1、第八节空间中的角(二)复习目标学法指导1.利用空间向量求几何体中线段长度(距离).2.利用空间向量求二面角问题.1.空间向量的模及夹角可以帮助我们求出一些不易作出的距离问题.2.用空间向量坐标运算求二面角,把证明问题化为计算问题简单易行. 一、求空间距离1.两点间距离求法若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|=.2.点面距的求法设n是平面的法向量,点A在平面内,点B在平面外,则点B到平面的距离为.3.线面距、面面距均可转化为点面距再用2中方法求解.1.概念理解(1)空间几何体中两点之间的距离即线段长度可以通过求向量模表示出来.(2)求几何体的体积时,求几何体的高可以通过法向量求
2、出高度,从而可求几何体的体积.2.与距离的求法相关联的结论向量法求点P到平面距离的步骤(1)求平面的法向量n;(2)在平面内取一点A,确定向量的坐标;(3)代入公式d=求解.二、利用空间向量求空间角二面角1.若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(如图(1).2.设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图(2)(3),其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平面角,图(3)中则为其补角).1.概念理解(1)二面角由两个半平面构成,因此有锐、直、钝二面角之分,应根据原
3、几何体中位置关系去区分.(2)设两个半平面的法向量分别为n1,n2,则锐二面角应这样求:cos =.2.与求二面角相关联的结论(1)求两个半平面的法向量时,要注意观察原几何体中已知向量,如果有已知垂直于平面的向量可以直接选为法向量.(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角大小就是二面角的大小.1.二面角-l-内有一点P,P到,的距离分别是5,8,P在,内的射影间的距离是7,则二面角的度数是(C)(A)30(B)60(C)120(D)150解析:设P在,内的射影为A,B,则cos APB=,APB=60,二面角与其互补,为120,故选C.2.正AB
4、C与正BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的平面角的正弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系,设BC=1,则A(0,0,),B(0,-,0),D(,0,0).所以=(0,0,),=(0,),=(,0).由于=(0,0,)为平面BCD的一个法向量,可进一步求出平面ABD的一个法向量n=(1,-,1),所以cos=,则二面角A-BD-C的平面角的正弦值为=.故选C.3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AB1BC1,则平面DBC1与平面CBC1所成的角为(B)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:设平面DBC1与平面C
5、BC1所成的角为.以A为坐标原点,的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系.设底面边长为2a,侧棱长为2b,则A(0, 0, 0),C(0, 2a, 0),D(0,a,0 ),B(a,a, 0),C1(0, 2a, 2b),B1(a,a,2b),则=(a,a,2b),=(-a,a,2b),=(a,0,0),=(0,a,2b).由AB1BC1,得=0,即2b2=a2.设n1=(x,y,z)为平面DBC1的法向量,则n1=0,n1=0,即令z=1,可得n1=(0,-,1).同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2=(1,0).则cos =,得=45.故选B.4.(2018浙江杭州考试)已知
6、ABC的顶点A平面,点B,C在平面同侧,且AB=2,AC=,若AB,AC与所成角分别为,则线段BC长度的取值范围为(B)(A)2-,1(B)1,(C),(D)1,解析:如图,过B,C作平面的垂线,垂足分别为M,N,则四边形BMNC为直角梯形.在平面BMNC内,过C作CEBM交BM于E.又BM=2sinBAM=2sin=,AM=2cos=1,CN=sinCAN=sin=,AN=cos=,所以BE=BM-CN=,故BC2=MN2+.又AN-AMMNAM+AN,也即是MN,所以1BC27即1BC,故选B.5.如图所示,等边ABC的边长为4,D为BC中点,沿AD把ADC折叠到ADC处,使二面角B-AD
7、-C为60,则折叠后二面角A-BC-D的正切值为.解析:由二面角的平面角的概念可知:BDC即为二面角B-AD-C的平面角,有BDC=60,所以BC=2,作DMBC于点M,连接AM,则AM为点A到直线BC的距离,二面角A-BC-D的平面角即为AMD.AD=2,DM=,所以AM=,然后利用三角函数的正切值得到结论为2.答案:2 考点一利用空间向量求距离【例1】 已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.解:建立如图空间直角坐标系,设AA1=h,则A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,
