1、第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、知识梳理1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是rad.(2)公式角的弧度数公式|角度与弧度的换算1rad，1
2、rad5718弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线常用结论1象限角2轴线角3三角函数定义的推广设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan .二、教材衍化1角225_弧度，这个角在第_象限答案：二2设角的终边经过点P(4，3)，那么2
3、cos sin _答案：3一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若，则tan sin .()(6)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)B
4、k360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为2k或k36045(kZ).2若sin 0，且tan 0，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C.由sin 0知的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan 0知的终边在第一或第三象限，故是第三象限角故选C.3已知角的终边在直线yx上，且cos 0，则tan 解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan 1.答案：1象限角及终边相同的角(典例迁移) (1)集合|kk，kZ中的角所表
5、示的范围(阴影部分)是()(2)若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角【解析】(1)当k2n(nZ)时，2n2n，nZ，此时的终边和的终边一样；当k2n1时，2n2n，此时的终边和的终边一样故选C.(2)因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角【答案】(1)C(2)C【迁移探究】(变问法)在本例(2)的条件下，判断2为第几象限角？解：因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)，则1802k36023602k360(kZ)，所以2可能是第三象限角、第四象限角或终边在
6、y轴非正半轴上的角(1)表示区间角的三个步骤先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间；起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合(2)象限角的两种判断方法图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角的终边所在的象限判断已知角是第几象限角提醒注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转180可得角180的终边，类推可知k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角1在
7、7200范围内所有与45终边相同的角为 解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而得k2和k1，代入得675和315.答案：675和3152若sin tan 0，且0，则是第 象限角解析：由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角；由0，可知cos ，tan 异号，从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案：三扇形的弧长、面积公式(师生共研) (2020陕西宝鸡模拟)已知扇形的圆心角是 ，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当
8、扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)60，l10(cm)(2)由已知得，l2R20，则l202R，0R0，cos tan 0，得的终边落在第一或第三象限，由cos tan cos sin 0，得的终边落在第三或第四象限，综上的终边落在第三象限故选C.【答案】C三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况1点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D解析：选A.由三角函数定义可知
9、Q点的坐标(x，y)满足xcos，ysin.所以Q点的坐标为.2若角的终边落在直线yx上，则 解析：因为角的终边落在直线yx上，所以角的终边位于第二或第四象限当角的终边位于第二象限时，0；当角的终边位于第四象限时，0.所以0.答案：0核心素养系列9数学建模求扇形的面积数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题 (2019高考北京卷)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为()A44cos B44sin C22cos D22sin 【解析】如图，设点O为圆心，连接PO，OA，OB，AB
10、，在劣弧上取一点C，则阴影部分面积为ABP和弓形ACB的面积和因为A，B是圆周上的定点，所以弓形ACB的面积为定值，故当ABP的面积最大时，阴影部分面积最大又AB的长为定值，故当点P为优弧的中点时，点P到弦AB的距离最大，此时ABP的面积最大，即当P为优弧的中点时，阴影部分面积最大下面计算当P为优弧的中点时阴影部分的面积因为APB为锐角，且APB，所以AOB2，AOPBOP180，则阴影部分的面积SSAOPSBOPS扇形OAB222sin(180)22244sin ，故选B.【答案】B从本题的解析中可以得到，无论APB是锐角，还是直角或钝角，都是当P为优弧的中点时，阴影部分的面积最大在一块顶角
11、为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解：因为AOB是顶角为120、腰长为2的等腰三角形，所以AB30，AMBN1，AD2，所以方案一中扇形的弧长2；方案二中扇形的弧长1；方案一中扇形的面积22，方案二中扇形的面积11.由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短因此方案一最优基础题组练1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个 D4个解析：选C.是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确40
12、036040，从而正确31536045，从而正确2已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.由题意知tan 0，cos 0，根据三角函数值的符号规律可知，角的终边在第二象限故选B.3若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A. B.C. D解析：选D.设圆的直径为2r，则圆内接正方形的边长为r，因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，所以圆弧的长度为r，所以圆心弧度为.4若角的终边在直线yx上，则角的取值集合为()A|k36045，kZB|k2，kZC|k180，kZD|k，kZ解析：选D.由图
13、知，角的取值集合为|2n，nZ|2n，nZ|(2n1)，nZ|2n，nZ|k，kZ5与角2 020的终边相同，且在0360内的角是 解析：因为2 0202205360，所以在0360内终边与2 020的终边相同的角是220.答案：2206函数y的定义域为 解析：由题意可得sin x0即sin x.作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为x|2kx2k，kZ答案：，kZ7(2020许昌调研)设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan 解析：因为是第二象限角，所以cos x0，即x0
14、.又cos x，解得x3，所以tan .答案：8已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解：因为角的终边过点(x，1)(x0)，所以tan ，又tan x，所以x21，所以x1.当x1时，sin ，cos ，此时sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，此时sin cos .综合题组练1(2018高考北京卷)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边若tan cos sin ，则P所在的圆弧是()A. B.C. D解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得xy，所以x0，所以
15、P所在的圆弧是，故选C.2若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 解析：选C.如图所示，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为，所以角终边位置在图中的阴影部分，观察可得ATOMMP，故有sin cos tan .3已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为 解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.答案：4(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为14，则这两个扇形的周长之比为 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为，半径分别为r，R(其中rR)，则，所以rR12，两个扇形的周长之比为12.答案：12
