1、海南省三亚华侨学校（南新校区）2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在空间四边形OABC中，等于A. B. C. D. 2. 已知向量，则向量 A. B. C. D. 3. 直线过点，倾斜角为，则直线的方程为 A B C D4. 圆的圆心坐标和半径分别是A. ，2B. ，2C. ，4D. ，4 5. 设是椭圆 上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为 A B C D6. 已知双曲线的离心率是，则A. B. 4C. 2D. 7. 数列中，则为A. B. C. D. 8. 已知等比数列中，则该数列的
2、前9项和为 A. 50B. 70C. 80D. 90二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9. 下列命题是真命题的有A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C. 平面，的法向量分别为，则D. 平面经过三点，向量是平面的法向量，则10. 直线l过点且与直线平行，若直线l被圆截得的弦长为，则实数a的值可以是 A. 0B. C. D. 11. 关于圆锥曲线的四个命题正确的是A. 设A，B为两个定点，k为与非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C. 双曲线与椭圆有相同的焦点D. 以过抛物线
3、的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切12. 已知数列的首项为4，且满足，则 A. 为等差数列B. 为递增数列C. 的前n项和D. 的前n项和三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l，m的方向向量分别是1，t，若，则实数t的值是_ 14. 已知直线l：交圆C：于A，B两点，则_15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则_16. 已知数列满足，则数列的前n项和_四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知等差数列中，公差，求：、的值；该数列的前5项和18. 如图所示四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD中，E为PD的中点，F
4、为PC中点求证：平面ACE；求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值19. 已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点求圆的标准方程；若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程20. 求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程；求经过点的抛物线的标准方程21. 已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点求椭圆E的方程；若点H的坐标为，点A，B是椭圆E上的两点点A，B，H不共线，且，证明直线AB过定点，并求面积的取值范围22. 在各项均不相等的等差数列中，且，成等比数列，数列的前n项和求数列、的通项公式；设，求数列的前n项和2020-2021高二下开学数学测试一、单项
5、选择题（本大题共8小题，共40.0分）23. 在空间四边形OABC中，等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，本题是向量的基础题由题意，根据向量的加法、减法法则，把进行化简即可得到答案，即可选出正确选项【解答】解：根据向量的加法、减法法则，得故选C24. 已知向量，则向量 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查空间向量的加减运算以及坐标表示，属于基础题根据，即可求解【解答】解：故选A25. 【答案】D26. 圆的圆心坐标和半径分别是A. ，2B. ，2C. ，4D. ，4【答案】B【解
6、析】【试题解析】【分析】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题根据圆的标准方程中圆心为，半径为r，直接写出结果即可【解答】解：根据圆的标准方程，得圆心坐标为，半径为2故选B27. 椭圆的焦点坐标为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，注意要先由标准方程分析出焦点的位置根据题意，由椭圆的标准方程可得C的焦点在y轴上，且，进而计算可得c的值，由焦点坐标公式以及长轴的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，的焦点在y轴上，且，故可得，故选B28. 【答案】C29. 数列中，则为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数
7、列的通项，解题的关键是根据已知构造出新的等差数列由题意得数列是等差数列，即可得解【解答】解：由题意可得，即，数列是以为首项，以3为公差的等差数列，故选D30. 已知等比数列中，则该数列的前9项和为 A. 50B. 70C. 80D. 90【答案】B【解析】由等比数列的性质得，也成等比数列，由，知公比为，故，二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）31. 下列命题是真命题的有A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C. 平面，的法向量分别为，则D. 平面经过三点，向量是平面的法向量，则【答案】AD【解析】【分析】本题考查利用平面
8、的法向量判断线面关系、面面关系，属于基础题根据直线l、m的方向向量与垂直，得出；根据直线l的方向向量与平面的法向量垂直，不能得出；根据平面、的法向量与不共线，不能得出；求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出的值【解答】解：，直线l与m垂直，A正确；，或，B错误；，不共线，所以与不平行，故C错误；点0，1，2，向量是平面的法向量，即，则，D正确故选AD32. 直线l过点且与直线平行，若直线l被圆截得的弦长为，则实数a的值可以是 A. 0B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】本题考查直线与圆得位置关系，先由两直线平行求出直线l得方程，再求出弦心距为1，用点到直线得距离公式
9、可求解a【解答】解：由已知可得直线l的斜率为，所以直线l的方程为，圆的圆心，半径为2，直线l被圆截得的弦长为，半弦长为，则弦心距为1，圆心到直线的距离，解得或，故选AD33. 关于圆锥曲线的四个命题正确的是A. 设A，B为两个定点，k为与非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线B. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C. 双曲线与椭圆有相同的焦点D. 以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切【答案】BCD【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的几何性质，解决本题的关键是掌握好圆锥曲线的几何性质即可，属于中档题根据椭圆，双曲线，抛物线的性质求解即可【解答】解：A不正确，若动点
10、P的轨迹为双曲线，则要小于A、B为两个定点间的距离当大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线，B正确，方程的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为，D正确；不妨设抛物线为标准抛物线：，即抛物线位于y轴的右侧，以x轴为对称轴，设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是而P到准线的距离，Q到准线的距离，又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有，由抛物线的定义可得：半径，所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线相切，故答案为BCD34. 已知数列的首项为4，且满足，则 A. 为等差数列B. 为递增数列C.
