1、课时规范练24平面向量的数量积与平面向量的应用课时规范练B册第15页 基础巩固组1.(2019广东高考模拟)已知平面向量m,n均为单位向量,若向量m,n的夹角为2,则|3m+4n|=()A.25B.7C.5D.7答案C解析因为向量m,n的夹角为2,所以mn=0.又m,n均为单位向量,所以|3m+4n|=9+16+24mn=5.故选C.2.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析A,B,C三点不共线,|AB+AC|BC|AB+AC|AB-AC|
2、AB+AC|2|AB-AC|2ABAC0AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的充分必要条件,故选C.3.(2019河北武邑中学调研二,11)已知平面向量a,b满足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为()A.-12B.-32C.12D.32答案D解析a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,a2+ab=3,ab=-1,设向量a与b夹角为,0,cos =ab|a|b|=-12,sin =1-cos2=32,故选D.4.(2019湖南衡阳八中期中)已知ABC中,ABC=90,AB=2,D是边BC上一动点,则ABAD=()A
3、.2B.-2C.4D.无法确定答案C解析如下图,ABAD=AB(AB+BD)=AB2+ABBD.ABC=90,ABBD=0,ABAD=AB2=4,故选C.5.(2019河北重点高中期末联考)在ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x0),则当BC最小时,ACB=()A.90B.60C.45D.30答案A解析由题意BC=AC-AB=(-x-1,2x-2),|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.令y=5x2-6x+5,x0,当x=35,ymin=165,此时BC最小,CA=35,-65,CB=85,45,CACB=3585-6545=0,CACB,即C=90,故
4、选A.6.(2019黑龙江哈尔滨三中模拟)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是()A.t23C.t23,且t-6D.t-6答案C解析因为a,b的夹角为钝角,则ab0且不反向共线,ab=-2+3t0,得t23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共线时,23+t=0,得t=-6.此时a=-2b.所以t23且t-6,故选C.7.(2019贵州高考模拟)在直角梯形ABCD中,AB=4,CD=2,ABCD,ABAD,E是BC的中点,则ABAC+AE=()A.8B.12C.16D.20答案D解析AB(AC+AE)=ABAC+ABAE,如下图所示,过C,E两点向AB
5、上作垂线,垂足分别为F,D.ABAC=|AB|AC|cosCAB,又|AC|cosCAB=AF=12AB=2,ABAC=42=8,ABAE=|AB|AE|cosEAB,又|AE|cosEAB=AF+FD,E是CB的中点,FD=DB=14AB=1,|AE|cosEAB=AF+FD=3.ABAE=43=12,AB(AC+AE)=8+12=20,故选D.8.(2019辽宁重点高中联考)已知平面向量OA,OB满足|OA|=|OB|=1,OAOB=0,且OD=12DA,E为OAB的外心,则EDOB=()A.-12B.-16C.16D.12答案A解析OAOB=0,OAOB,又|OA|=|OB|=1,OAB
6、为等腰直角三角形.E为OAB的外心,E为AB中点,|OE|=12|AB|=22且BOE=45.OD=12DA,OD=13OA,EDOB=(OD-OE)OB=13OAOB-OEOB=-|OE|OB|cosBOE=-2222=-12.9.(2019河北唐山一模,13)已知向量a=(1,-3),b=(m,2),若a(a+b),则m=.答案-4解析由题意得a+b=(1+m,-1).a(a+b),a(a+b)=0,即1+m+3=0,m=-4.10.(2019河北武邑中学调研二,3改编)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=.答案1解析|a+b|=10,|a-b|=6,分别平方得a2+
7、2ab+b2=10,a2-2ab+b2=6,两式相减得4ab=10-6=4,即ab=1.11.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且ab=1,若e为平面单位向量,则(a-b)e的最大值为.答案3解析由|a|=1,|b|=2,且ab=1,得cos=ab|a|b|=12,cos=60.设a=(1,0),b=(1,3),e=(cos ,sin ),(a-b)e=-3sin ,(a-b)e的最大值为3,故答案为3.综合提升组12.(2019山东枣庄八中模拟)设向量a,b满足|a|=1,|a+b|=3,a(a+b)=0,则|2a-b|=()A.2B.23C.4D.43答案B解析a(a+b)=0,
8、|a|=1,a2=-ab=1.向量a,b满足|a+b|=3,a2+2ab+b2=3,b2=4.则|2a-b|=(2a-b)2=4a2-4ab+b2=4+4+4=23,故选B.13.(2019湖南师大附中期中)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=1,且(2a-9b)a,则2a-9b与b的夹角的余弦值为()A.-53B.-59C.23D.59答案A解析由已知得9ab=2a2=18ab=2,|2a-9b|=(2a-9b)2=35,得(2a-9b)b|2a-9b|b|=2ab-9b2351=-53,故选A.14.(2019江西新八校联考二)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,
9、过点A作AEBD,垂足为E,则AEEC=()A.725B.14425C.125D.1225答案B解析如图,由AB=3,AD=4得BD=9+16=5,AE=ABADBD=125.又AEEC=AE(EO+OC)=AEEO+AEOC=AEEO+AEAO.AEBD,AEEO=0.又AEAO=|AE|AO|cosEAO=|AE|AO|AE|AO|=|AE|2=14425,AEEC=14425.故选B.15.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是.答案1+7解析设D(x,y),由|CD|=1,得(x-3)2+y2=
10、1,向量OA+OB+OD=(x-1,y+3),故|OA+OB+OD|=(x-1)2+(y+3)2的最大值为圆(x-3)2+y2=1上的动点到点(1,-3)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y2=1的圆心(3,0)到点(1,-3)的距离加上圆的半径,即(3-1)2+(0+3)2+1=1+7.创新应用组16.(2019辽宁大连5月模拟)已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点,若AOAB=32,则实数m=()A.1B.32C.22D.12答案C解析联立y=x+m,x2+y2=1,消y可得2x2+2mx+m2-1=0.由题意知=-2m2+80,解得-2x2.设A(x1,
11、y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1),AOAB=32,AOAB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=22.故选C.17.(2017全国2,理12)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案B解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知
12、A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.18.(2019江苏,12)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若ABAC=6AOEC,则ABAC的值是.答案3解析如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.又ABAC=6AOEC=3AD(AC-AE)=32(AB+AC)AC-13AB=32ABAC-13AB2+AC2-13ABAC=3223ABAC-13AB2+AC2=ABAC-12AB2+32AC2,得12AB2=32AC2,即|AB|=3|AC|,故ABAC=3.
