行C点C与点G到平面的距离相等D平面截正方体所得的截面面积为第卷（非选择题 共90分）三、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知矩形中，设与交于点，则_14如图，在直角梯形中，
4、将此梯形以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的体积是_15如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，侧棱长为，侧面的顶角为过点作一截面与、分别相交于、，则四边形周长的最小值是_16.三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_四、解答题（本大题共6道题，共70分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）17（10分）已知复数， .（1）求； （2）若，求.18.（12分）如图，在棱长为1的正方体中，求（1）直线A1B与B1C所成的角的大小（2）直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值.19（12分）已知向量a(1，)，b(2,0)(1)求ab的坐标以及ab与a之间
5、的夹角；(2)当t1,1时，求|atb|的取值范围20（12分）从B，a3sinB这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答已知ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且sin2Asin2B+sin2C+sinBsinC（1）求角A；（2）已知b，且_，求sinC的值及ABC的面积21（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点（1）证明MN平面PAB；（2）求四面体NBCM的体积22.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA
6、=PD=AB=DC=1,求二面角P-AC-D的大小.数学答案1答案A解析abx63，故x3.2答案A解析a2b2c2ac，cosB，又B为ABC的内角，B.3.A分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.4A根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得ABBCAC2，故ABC为等边三角形，故选A。5A【解析】如题所示：连接，因为，为的中点，所以，所以，同理又因为，为的中点，所以，所以，故选A6D【解析】对于A，由线面平行的性质定理可知，过直线的平面与平面
7、的交线平行于，故A正确；对于B，若，由直线与平面垂直的性质，可得，故B正确；对于C，若，则或，又，故C正确；对于D，若，则或与相交或，而，则或与相交，故D错误，故选D7C【解析】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，.在中，则. 故选：C8B【解析】如图，取的中点为E，易知取的中点，则在正方形中，则，则，可得，即，所以点的轨迹为线段因为平面，平面，则，所以为直角三角形，当时，取最小值为，此时面积最小，最小值为，故选B9BD10.ACD11AC解析由于三棱锥SABC与三棱锥OABC的底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，
8、所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍，在三棱锥OABC中，其棱长都为1，如图，SABC，高OD，则VOABC，VSABC2VOABC.12ABD【解析】A正确；对于B，取中点，连接，在正方体中，平面，平面，所以平面，同理可证平面，所以平面平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，假设C与G到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于H，而H不是中点，则假设不成立，故C错；对于D，在正方体中，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故D正确，13解：，（建系更快）1415【解析】依题意，四棱锥为正四棱锥，且每个侧面的顶角为，将四棱锥的侧面沿展开，如图，A展开后到，则
9、，且，则当如图，和在同一直线上时，四边形的周长的最小值，最小值为所以在三角形中，由余弦定理得：，所以，故答案为16.解：，S表=17（1）.（2）由，得，18.（1）60（2）19解：(1)因为向量a(1，)，b(2,0)，所以ab(1，)(2,0)(3，)，设ab与a之间的夹角为，所以cos .因为0，所以向量ab与a的夹角为.(2)|atb|2a22tabt2b24t24t4423.易知当t1,1时，|atb|23,12，所以|atb|的取值范围是，2 20解：（1）因为sin2Asin2B+sin2C+sinBsinC，由正弦定理可得a2b2+c2+bc，可得cosA，因为0A，所以A（
10、2）选择时，A，B，故sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，根据正弦定理，可得a3，可得SabsinC选择时，a3sinB，根据正弦定理，可得，解得sinB，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，根据正弦定理，可得a3，可得SabsinC21解：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. .3分又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. .6分（）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. .9分取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. .12分22.（1）由已知，得,.由于，故，从而平面.又平面，所以平面平面.（2）60