11、 的前n项和D. 的前n项和【答案】BD【解析】【分析】本题考查数列的递推关系和函数特征，等比数列的判定、通项公式以及求和公式，等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题由题意可得，即为等比数列，可得，利用逐项求解判断即可【解答】解：由，两边都除以，可得，即，所以为等比数列，首项为4，公比为2，故A错误；所以，解得，所以为递增数列，故B正确；的前n项和,得=,所以故C错误；由可得，所以的前n项和，故D正确；故选BD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35. 已知直线l，m的方向向量分别是1，t，若，则实数t的值是_ 【答案】1【解析】解：直线l，m的方向向量分别是1，t，且
12、，解得故答案为：1由直线l与直线m垂直，得直线l，m的方向向量数量积为0，由此能求出结果本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用36. 已知直线l：交圆C：于A，B两点，则_【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查圆的一般方程、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离，题目基础求出点到直线l：的距离，故可得【解答】解：圆C：的圆心坐标为，半径，点到直线l：的距离，所以直线l被圆C截得线段AB的长故答案为37. 38. 已知数列满足，则数列的前n项和_【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查数列的递推关系，数列的求和方法：分组求和，同时考查构造等比
13、数列求数列通项公式的方法，考查分析和运算能力，属于中档题可设，求得，运用等比数列的通项公式，可得数列的通项，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和【解答】解：由，可设，即，可得，即，则，可得数列是首项为，公比为3的等比数列，即有，即，可得数列的前n项和故答案为四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）39. 已知等差数列中，公差，求：、的值；该数列的前5项和【答案】解：等差数列中，公差，；，即，是等差数列，【解析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于基础题熟练掌握等差数列的通项公式及求和公式是解决此题的关键根据等差数列定义和通项公式即可求解；求出，根据等差数
14、列的求和公式可得40. 如图所示四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD中，E为PD的中点，F为PC中点求证：平面ACE；求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值【答案】解：连接DF，BD，设，连接QG因为是中点，所以G是的重心，所以，因为，且，所以，所以，又因为平面，所以平面ACE；由已知条件得，所以，因为底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，所以是直线PD与平面PAC所成的角，因为，所以，直线PD与平面PAC所成的角的正弦值解法2：如图，建立直角坐标系，则，所以，因为，由，解得平面ACE的一个法向量是，因为，所以，又因为平面ACE，所以平面ACE；因为， 由得平面PAC的一个法向量是，而，由
15、，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值是【解析】此题主要考查线面平行的证明，线面角的求法，涉及线面垂直的判定定理，和空间向量方法，属中档题解法一：利用对应线段成比例，证明，从而证明线面平行平行；由线面垂直的判断，得出线面角，在直角三角形中求出线面角的正弦值解法二：建立空间直角坐标系，求得平面ACE的一个法向量坐标，证明此法向量与直线BF的方向向量垂直，从而证得；求得平面PAC的一个法向量坐标，利用与直线PD的方向向量的夹角的余弦值求得41. 已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点求圆的标准方程；若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程【答案】解：圆心到直线的距离，所以圆的半径为2，所
16、以；当直线斜率不存在时，直线l被圆所截得的弦长为，符合题意；当直线斜率存在时，设直线，由，解得：，故l的方程是，即，综上所述，直线l的方程为或【解析】本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，是基础题先得出圆心到直线的距离，即为半径，即可得出圆的标准方程；分直线斜率不存在和存在时，当斜率存在时由勾股定理求出斜率即可得到答案42. 求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程；求经过点的抛物线的标准方程【答案】解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为由题意，得解得，所以焦点在x轴上的双曲线的方程为；解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或在第一种情形下，求得抛物线方程为：；在
17、第二种情形下，求得抛物线方程为：【解析】利用已知条件列出方程组求解a，b然后求解双曲线方程即可设出抛物线方程，利用点在曲线上，化简求解即可本题考查双曲线方程以及抛物线方程的求法，双曲线以及抛物线的简单性质的应用考查计算能力 43. 设抛物线，点，过点的直线与交于，两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，2）所以直线BM的方程为y=或（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABM=ABN当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x10，x20由得ky22y4k=0，可
18、知y1+y2=，y1y2=4直线BM，BN的斜率之和为将，及y1+y2，y1y2的表达式代入式分子，可得所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABM=ABN综上，ABM=ABN44. 在各项均不相等的等差数列中，且，成等比数列，数列的前n项和求数列、的通项公式；设，求数列的前n项和【答案】解：设数列的公差为d，则，成等比数列，即，整理得，解得舍去或，；当时，当时，数列的通项公式为由得，【解析】【试题解析】本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式的运用，数列的递推式的运用，以及数列的求和，属于中档题由已知条件利用，成等比数列，即可求得数列的公差，进而得到数列的通项公式；由等比数列数列的前n项和，得到，进而得到数列的通项公式；由得到，分组转化求和，再根据等比数列和等差数列的求和公式即可求出的前n项和