8、1,h).=(1,0,-h),=(0,1,-h),=(1,1,0).设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),因为所以即取z=1,得n=(h,h,1),所以点C到平面AB1D1的距离为d=,则h=2.即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为2. (1)如果能找到线段端点,距离直接利用两点间距离公式可求.(2)利用空间向量法求距离时需借助其他向量求解.考点二利用空间向量求二面角问题【例2】 如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的等边三角形,PCA=90,E,F分别为AP,AC的中点,且PA=4,BE=.(1)求证:AC平面BEF;(2)求二面角A-BP-C的余弦值.(1)证明:
9、因为PCA=90,所以PCAC.又因为点E,F分别是AP,AC的中点,所以EFPC,所以EFAC.在等边ABC中,由F为AC中点知BFAC,又因为BFEF=F,所以AC平面BEF.(2)解:如图,取BF中点G,连接EG.易知EF=BF=,又BE=,所以EGBF,易证EG平面ABC.如图建立空间直角坐标系Gxyz,则B(,0,0),E(0,0,),A(-,-1,0),C(-,1,0),P(,1,3).所以=(0,1,3),=(-,-1,0),所以平面ABP的法向量为n1=(,-3,1),因为=(0,1,3),=(-,1,0),所以平面CBP的法向量为n2=(,3,-1),所以cos=-,所以二面
10、角A-BP-C的余弦值为. 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF=AD,由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=AD,所以EFBC.四边形BCE
11、F为平行四边形,CEBF.又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解:由已知得BAAD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0),设M(x,y,z)(0x1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-),因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,=,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设=,则x=,y=1,z=-.由,解得(舍去) 所以M(1
12、-,1,),从而=(1-,1,).设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则即所以可取m=(0,-,2).于是cos=,因此二面角M-AB-D的余弦值为.考点三易错辨析【例3】 (2016浙江卷)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.(1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,平面BCFE平面ABC=BC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此,BFAC.又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,
13、所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解:如图,取BC的中点O,连接KO,则KOBC,又平面BCFE平面ABC,所以,KO平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0),E(,0,),F(-,0,).因此,=(0,3,0),=(1,3,),=(2,3,0).设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).由得取m=(,0,-1);由得取n=(3,-2,).于是cos=.所
14、以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为. (1)求二面角问题关键是空间直角坐标系的建立,建系方法的不同可能导致解题简繁程度不同.(2)对于建系完成后的点的坐标列出需要谨慎行之,因为所有的运算都围绕着点坐标进行,因此求点坐标的过程是解决问题关键之所在.(2018浙江杭州质检)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BAC=120,M为线段BC的中点,D为线段BC上一点,且BD=BA,沿直线AD将ADC翻折至ADC,使ACBD.(1)证明:平面AMC平面ABD;(2)求直线CD与平面ABD所成的角的正弦值.(1)证明:由题意知AMBD,又因为ACBD,所以BD平面AMC,因为BD平面ABD,所以
15、平面AMC平面ABD.(2)解:在平面ACM中,过C作CFAM交AM于点F,连接FD.由(1)知,CF平面ABD,所以CDF为直线CD与平面ABD所成的角.设AM=1,则AB=AC=2,BM=,MD=2-,DC=DC=2-2,AD=-.在RtCMD中,MC2=CD2-MD2=(2-2)2-(2-)2=9-4.设AF=x,在RtCFA中,AC2-AF2=MC2-MF2,即4-x2=(9-4)-(x-1)2,解得x=2-2,即AF=2-2.所以CF=2.故直线CD与平面ABD所成的角的正弦值等于=. 向量法解证线面位置关系及空间角【例题】 (2018浙江金华模拟)如图,在几何体ABCDE中,CDA
