1、习题课抛物线的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则此动圆必过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,0)解析如图,圆心C在抛物线上,设与直线x+2=0相切的切点为A,与x轴交点为M,由抛物线的定义可知,CA=CM=R,直线x+2=0为抛物线的准线,故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0).故选B.答案B2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线,则它被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-
2、2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案B3.若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=-4xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=8x解析设动圆圆心为O,半径为r,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),则|OF|=r+1,因为O到直线x+1=0的距离为r,所以O到直线x+2=0的距离为r+1,则动点O到定点(2,0)的距离等于到直线x+2=0的距离,故动点O的轨迹为抛物线,焦点为F(2,0),准线为x=-2,轨迹方程为y2=8x.故选D.答案D4.若直线y=kx-
3、2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列,则k=()A.2或-1B.-1C.2D.15解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-2,y2=8x,消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故=16(k+2)2-16k2=64(1+k)0,解得k-1,且x1+x2=4(k+2)k2.由|AF|=x1+p2=x1+2,|BF|=x2+p2=x2+2,且|AF|,4,|BF|成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又k-1,故k=2,故选C.答案C5.设M(x0,y0)
4、为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)解析圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|4即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+).答案C6.焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|=.解析由条件知|MF|=|MN|=p,MFMN,在MNF中,FMN=90,得|FN|=2p.答案2p7.若P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴的距离和到点A(2
5、,3)的距离之和的最小值等于.解析易知点A在抛物线外.点P到x=-1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和为点P到焦点F(1,0)的距离和到点A(2,3)的距离之和减1.当且仅当A,P,F三点共线(点P在线段AF上)时,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和最小,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值为|AF|-1=10-1.答案10-18.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且AOB的面积为16,则AOB等于.解析由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称.设A-a,a24,Ba,a24
6、,a0,则SAOB=122aa24=16,解得a=4.所以AOB为等腰直角三角形,AOB=90.答案909.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若|AF|=4,求点A的坐标;(2)若直线l的倾斜角为45,求线段AB的长.解由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+p2,从而x1=4-1=3,代入y2=4x,解得y1=23.点A的坐标为(3,23)或(3,-23).(2)直线l的方程为y-0=tan45(x-1),即y=x-1.与抛物线方程联立,得y=x-1
7、,y2=4x,整理得x2-6x+1=0,x1+x2=6.由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=6+2=8,线段AB的长是8.10.动圆P与直线x=-1相切,点F(1,0)在动圆上.(1)求圆心P的轨迹Q的方程;(2)过点F作曲线Q的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN必过定点.(1)解设P(x,y),根据题意,有(x-1)2+y2=x+1,化简,得y2=4x,即圆心P的轨迹Q的方程为y2=4x.(2)证明由题意,知直线AB的斜率存在且不为0.设直线lAB:y=k(x-1),A(xA,yA),B(xB,yB),代入y2=4x,得k2x2-2(k2+2
8、)x+k2=0,所以xA+xB=2(k2+2)k2.因为M是线段AB的中点,所以Mk2+2k2,2k.因为ABCD,所以将点M坐标中的k换成-1k,即得N(2k2+1,-2k).当k2+2k2=2k2+1,即k=1时,直线lMN:x=3;当k1时,直线lMN:y+2k=-2k-2k2k2+1-k2+2k2(x-2k2-1).整理,得(1-k2)y=k(x-3),所以直线MN过定点(3,0).综上所述,不论k为何值,直线MN必过定点(3,0).能力提升1.已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,则过F作倾斜角为的直线分别交抛物线于A,B(点A在x轴上方)两点,若|
9、AF|BF|=3,则的值为()A.30B.120C.60D.60或120解析依题意,F(1,0)是抛物线y2=2px(p0)的焦点,故p2=1,则p=2,y2=4x.根据已知条件如图所示,A在x轴上方,倾斜角是锐角,分别过A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,过B作AA1的垂线,垂足为P,设|BF|=x,|AF|=3x,根据抛物线的定义知|BB1|=x,|AA1|=3x,所以直角梯形AA1B1B中,|A1P|=x,|AP|=|AA1|-|A1P|=2x,|AB|=4x,又直线AB的倾斜角=AFx=BAP,故cos=cosBAP=|AP|AB|=2x4x=12,又是锐角,故=60.故选C.答案C
10、2.已知A(3,2),若点P是抛物线y2=8x上任意一点,点Q是圆(x-2)2+y2=1上任意一点,则|PA|+|PQ|的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析如图,抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线l的方程x=-2,圆(x-2)2+y2=1的圆心为F(2,0),半径r=1,过点P作PB垂直准线l,垂足为B,由抛物线的定义可知|PB|=|PF|,则|PA|+|PQ|PA|+|PF|-r=|PA|+|PB|-1,当A,P,B三点共线时|PA|+|PB|取最小值3+2=5,|PA|+|PQ|PA|+|PB|-15-1=4.即有|PA|+|PQ|取得最小值4,故选B.答案B3.设F为抛物线y
11、2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=.解析由y2=4x得F(1,0),准线方程为x=-1.又FA+FB+FC=0,可知F是ABC的重心,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),所以x1+x2+x33=1,即x1+x2+x3=3.由抛物线定义可得|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,|FC|=x3+1,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+3=3+3=6.答案64.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是.解析设A(x1,y1),B(x2
12、,y2),则x1x2+y1y2=-4.当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x00),则x02-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由y=kx+b,y2=4x,得ky2-4y+4b=0,得y1y2=4bk,则x1x2=y12y2216=b2k2,得b2k2+4bk=-4,所以bk=-2,有b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0).答案(2,0)5.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(2,m)到焦点F的距离为3,直线l:y=x-1与抛物线C交
13、于A,B两点,O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)求AOB的面积S.解(1)抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且过一点P(2,m),所以可设抛物线的方程为y2=2px(p0),因为P(2,m)到焦点的距离为3,即2+p2=3,解得p=2,即抛物线的标准方程为y2=4x.(2)联立方程y=x-1,y2=4x,化简,得x2-6x+1=0.设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=6,x1x2=1,可得|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=262-4=8,点O到直线l的距离d=|-1|2=22,所以AOB的面积为S=12|AB|d=12822=22.
14、6.(选做题)设抛物线C:x2=2py(0p0,x1+x2=4k,x1x2=-8.kQN=y2-y1x2+x1=x224-x124x2+x1=x2-x14,直线QN方程为y-y1=x2-x14(x+x1),即y=y1+x2-x14(x+x1)=x2-x14x+x1(x2-x1)4+x124=x2-x14x+x1x24,x1x2=-8,QN方程为y=x2-x14x-2,即直线QN方程恒过定点(0,-2).(方法二)依题意知直线QN的斜率存在且不为0,设直线QN的方程为y=kx+b,Q(x1,y1),N(x2,y2),则M(-x1,y1),联立x2=4y,y=kx+b,消去y得x2-4kx-4b=0.Q,N是抛物线C上不同两点,必有0,x1+x2=4k,x1x2=-4b.M,A,N点共线,AM=(-x1,y1-2),AN=(x2,y2-2),-x1(y2-2)-x2(y1-2)=0.-x1(kx2+b-2)-x2(kx1+b-2)=0,2kx1x2+(b-2)(x1+x2)=0,即2k(-4b)+(b-2)4k=0,化简得kb+2k=0.k0,b=-2.直线QN方程为y=kx-2,直线QN恒过定点(0,-2).