1、江西省宜春市第九中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，其中是实数，则等于（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数相等，可求得的值.根据复数模的求法即可得解.【详解】由已知得，根据两复数相等的条件可得，所以.故选：B.【点睛】本题考查了复数相等的应用，复数模的求法，属于基础题.2.复数的虚部为（）A. 1B. 3C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3.满足i(i为虚数单位
2、)的复数z（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】易得zizi，所以(1i)zi，解得z故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.4.圆的极坐标方程为，则该圆的圆心极坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆的极坐标方程化为，则对应的直角坐标方程为，即，圆心，对应的极坐标为，故选择B.5.如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：是函数的极值点；是函数的最小值点；在处切线的斜率小于零；在区间上单调递增.则正确命题序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极
3、值点的关系，结合图象即可作出判断.详解：根据，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负，由导函数的图象，可得的函数在单调递减，在单调递增，其中的左边负右边正，所以为函数的一个极小值点，且上函数单调递增，所以是正确的；其中的左右两侧都是正数，所以不是函数的极值点，所以是错误的；由可得函数在处的切线的斜率大于零，所以错误的，故选C.点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力.6.若，则a的值是（ ）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】先由微积分基
4、本定理求解等式左边的积分，然后用求得的结果等于3+ln2，则a可求【详解】，解得.故选D【点睛】本题考查了定积分的求法，解答的关键是找出被积函数的原函数，属基本题7.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A. 6B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为）的点的个数估计值为（ ）.A. 5000B. 6667C. 7500D. 7854【答案】B【解析】，则，因此
5、点落入阴影部分的概率为，从而所求点的个数估计为，故选B9.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ， ，曲线在点处的切线方程为 化为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.10.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 【答案】B【解析】对函数求导可得，根据导数的几何意义，即=()=+52+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.
6、故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件11.点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，则，即，所以，故选B12.已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】函数的对称轴为,因为,所以,即对称轴()则是其中一条对称轴,故选A.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则_.【答案】2【解析】【详解】直线过圆的圆心，因此【点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可
7、将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用以及，同时要掌握必要的技巧.14.已知，则_【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，然后运用代入法进行求解即可.【详解】，因此，所以.故答案为：【点睛】本题考查了导数的运算，考查了代入思想，考查了数学运算能力.15.若是偶函数，则_【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性，求出的值，再根定积分的计算以及定积分的几何意义，即可求解求定积分的值，得到答案【详解】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及定积分的计算
8、和定积分的几何意义，其中解答中熟记定积分的计算以及定积分的几何意义是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题16.如图，由抛物线与直线及轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据定积分的定义结合图象，分成两段，即可得，然后由微积分基本定理进行计算即可得解.【详解】联立直线与抛物线，解得，（舍），由，令，解得，抛物线，即，直线，即，设所求图形面积为，故答案为：.【点睛】本题考查利用定积分求图形的面积问题，微积分基本定理的简单应用，解题的关键是将图象的面积分为两部分进行处理，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他各题每题12分，共70.
