1、73球的表面积和体积【课时目标】1了解球的体积和表面积公式2会用球的体积和表面积公式解决实际问题3培养学生的空间想象能力和思维能力1球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S_，即球的表面积等于它的大圆面积的_倍2球的体积设球的半径为R，则球的体积V_一、选择题1一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A B C D2把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A2倍 B2倍 C倍 D倍3正方体的内切球和外接球的体积之比为()A1 B13 C13 D194若三个球的表面积之比为123，则它们的体积之比为()A123 B1C123 D1475长方体的一个顶点上的三条棱长分别为
2、3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积()A25 B50C125 D以上都不对6一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为()A49 B94 C427 D274二、填空题7毛泽东在送瘟神中写到：“坐地日行八万里”又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约_万里8将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是_9(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是_；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是_三、解答题10如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰
3、淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度能力提升12已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则()A以上四个图形都是正确的B只有(2)(4)是正确的C只有(4)是错误的D只有(1)(2)是正确的13有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三
4、个球的表面积之比1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算2解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算3解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体73球的表面积和体积 答案知识梳理14R242R3作业设计1A先由面积相等得到棱长a和半径r的关系ar，再由体积公式求得体积比为2B由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍3C关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a4C由表面积之比得到半径之比
5、为r1r2r31，从而得体积之比为V1V2V31235B外接球的直径2R长方体的体对角线(a、b、c分别是长、宽、高)6A设球半径为r，圆锥的高为h，则(3r)2hr3，可得hr4974解析地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2R地球8，故R地球(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为4万里83 cm解析设球的半径为r，则36r3，可得r3 cm9(1)球(2)球解析设正方体的棱长为a，球的半径为r(1)当6a24r2时，V球r3a3a3V正方体；(2)当a3r3时，S球4r26a26a2S正方体10解要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥V
6、半球，V半球r343，V圆锥Shr2h42h依题意：42h43，解得h8即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子又因为S圆锥侧rlr，当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料11解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V(h)2hh3，由VV，得hr即容器中水的深度为r12C正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)13解设正方体的棱长为a如图所示正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1a，r1，所以S14ra2球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2a，r2a，所以S24r2a2正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2综上可得S1S2S3123