1、高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）考生注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题“若，则或”的否命题是（ ）A.若，则或B.若，则且C.
2、若，则且D.若，则或3.已知直线平面，则（ ）A.， B.，C.，D.，4.设，是两个非零向量，在方向上的投影为，则“”是“，夹角为钝角”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若，则有（ ）A.B.C.D.6.已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.7.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）A.该三棱柱的表面积为B.该三棱柱的体积为C.该三棱柱的侧视图为矩形D.该三棱柱有外接球8.已知实数，满足，则的最大值与最小值之和为（ ）A.5B.C.6D.79.已知直线与单位圆
3、有唯一的公共点，角的终边在直线上，为坐标原点，则（ ）A.B.C.D.10.若关于的方程在区间上有且只有一解，则正数的取值范围是（ ）A.B.C.D.11.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（ ）A.直线对称B.直线对称C.原点对称 D.轴对称12.已知奇函数图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.不等式的解集是_.14.已知向量，单位向量满足，则向量的坐标为_.15.已知等比数列中，前4项之和为，且，成等差数列，则公比_.16.已知函数与的图象上存在关
4、于轴对称的点，其中，则实数的取值范围是_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知数列满足.求数列的通项公式；求数列的前项和.18.在中，的面积为.设为的中点，求的长度.求的值.19.已知函数.求的单调递减区间；先将图象上所有点的横坐标变为原来的（众坐标不变），再沿轴向右平移个单位长度，得到函数，若的图象关于直线对称，求的最小值.20.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个“刍甍”，四边形为矩形，与都是正三角形，.求证
5、：面；求直线与平面所成角的正弦值.21.已知过点的动直线与圆交于，两点，线段中点的轨迹为曲线.求曲线的方程；若曲线的一条切线与圆交于，两点，若，求切线的坐标.22.已知函数，.求函数的值域；求函数的最大值.高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（理）试题参考答案一、选择题1.【解析】选.解得，解得，.2.【解析】选.“若，则”的否命题为“若，则”，的否定为.3.【解析】选.直线平面，或，故选.4.【解析】选.，反向，即夹角为时也有，故应选必要不充分条件.5.【解析】选.由得，而是上的增函数.原不等式即，得，即.6.【解析】选.直线与圆有公共点，弦心距，且，解得.7.【解析】选
6、.注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为.8.【解析】选.易知不等式组表示的平面区域是以，为顶点的三角形，对于可行域内任一点，不难知，因此则的最大值与最小值之和为.9.【解析】选.由题，直线与直线垂直，故，.10.【解析】选.，结合的图象知，即，解得.11.【解析】选.由得，于是，函数的图象关于直线对称.12.【解析】选.由题，及得， 如图，不妨设，在轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径，令，整理得，则，为这个一元二次方程的两个不等实根，于是圆柱的体积，当且仅当时等号成立.二、填空题13.【解析】. 不等式可化为，即，解得.14.【解析】或. 由不难知，设，由解得或
7、.15.【解析】2或. 由题，解得，即，解得或.16.【解析】.由题，与的图象有公共点，结合图象可知，图象与轴交点的众坐标，故.三、解答题17.【解析】：（1），两式作差得：，又符合上式，故.（2），.18.【解析】：（1）由的面积得， ，于是在中，由余弦定理：或.（2）法一：中，由余弦定理，或， 再由正弦定理，或.法二：由的面积，得或.19.【解析】：（1） ，由，得的单调递区间为.（2）由题，的图象关于直线对称，即，当时，的最小值为.20.【解析】：（1），面，面，面，又面面，又面，面，所以面.（2）如图，延长棱至，使得，由题可知与皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱，过作于，则面，在面内的摄
8、影为，与平面所成角为，又，中，边长的高为，故.21.【解析】：（1）法一：圆，圆心，由垂径定理知，即，于是的轨迹是以为直径端点的圆，所以曲线的方程为.法二：设动直线为，与圆联立，得：，由韦达定理，由得，代入式得：，又动直线斜率不存在时点坐标为满足以上式关系，故曲线的方程为.（2）设，先证曲线在点处的切线方程为，事实上，点在上，又圆心到的距离，故为曲线的切线，所以圆心到弦的距离，解得或（舍），从而点的坐标为或.22.【解析】：（1），法一：，且，故的值域为.法二：令，则，故的值域为.（2），令，则，当时，；当时，二次函数的图象开口向上，且对称轴，于是在上单调递增，；当时，二次函数的图象开口向下，且对称轴，若，即，则，若，即，则，若，即，则；综上，.