9、0分）17.设复数，求实数取何值时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第二象限.【答案】(1) 或时，为实数;(2) 时，是纯虚数;(3) 时，的对应点位于复平面的第二象限.【解析】试题分析: (1)由虚部为0,解出m值; (2)由实部为0且虚部不为0,解出m值; (3)由横坐标即所对应复数的实部小于0,纵坐标即所对应复数的虚部大于0解出不等式组.试题解析:（1） 因为是实数，所以，解得或-2.故当或时，为实数（2） 因为是纯虚数，所以解得故当时，是纯虚数（3） 因为对应的点位于复平面的第二象限，所以解得.故当时，的对应点位于复平面的第二象限18.设（1）求的单调区间；（
10、2）求函数在上的最值【答案】(1) 函数的单调增区间是，单调递减区间是. (2)-6, .【解析】试题分析：(1)根据定积分的运算法则可得， 求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2)根据单调性求出极值，比较极值与区间端点函数值的大小即可得到函数在上的最值.试题解析：依题意得F(x)=(t2+2t-8)dt=x3+x2-8x,定义域是(0,+).(1)F(x)=x2+2x-8,令F(x)0,得x2或x-4,令F(x)0,得-4x2,由于定义域是(0,+),所以函数的单调增区间是(2,+),单调递减区间是(0,2).(2)令F(x)=0,得x=2(x=-4舍去),由
11、于F(1)=-,F(2)=-,F(3)=-6,所以F(x)在1,3上的最大值是F(3)=-6,最小值是F(2)=-.19.已知曲线，及.（1）当时，求上述曲线所围成的图形面积； （2）用定积分表示曲线，及所围成的图形面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）将代入，画出函数图像，利用定积分表示出曲线围成图形的面积即可求解；（2）曲线，及所围成的图形的面积，为定积分，求得，利用二次函数的性质可得结果.【详解】（1）当时，各直线和曲线围成的图形如下图所示：曲线围成的图形的面积为；（2）各直线和曲线围成的图形如下图所示： 则.所以当时，最小为.【点睛】
12、本题考查了定积分在求曲边图形面积中的应用，微积分基本定理的简单应用，由二次函数性质求最值，属于基础题.20.设函数的导数满足，.（1）求的单调区间；（2）在区间上的最大值为20，求的值.（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.【答案】（1）递增区间为，递减区间为，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；（2）求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.（3）若函数的图象与轴有三个交点，则等价为函数的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求的范围.【详解】（1）函数，则导函数，满足，得，则，
13、令，解得，由得，得，解得，此时函数单调递增，即递增区间为，由得，得，解得或，此时函数单调递减，即递减区间为，；综上所述，递增区间为，的递减区间为，；（2）由（1）知，当时，函数取得极小值，则在区间上的最大值为，则.（3）由（1）知当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则得，得，即的范围是.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，由导函数判断函数单调性，求函数的最值，建立方程或不等式进行求解是解决本题的关键，属于基础题.21.已知函数，.（1）若，求的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值是，无极大值；（2）【解析】【分析】（1）求出函
14、数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为，成立，构造函数，根据函数的单调性求出的范围即可.【详解】（1）时，函数的定义域是，令，解得，令，解得，令，解得，故递减，在递增，故的极小值是，无极大值；（2）存在，使得成立，等价于，成立，设，则，令，解得（舍），；当，在递减，令，解得；当时，在递减，在递增，与矛盾，综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，构造函数法解不等式问题，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.22.已知函数.（）当时，求曲线在点处切线的方程；（）求函数的单调区间；（）当时，恒成立，求a的取值范围.【答案】
15、（1）.（2）时，的单调增区间为；单调减区间为和；时，的单调增区间为和；单调减区间为.（3）.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，代入，求得，再求，利用直线方程的点斜式求解即可.（2）求出，通过讨论的取值，分别求出，所对应的区间即为函数的单调区间.（3）当时恒成立等价于在恒成立，令，由导数求出函数的最大值，即可求得的取值范围.【详解】（1），得.当时，即函数在处的切线斜率为0.又,故曲线在点处切线的方程为.(2).若，由得；由得，又，所以在上单调递增，在和上单调递减.若，由得；由得，又，所以在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，时，的单调增区间为；单调减区间为和.时，的单调增区间为和；单调减区间为.（3）时，恒成立,即在恒成立.令，则.则时，；，.在上单调递减，在上单调递增，则.【点睛】本题考查函数与导数综合运用.（1）利用导数研究曲线上一点处的切线方程；考查了导数的几何意义的应用.（2）利用导函数研究函数的单调性：，则函数单调递增；，则函数单调递减.（3）通过参变分离构造函数，利用导数处理恒成立中求参数问题，其中参变分离后将恒成立问题转化为函数的最值问题，是此问解题的关键步骤.
