1、第1讲直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识梳理1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0(2)倾斜角的范围为0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan ，倾斜角是90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式yy0k(xx0)斜截式ykxb不能表示
2、斜率不存在的直线两点式不能表示平行于坐标轴的直线截距式1不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不同时为零)可以表示所有类型的直线常用结论1直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为ktan ，当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当0，)且时就不是了2识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y0.(2)y轴：x0.(3)平行于x轴的直线：yb(b0)(4)平行于y轴的直线：xa(a0)(5)过原点且斜率存在的直线：ykx.二、教材衍化 1经过点P(2，3)，倾斜角为45的直线方程为 答案：xy502经过
3、点A(1，0)，B(2，2)两点的直线方程为 答案：2x3y203若过两点A(m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为 答案：12xy180一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)对
4、倾斜角的取值范围不清楚；(2)忽略截距为0的情况1直线xy10的倾斜角是()A. B. C. D解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，所以.2过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x2y0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.答案：3x2y0或xy50直线的倾斜角与斜率(典例迁移) (1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 【解析】(1)
5、设直线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1，1，所以1tan 1，又0，)，所以0或，故选B.(2)如图，因为kAP1，kBP，所以直线l的斜率k.【答案】(1)B(2)【迁移探究1】(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcos y30的倾斜角的变化范围为 解析：直线2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是.答案：【迁移探究2】(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解：因为P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以
6、kAP，kBP.由图可知，直线l斜率的取值范围为.(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤求出斜率ktan 的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率；公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率1若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为 解析：因为kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.答案：42若直线l的斜率为k，倾斜角为，且，则k的取值范围是 解析：当时，kt
7、an ；当时，ktan ，0)综上得k，0).答案：，0)直线的方程(师生共研) (1)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y4x的斜率的，则该直线的方程为 (2)若直线经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为 【解析】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为ykx，将(5，2)代入ykx中，得k，此时，直线方程为yx，即2x5y0.当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为1，将(5，2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为
8、x2y10.综上所述，所求直线的方程为x2y10或2x5y0.【答案】(1)4x3y130(2)x2y10或2x5y0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程注意(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为xmya；(2)当已知直线经过点(0，
9、a)，且斜率存在时，可将直线方程设为ykxa；(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为ykx.1已知ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A2xy120 B2xy120C2xy80 D2xy80解析：选C.由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为，整理得2xy80.2经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为 解析：由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3，4)，由点斜式得y4(x3)所求直线的方程为xy10或xy70.答案：xy10或xy70直线
10、方程的综合应用(典例迁移) (一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB面积最小时，求直线l的方程【解】法一：设直线l的方程为y1k(x2)(k0，b0，因为直线l过点M(2，1)，所以1，则12，故ab8，故SAOB的最小值为ab84，当且仅当时取等号，此时a4，b2，故直线l为1，即x2y40.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解：由本例法二知，1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)332，当且仅当a2，b1时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为xy2.直
11、线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解1直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2，2 B(，22，)C2，0)(0，2 D(，)解析：选C.令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形的面积为|b|b2，且b0，b21，所以b24，所以b的取值范围是2，0)(0，22已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为 解析：直线
12、方程可化为y1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b2，由于0b1，故当b时，ab取得最大值.答案：基础题组练1若直线过点(1，1)，(2，1)，则此直线的倾斜角的大小为()A30 B45 C60 D90解析：选C.设此直线的倾斜角为，则ktan .又a0，)，所以60.故选C.2已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析：选A.因为直线x2y40的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，
13、所以直线l的方程为yx2.3(2020黑龙江鹤岗一中期中)已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1 C2或1 D2或1解析：选D.当a0时，直线方程为y2，显然不符合题意，当a0时，令y0，得到直线在x轴上的截距是，令x0，得到直线在y轴上的截距为2a，根据题意得2a，解得a2或a1，故选D.4若2，则直线1必不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.令x0，得ysin 0，直线过(0，sin )，(cos ，0)两点，因而直线不经过第二象限选B.5在等腰三角形MON中，MOMN，点O(0，0)，M(1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直
14、线MN的方程为()A3xy60 B3xy60C3xy60 D3xy60解析：选C.因为MOMN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMNkMO3，所以直线MN的方程为y33(x1)，即3xy60，选C.6已知三角形的三个顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 解析：BC的中点坐标为，所以BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.答案：x13y507直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为 解析：直线l平分ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：yx.答案：yx
15、8设点A(1，0)，B(1，0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是 解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值所以b的取值范围是2，2答案：2，29已知ABC的三个顶点分别为A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边的垂直平分线DE的方程解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(2，3)两点，所以BC的方程为，即x2y40.(2)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求
16、直线方程为y22(x0)，即2xy20.10已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3，4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3，3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，所以b1.所以直线l的方程为x6y60或x6y60.综合题组练1直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()A1k Bk
17、1或kCk或k1 Dk或k1解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，令y0，得直线l在x轴上的截距为1，则313，解得k或k1.2过直线l：yx上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 解析：若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.答案：x2y
18、20或x23已知直线l过点(2，1)，且在x，y轴上的截距相等(1)求直线l的一般方程；(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a3b的最小值解：(1)截距为0时，k，所以l：yx，即x2y0；截距不为0时，设直线方程为1，将(2，1)代入，计算得t3，则直线方程为xy30.综上，直线l的方程为x2y0或xy30.(2)由题意得l的方程为xy30，因为点P(a，b)在直线l上，所以ab3，所以3a3b226，当且仅当ab时等号成立，所以3a3b的最小值是6.4(综合型)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，所以直线EF的方程为1(0x30)易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，所以n20m.所以S(100m)(m5)2(0m30)所以当m5时，S有最大值，这时51.所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成51时，草坪面积最大
