1、8.2.2 椭圆的简单几何性质武进区鸣凰中学 巢建伟教学目标（一）教学知识点椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点（截距）（二）能力训练要求1.使学生了解并掌握椭圆的范围.2.使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心。3.使学生椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距。4使学生掌握离心率的定义以及几何意义。（三）德育渗透目标使学生充分认识到数与形的联系，体会数与形的辨证统一。教学重点 椭圆的简单几何性质 用解析法研究曲线的方法教学难点 从方程角度研究曲线的几何性质的方法 离心率的几何意义及其推导课前准备每位同学
2、用纸剪一个椭圆（大小不同）教学方法师生合作教学过程一、新课引入 师 前几节课，我们学习椭圆的定义、椭圆的标准方程，并且熟悉了它们的应用。椭圆是我门日常生活中常见的一种几何图形问：在你的印象中你觉得椭圆有哪些特征? 生 它是对称的 与圆很相似 师 椭圆可看作是把圆均匀压扁，而压的程度不同则接近远的程度不同，但要注意椭圆不是特殊的圆，圆也不是特殊的椭圆。大家可以把你们自己手里的椭圆与同桌的比较，感觉一下椭圆的扁圆程度。 师 好刚才有位同学说，它是一个对称图形，你是否可把它的对称轴或对称中心找出来呢？请大家在自己的椭圆上观察。 生 把椭圆对折，留下的痕迹所在直线即为椭圆的对称轴。 师 请同学们把自己
3、手上的椭圆找出并画出来。师 椭圆是一个封闭的曲线，所以它必限制在一定的范围内，而且椭圆中间平，两边尖。我们来用课件演示一下（展示课件）师 我们发现：把椭圆沿X轴对折，X轴两旁重合 把椭圆沿X轴对折，X轴两旁重合 把椭圆绕原点转1800与自己重合，再旋转1800又回到原来的位置。 椭圆的形状上有的要扁一点，有的更接近于圆师 请同学们回忆一下椭圆的定义及在适当建立坐标系之后椭圆的标准 方程。生 如将焦点放在X轴上 得+=1（ab0） 如将焦点放在Y轴上的+=1 （ab0）师 我们知道研究曲线性质除了从图形上观察，还可以通过曲线的方程来研究，接下来我们以第一种椭圆标准方程入手研究椭圆几何性质。二、椭
4、圆的几何性质1、范围XYO师 刚才我们讲过椭圆为一个封闭曲线，它限制在一定的范围里。在坐标里面即X与Y有一定的范围。+=1（ab0） 即 师 所以椭圆上的点， 所以我们可以说椭圆就限制在这样的一个矩形内。（展示课件）结论：椭圆位于直线和所围成的矩形里2、对称性师 刚才我们已知道椭圆是一个对称图形 XYO+=1（ab0）师 我们从方程中怎么看待这样一个对称呢？或者从方程中如何证明椭圆对称呢？ 首先如何说明椭圆关于X轴对称？生 在椭圆上任取一点A（X，Y），则关于X轴对称的点为A1（X，-Y）只要看A1是否在椭圆上。师很明显：（X，Y）符合+=1（X，-Y）也符合此方程 即关于X轴对称的点也在椭圆
5、上椭圆关于X轴对称师 简单来说从方程中X不变，Y用-Y 表示方程不边，同样说明椭圆关于X轴对称。结论：以-Y代Y 方程不变，故椭圆关于X轴对称师请一位同学帮我说明椭圆关于Y轴对称生 在椭圆上任取一点B（X，Y），则关于Y轴对称的点为B1（-X，Y）只要看B1是否在椭圆上。（X，Y）符合+=1（-X，Y）也符合此方程 即关于Y轴对称的点也在椭圆上椭圆关于Y轴对称简单来说从方程中Y不变，X用-X 表示方程不边，同样说明椭圆关于Y轴对称。结论：以-X代X 方程不变，故椭圆关于Y轴对称师 刚才我们也看到椭圆绕原点转1800与椭圆重合，说明椭圆也关于原点中心对称。请问如何证明？与上两种是一样的。结论：以
6、-X代X，以-Y代Y方程不变，故椭圆关于原点对称，原点为椭圆的对称中心。（提问在坐标系中是不是所有的椭圆的对称中心的都是原点。-强调：坐标轴是对称轴的椭圆）师 由此可见，如一曲线如关于X轴对称又关于Y轴对称则一定关于原点对称。3、顶点师 通过我们对椭圆形状的认识，发现它当中扁两端尖。刚才同学们已在自己的椭圆上找出了对称轴，那你们是否能找出椭圆上相对较尖与较平的位置。生 对称轴与椭圆的四个交点师 请同学们在你们的图中标出四个顶点即对称轴与椭圆的四个交点A1、A2、B1 B2，那么这四个交点即为椭圆的四个顶点。XYOB2A211定义：椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点师 则可很容易
