1、简单不等式的解法典例精析题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x22x30；(2)已知Ax|3x27x20，Bx|2x2x10，求AB，(R A)B.【解析】(1)方程两根为x11，x23，所以原不等式解集为x|x1或x3.(2)因为Ax|13x2，RAx|x13或x2，Bx|x12或x1， 所以AB x|x12或x13，(RA)Bx|x12或x2.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f(x) 若f(4)f(0
2、)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为( )A.(，3C.(0，)D.【解析】选C.由已知对x0时f(x)x2bxc，且f(4)f(0)，知其对称轴为x2，故b22b4.又f(2)0，代入得c4，故f(x) 分别解之取并集即得不等式解集为(0，).题型二解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x的不等式mx2(m2)x20 (mR).【解析】当m0时，原不等式可化为2x20，即x1；当m0时，可分为两种情况：(1)m0 时，方程m x2(m2)x2 0有两个根，x11，x22m .所以不等式的解集为x|x1或x2m；(2)m0时，原不等式可化为mx 2(2m)x20，其对应方程两
3、根为x11，x22m ，x2x12m(1)m2m.m2时，m20，m0，所以x2x10，x2x1，不等式的解集为x|1x2m；m2时，x2x11，原不等式可化为(x1)20，解 集为；2m0时，x2x10，即x2x1，不等式解集为x|2mx1.综上所述：当m2时，解集为x|1x2m；当m2时，解集为；当2m0时，解 集为x|2mx1；当m0时，解集为x|x1；当m0时，解集为x|x1或x2m.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大 小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x的不等式ax1x10.【解析】原不等式
4、等价于(ax1)(x1) 0.当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x1a或x1；当1a0时，不等式的解集为x|1ax1；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为x|1x1a.题型三一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax2bx c0的解集为x|1x3，求不等式cx2bxa0的解集.【解析】由于ax2bxc0的解集为x|1x3，因此a0，且ax2bxc0的两根为1、3，则ba13，ca13，即ba4，ca3.又a0，不等式cx2bxa0可以化为cax2bax10，即3x24x10，解得x13或x1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元
5、二次方程与一元二次函数，明确一元二 次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2012江西模拟)若不等式9x2k(x2)2的解集为区间，且ba2，则k.【 解析】2.作出函数y9x2和yk(x2)2的图象，函数y9x2的图象是一个半圆，函数yk(x2)2的图象是过定点(2，2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a1，即1是方程9x2k(x2)2的根，代入得k2.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次 ”之间的联系，重视数形结合思想的应用.
