1、第四章DISIZHANG数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念课后篇巩固提升A组1.已知复数z=(a2-4)+(a-3)i(a,bR),则“a=2”是“z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析因为复数z=(a2-4)+(a-3)i(a,bR)为纯虚数,等价于即a=2,故可知“a=2”是“a=2”的充分不必要条件,所以“a=2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.故选A.2.下列命题中:若xC,yC,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集;若(z1-z2
2、)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;若实数a与ai对应,则实数集与复数集一一对应 .正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故错;,错;对于,a=0时,ai=0,错.3.已知a,bR,若a2+b+(a-b)i2(i为虚数单位),则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(2,+)B.(-,-2)(1,+)C.(-1,2)D.(-2,1)答案B解析因为a,bR,a2+b+(a-b)i2,所以即a2+a2,解得a1或a-2.故选B.4.若2+ai=b-i,其中a,bR,i是虚数单位,则复数z=a+bi的模等于()A
3、.1B.2C.D.5答案C解析a,bR,2+ai=b-ia=-1,b=2,|z|=.5.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=()A.10B.25C.100D.200答案C解析设O为复平面原点,则|=5.因为|z1+z2|=|z1-z2|,故,故OM1M2是直角三角形,所以|z1|2+|z2|2=|2+|2=|2=4|2=425=100,故选C.6.若复数z=m2-1+(m-1)i为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数m=,|2+i+z|=.答案-1解析由复数z=m2-1+(m-1)i为
4、纯虚数,可得解得m=-1,z=-2i,故2+i+z=2-i,进而|2+i+z|=|2-i|=.7.若复数z=(m-2)+(m+3)i(mR)为纯虚数,则|z|=.答案5解析本题考查复数的有关概念及复数模的计算,根据z是纯虚数,由复数z的实部为0,求出m的值后,利用模的定义求|z|.z=(m-2)+(m+3)i为纯虚数,m=2,z=5i.|z|=5.8.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(mR)有实根n,则复数z=m+ni=.答案3-i解析由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即解得z=m+ni=3-i.9.已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i(mR).
5、(1)若复数z是实数,求实数m的值;(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围;(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值;(4)若复数z是0,求实数m的值.解(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,所以m=5或-3.(2)当m2-2m-150时,复数z为虚数,所以m5且m-3.所以实数m的取值范围为m|m5且m-3.(3)当时,复数z是纯虚数,所以m=-2.(4)当时,复数z是0,所以m=-3.10.在复平面内画出复数z1=i,z2=-i,z3=i对应的点,并求出各复数的模.解根据复数与复平面内的点的一一对应关系,可知点Z1,Z2,Z3对应的坐标分别为,-,-,如图所示.|z1|=1,|z2|
6、=1,|z3|=1.B组1.已知复数z1=-2+i,z2=,在复平面内,复数z1和z2所对应的两点之间的距离是()A.B.C.5D.10答案B解析z1=-2+i所对应的点为(-2,1),z2=1+2i对应的点的坐标为(1,2).所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离为.故选B.2.在复平面内,复数z=sin 2+icos 2对应的点在第()象限.A.一B.二C.三D.四答案D解析2,0sin 21,-1cos 2z2 ,则a的值为.答案0解析z1z2,解得a=0.4.已知i是虚数单位,复数z=(a2-4)+(a+2)i,aR.(1)若z为纯虚数,求实数a的值;(2)若z在复平面上对应的点在直
7、线x+2y+1=0上,求|z|.解(1)若z为纯虚数,则a2-4=0,且a+20,解得a=2.(2)z在复平面上对应的点为(a2-4,a+2),由条件点(a2-4,a+2)在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,解得a=-1,则z=-3+i.所以|z|=.5.已知复数z1=1+cos +isin ,z2=1-sin +icos ,且|z1|2+|z2|22,求的取值范围.解|z1|2=(1+cos )2+sin2=2+2cos ,|z2|2=(1-sin )2+cos2=2-2sin ,由|z1|2+|z2|22得2+2cos +2-2sin 2,即cos -sin -1.cos-.2k-2k+(kZ).故的取值范围是(kZ).