16、E,EAC=90,平面EACD平面ABC,CD=2EA=2,AB=AC=2,BC=2,F为BD的中点.(1)证明:EF平面ABC;(2)求直线AB与平面BDE所成角的正弦值.(1)证明:取BC中点G,连接FG,AG,又因为F为BD的中点,CD=2EA,CDAE,所以FG=CD=EA,且FGAE,所以四边形AGFE是平行四边形,所以EFAG,因为EF平面ABC,AG平面ABC,所以EF平面ABC.(2)解:因为EAC=90,平面EACD平面ABC,且交于AC,所以EA平面ABC,由(1)知FGAE,所以FG平面ABC,又因为AB=AC,G为BC中点,所以AGBC,所以GA,GB,GF两两垂直,如
17、图,以GA,GB,GF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,0),D(0,-,2),E(1,0,1),所以=(-1,0),=(0,-2,2),=(1,-,1),设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,得n=(0,1,),所以直线AB与平面BDE所成角的正弦值为=.规范要求:(1)证明线面平行的判定定理中对线的要求是“一内一外一平行”必不可少.(2)把关键点的坐标一一列出,利用数量积求法向量.温馨提示:空间直角坐标系的建立过程必须要有简短的证明过程以说明建系的合理性,这一过程不能少.【规范训练】 (2016温州十校联考)如图,四棱锥P-ABCD中,
18、底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为线段PD上一动点(不含端点),记=.(1)当=时,求证:直线PB平面ACE;(2)当平面PAC与平面ACE所成二面角的余弦值为时,求的值.(1)证明:当=时,点E为线段PD的中点,连接BD,交AC于点O,连接OE.因为在DPB中,点E,O分别为PD,BD的中点,所以OEPB.因为OE平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面ACE.(2)解:建立直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,4,0),D(0,4,0),=(0,0,2),=(2,4,0),因为=,所以E(0,4,2-2),设平面PAC的一个法
19、向量为n1=(x,y,z),则有即取x=2,则n1=(2,-1,0).同理可得平面AEC的一个法向量为n2=(2,-1,).所以|cos |=|=,解得=或=(舍去).所以=. 类型一求距离问题1.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别为三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则(D)(A)S1=S2=S3(B)S2=S1且S2S3(C)S3=S1且S3S2(D)S3=S2且S3S1解析:根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥D-ABC,显然S1=22=2,S2=S
20、3=2=.故选D.2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,1),B(-1,1,2),则线段AB的长度为.解析:根据两点间距离公式得|AB|=.答案:类型二求二面角问题3.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,且BC平面PAB,PAAB,M为PB的中点,PA=AD=2.若AB=1,则二面角B-AC-M的余弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为BC平面PAB,ADBC,所以AD平面PAB,所以PAAD,ADAB,又PAAB,所以以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,
21、0,2),B(0,1,0),M(0,1),所以=(2,1,0),=(0,1),求得平面AMC的一个法向量为n=(1,-2,1),又平面ABC的一个法向量=(0,0,2),所以cos= = = .所以二面角B-AC-M的余弦值为.故选A.4.如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E,F分别是AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于(A)(A)2(B)(C)(D)解析:设正方体的棱长为2,建立以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0),=(1,2,0),=(-1,0,1).
22、易知平面BCC1的一个法向量为=(0,-2,0),设平面EFC1B的法向量为m=(x,y,z),则m=x+2y=0,m=-x+z=0,令y=-1,则m=(2,-1,2),故cos=,tan=2.故所求二面角的正切值为2.故选A.5.在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E是BC的中点,把ABE,CDE分别沿AE,DE向上折起,使B,C重合于点P,则二面角PAED的大小为.解析:PA2+PD2=AD2,则由题意知PA,PD,PE两两垂直,以P为原点,PD,PE,PA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,平面PAE的法向量为n1=(1,0,0),平面AED中A(0,0,),E(0,1,0),D(,0,0), =(0,1,-),=(,0,-),设平面AED的法向量为n2=(x,y,z),则取n2=(1,1),cos=,所求二面角为60.答案:60