7、求出他们的交点令Y=0代入方程中得 ；令X=0代入方程中得四个顶点的坐标：（-a 0） A2(a 0) （ -b）, B2(0 b)线段A1A2-椭圆的长轴线段B1 B2-椭圆的短轴 （很形象，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长）师 我们通常说方程中的a、b、c中a为长轴长的一半，b为短轴长的一半，c 为焦距的一半师 a、b、c 为椭圆中3个非常重要的量。再看一下在这里我们手上椭圆的对称轴找到了，顶点也找到了，请大家找出焦点的位置。生 以短轴的一个端点为圆心，再以 即以a为半径作圆与X轴的交点即为焦点。师 因为在直角三角形B2OF2中=a，=b可由=得=c (在黑板
8、上画出该示意图)。所以=这一关系式的几何意义又可在这张图中体现出来，而这个椭圆中的直角三角形也是以后在椭圆中经常作的辅助图形。4、离心率师 在课的一开始还提到了椭圆可看作是由圆挤压形成，而有的不同的椭圆它的扁圆程度又不同。那怎样衡量一个椭圆的扁圆程度呢？于是我们引进了离心率的概念。定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率说明 因为所以师 大家可把你们手里的椭圆与同坐的进行比较，哪个更接近圆，此时离心率又如何？生 我这个椭圆和它的椭圆长轴长相等即a也相等，我的要比它的更接近圆，且我的短轴长比它的短轴长要大即b比它大有因而c也比它小，所以我的离心率比它的椭圆要小师 很好，这两个椭圆a相等，而
9、这个更圆是因为b较大，由=得c较小则e较小（课件展示） 若a不变当椭圆越扁，此时b越小则c越大，此时离心率越大（即接近于1不会超过1）。反之椭圆越接近圆 ，此时b越大则c越小，此时离心率越小（即接近于0不会低于0）。 （即椭圆越圆e越小，椭圆越扁e越大）（椭圆e越大就越扁，椭圆e越小就越圆）（ 举例：展示刚才那两个a相等的椭圆，指出谁的e大）师 （展示另两个学生的椭圆它们的a不同）请问此时谁的e大生 不一定 若a变，此时e要通过计算得出大小。（因为此时在公式中分子分母都在变）师 刚才我们讲了椭圆第一个标准方程的四个性质：范围，对称轴，顶点，离心率。请同学们对照图形进行比较分析假如说是第二种方程
10、+=1（ab0）焦点在Y轴上椭圆。请同学们说出它的几何性质。YOB1B2A2A1生 应差不多师 结论：椭圆位于直线和所围成的矩形里X 关于X、Y轴对称也关于原点对称，不过 长轴到了Y轴短轴到了X轴。（他们的长度不变） 顶点为（- b 0） B 2(b 0) （ - a）, A 2(0 a)与焦点在X轴上的形状一样，扁圆程度仍用来计算。师 刚才两个椭圆几何性质可以说是差不多，有相同的地方。因为它们形状一样，长轴长、短轴长、离心率横放竖放都一样。但如说到顶点坐标，X、Y的范围。还一样吗？这些就不一样了所以要注意，这样两种位置椭圆的性质的异同。三、课堂练习例求椭圆以及的长短轴的长、离心率、焦点和顶点
11、的坐标解：把已知方程分别化为标准方程 a2=25,b2=16 a=,b=4又=长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是（，）和（，）椭圆的四个顶点是（，），（，），（，）和（，） 同理得：长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是（0，）和（0，3）椭圆的四个顶点是（0，），（0，5），（，0）和（4，0）（板书） 2a10102b88e焦点（，）（，）（0，）（0，3）顶点（，）（，）（，）（，）（0，）（0，5）（，0）（，0）师 同样说明这两个椭圆形状、大小即长轴长、短轴长、离心率相同，而顶点坐标，焦点坐标不同，其实它的X范围也不同，第一个是
12、第二个是。那么它们的位置到底有什么不同我们要通过画图来看，要看出椭圆，我们不能用圆规没工具，那我们怎么来画椭圆呢？生 列表 描点师 很好。不过我们可以根据椭圆的对称性。先画出第一象限的部分，其它的就可用对称性来画，那我们以第一个为例。（课件展示） x012345XYO1A2B2F1F2B1y43.93.73.22.40 师 平时我们不需这样来画，画草图，我们只要标出顶点再用光滑曲线连接例2 下列哪个更接近于圆与 （ ）与 （ ）四、课时小结本节课我们讨论了两种位置的椭圆的四个简单几何性质即范围、对称性、顶点、离心率，以及两种椭圆性质的异同。根据性质我们也了解了正确画出椭圆的方法，与画草图的方法。师 希望大家要熟悉这些性质，以便以后我们证明、计算一些问题。五、作业课本102页练习1、2、3、5 ；103页习题8.2 1、2、3预习99页 例2、例3