1、2016-5=2017学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1抛物线y=x2的准线方程是（）ABy=2CDy=22已知命题P：“x0，exx+1”，则P为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+13设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A13B35C49D634在ABC中，若b2+c2a2=bc，则角A的值为（）A30B60C120D1505“x1”是“x2x”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要
2、条件D非充分非必要条件6已知x，y满足不等式组，则z=2xy的最大值为（）A2B0C2D47已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）ABCD8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）ABCD9在正项等比数列an中，若a1，a4029是方程x210x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A2B3C4D510已知实数a0，b0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（）ABC8D4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸上）11在ABC中若b=5，sinA=，则a=12双
3、曲线的焦距是10，则实数m的值为13若不等式x2ax+40对x（0，+）恒成立，则实数a的取值范围是14一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15，这时船与灯塔相距为海里15已知数列an各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足，则an=三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m2）x+10在R上恒成立，若p为真，pq为真，求实数m的取值范围17在等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（1）求数列an的通项公
4、式；（2）设，求b1+b2+b3+b10的值18在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（1）确定角C的大小；（2）若，且ABC的面积为，求ABC的周长19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点（1）求抛物线C的方程；（2）求OAB的面积2016-5=2017学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学
5、试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1抛物线y=x2的准线方程是（）ABy=2CDy=2【考点】抛物线的简单性质【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=8y，然后再求其准线方程【解答】解：，x2=8y，其准线方程是y=2故选B2已知命题P：“x0，exx+1”，则P为（）Ax0，exx+1Bx0，exx+1Cx0，exx+1Dx0，exx+1【考点】命题的否定【分析】由已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案【解答】解：命题P：“x0，exx+1”，P为：“x0，exx+1”，故选：C3设
6、Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A13B35C49D63【考点】等差数列的前n项和【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C4在ABC中，若b2+c2a2=bc，则角A的值为（）A30B60C120D150【考点】余弦定理【分析】根据题中的等式，利用余弦定理算出cosA=，结合0A180可得A=60【解答】解：在ABC中，b2+c2a2=bc，根据余弦定理，得c
7、osA=，又0A180，A=60故选：B5“x1”是“x2x”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由x2x得x1或x0，则“x1”是“x2x”成立的充分不必要条件，故选：A6已知x，y满足不等式组，则z=2xy的最大值为（）A2B0C2D4【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由得A（1，0）
8、，当直线z=2xy过点A（1，0）时，z最大值是2，故选：C7已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】设椭圆的标准方程为，由于椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，可得，解得即可【解答】解：设椭圆的标准方程为，椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，解得故椭圆的方程为故选C8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦
9、定理求出此角即可【解答】解：如图，将EF平移到AC，连结B1C，则B1AC为异面直线AB1与EF所成的角，三角形B1AC为等边三角形，故异面直线AB1与EF所成的角60，cosB1AC=故选A9在正项等比数列an中，若a1，a4029是方程x210x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A2B3C4D5【考点】等比数列的通项公式【分析】由韦达定理得a1a4029=16，从而得到a2015=4，由此能求出log2a2015的值【解答】解：在正项等比数列an中，a1，a4029是方程x210x+16=0的两根，a1a4029=16，an0，a2015=4，log2a2015=log24=
10、2故选：A10已知实数a0，b0，是4a与2b的等比中项，则的最小值是（）ABC8D4【考点】基本不等式【分析】利用等比中项的性质可得2a+b=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：实数a0，b0，是4a与2b的等比中项，2=4a2b，2a+b=1则=（2a+b）=4+4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号其最小值是8故选：C二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸上）11在ABC中若b=5，sinA=，则a=【考点】正弦定理【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可【解答】解：在ABC中若b=5，sinA=，所以，a=故答案为：12双曲线的焦距是1
11、0，则实数m的值为16【考点】双曲线的简单性质【分析】通过双曲线的几何性质，直接求出a，b，c，然后求出m即可【解答】解：双曲线的焦距为10，所以a=3，c=5，所以m=259=16，故答案为：1613若不等式x2ax+40对x（0，+）恒成立，则实数a的取值范围是（，4）【考点】函数恒成立问题【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化，结合基本不等式进行求解即可【解答】解：不等式x2ax+40对x（0，+）恒成立，对于x（0，+），不等式x2+4ax都成立，即a=x+，当x（0，+），x+2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，a4，即实数a的取值范围是（，4）故答案为：（，4）14一
12、船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15，这时船与灯塔相距为24海里【考点】解三角形的实际应用【分析】根据题意求出B与BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长【解答】解：根据题意，可得出B=7530=45，在ABC中，根据正弦定理得：BC=24海里，则这时船与灯塔的距离为24海里故答案为：2415已知数列an各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足，则an=2n【考点】数列递推式【分析】把n=1代入已知的式子求出a1的值，当n2时可得，利用an=SnSn1 两式作差后化简得到递推公式，由等差数列的定义和
13、通项公式求出答案【解答】解：由题意知，当n=1时，解得a1=2或a1=0（舍去），当n2时，得，则，所以（an+an1）（anan12）=0，因为数列an各项均为正数，所以anan12=0，即anan1=2，则数列an是以2为首项、公差的等差数列，所以an=2+2（n1）=2n，故答案为：2n三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m2）x+10在R上恒成立，若p为真，pq为真，求实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】由P为真，Pq为真，可得P为假，q为真，求出P为假、q
14、为真时，m的取值范围，再求交集【解答】解：P为真，Pq为真P为假，q为真 P为真命题，则，m2或m2P为假时，2m2若q为真命题，则即1m3由可知m的取值范围为1m2 17在等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（1）求数列an的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+b10的值【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出（2）利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由已知得，解得an=3+（n1）1，即an=n+2（2）由（1）知，b1+b2+b3+b10=21+22+210=204618在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对
15、的边，且（1）确定角C的大小；（2）若，且ABC的面积为，求ABC的周长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理化简已知可求，结合范围，求得，结合范围，即可得解C的值（2）由已知及三角形面积公式可求ab=6，进而利用余弦定理可求a+b=5，即可得解ABC的周长【解答】（本题满分为10分）解：（1），由正弦定理得，又，sinA0，又，（2）由已知得，ab=6在ABC中，由余弦定理得，即a2+b2ab=7，（a+b）23ab=7，又ab=6，a+b=5，故ABC的周长为19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点（1）求证
16、：EF平面PAB；（2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）取PA的中点G，连接BG，GE，证明四边形BFEG是平行四边形，即可证明EF平面PAB；（2）以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系，求出平面PAC的法向量，即可求直线PF与平面PAC所成角的正弦值【解答】（1）证明：取PA的中点G，连接BG，GE，E为PD的中点，GEAD且又底面ABCD是正方形，F为BC的中点，BFAD且，GEBF且GE=BF，四边形BFEG是平行四边形，EFBG，又EF平面PAB，BG平面PAB，EF平面PAB（2）解：以
17、AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系，设PA=AD=2，直线PF与平面PAC所成角为，P（0，0，2），F（2，1，0），A（0，0，0），C（2，2，0），设平面PAC的法向量，则，取，sin=|cos，|=20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点（1）求抛物线C的方程；（2）求OAB的面积【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x26x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x1，进而由三角形面积公式计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x26x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；直线y=x1过抛物线y2=4x的焦点F，|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x1的距离，ABO的面积2017年3月1日
