1、重庆市凤鸣山中学20202021学年度下期半期高 2022 级 数学 试题考试说明: 1.考试时间: 120 分钟；2.试题总分 150 分；3.试卷页数 4 页一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数z满足，则z的虚部为（ ）A2 B C D25人一起见面，每两人握一次手，则一共握手的次数为（ ）A B C D253 已知随机变量的分布列为，则实数m（ ）A. B. C. D. 4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD=,AA1=，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）A1414 B66 C1313 D13
2、5已知，则（ ）A. 63B. 64C. 31D. 326有4本不同的书A、B、C、D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A、B不能分给同一人，则这样的分法共有（ ）A18种 B24种 C30种 D36种7椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，则OPPF的取值范围为A. (-16,-10)B. (-10,-394C. (-16,-394D. (-,-3948已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若，则的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题
3、共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ）A BC若，则z为实数 D和z在复平面内对应的点关于虚轴对称10设离散型随机变量X的分布列如下表：X12345Pm0.10.2n0.3若离散型随机变量Y=-3X+1，且EX=3，则( )A、m=0.1 B. n=0.1 C. EY=-8 D. DY=-711若，则（ ）A BC D12已知函数f(x)=ax3+x2+axex，则( )A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0
4、，则函数f(x)的单调递减区间为(-,0)(2,+)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1f(x)在(0,+)上恒成立，则实数a的取值范围为(-,e-12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若a为实数，且为纯虚数，设i是虚数单位，则_14的展开式的常数项为_157人站成一排，甲站正中间，且乙、丙不相邻，一共的站法数有_种（最后结果必须写成数字）16已知fx=x3+2x，gx=e2x,x0lnx+12,x0，若函数y=fgx+m(m为实数)有两个不同的零点x1，x2，且x1x2，则x2-x1的最小值为_四、解答题：本题共6小题，第17小题10分
5、，其余小题每题12分，共70分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设函数fx=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值(1)求a,b的值；(2)若对于任意的x0,3，都有fxc2成立，求c的取值范围18（本小题满分12分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分现从盒内任取3个球()求取出的3个球中至少有一个红球的概率；()求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；()设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望19（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面
6、ABCD，底面ABCD是正方形，E为PC上一点，当F为DC的中点时，EF平行于平面PAD.（）求证：平面PCB；（）求二面角的余弦值.20（本小题满分12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后
7、，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？21（本小题满分12分） 已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A，B 两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说
8、明理由22（本小题满分12分）已知函数在处的切线为x轴（1）求实数a，b的值；（2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围重庆市凤鸣山中学20202021学年度下期半期高 2022 级 数学 试题数学参考答案一、单选题：1解析 ，所以z的虚部为答案：B2答案：A3【答案】C【详解】随机变量的分布列为解得实数故选：C4答案：B5【答案】A【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知所以所以则故选:A6解析 4本不同的书分给三个同学，共有，书A、B分给同一人有，所以共有种答案：C7【答案】C解：椭圆C的右焦点为F(3,0)，即c=3，又2a、2b和2c成等差数列，即4b=2a+6，又a2=
9、b2+c2，由联立解得：a=5，b=4，椭圆的标准方程为：x225+y216=1，设P(x,y)，则OP=(x,y)，PF=(3-x,-y)，OPPF=(x,y)(3-x,-y)=3x-(x2+y2)将x225+y216=1代入得：OPPF=-9x225+3x-16=-925(x-256)2-394，又P在椭圆C上且在第一象限，即0x5，OPPF=-925(x-256)2-394(-16,-394,故选C8【答案】D【详解】构造函数g（x），g（x），xf（x）f（x）0，g（x）0，函数g（x）在（0，+）单调递减函数f（x）为奇函数，g（x）是偶函数，cg（3）g（3），ag（e），bg（
10、ln2），g（3）g（e）g（ln2），cab，故选D二、多选题9解析 ，A正确；共轭复数的模相等，B正确；和z在复平面内对应的点关于实轴对称，D错误；，C正确答案：ABC10【答案】BC解：由E(X)=1m+20.1+30.2+4n+50.3=3得m+4n=0.7，又由m+0.1+0.2+n+0.3=1得m+n=0.4，从而得m=0.3，n=0.1，故A选项错误，B选项正确；E(Y)=-3E(X)+1=-8，故C选项正确；因为D(X)=0.3(1-3)2+0.1(2-3)2+0.1(4-3)2+0.3(5-3)2=2.6，所以D(Y)=(-3)2D(X)=23.4，故D选项错误，故选BC11
11、解析 ，故令，可得，故A正确令，可得，令，可得，两式相减除以2，可得，故B错误令，可知C正确令，可得，故，故D正确答案：ACD12、【答案】ACD解：依题意，f(x)=-ax3+(3a-1)x2+(2-a)x+aex，故f(0)=a=5，故A正确;当a=0时，f(x)=x2ex，f(x)=2x-x2ex=(2-x)xex，令f(x)0，得x2则函数f(x)的单调递减区间为(-,0)，(2,+)，单调递增区间为(0,2)，故B错误，C正确;对于D，当x(0,+)，x2+1f(x)恒成立，故a(x2+1)ex-x2x3+x=exx-xx2+1恒成立，令g(x)=exx-xx2+1，x0，故ag(x
12、)min，而g(x)=ex(x-1)x2-1-x2(x2+1)2=(x-1)exx2+x+1(x2+1)2，令g(x)=0，得x=1，故当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增，故ag(1)=e-12，即实数a的取值范围为(-,e-12，故D正确故选ACD三、填空题：13答案：解析 为纯虚数，则14答案：15解析 为常数项，常数项为1515答案：528解析 首先甲站正中间位置，乙、丙在甲的同侧有种，乙、丙在甲的异侧有种，所以共有528种16【答案】1+12ln2解：f(x)=x3+2x，求导f(x)=3x2+20，f(x)在R上单调递增函数y=f(g(x)+m有两个不同零点，等价于方程f
13、(g(x)+m=0有两个不等实根设g(x)=t，则f(t)=-m，又f(x)在R上单调递增，作出函数g(x)的图象，则问题转化为g(x)=t在t(0,1上有两个不同的实根x1，x2，x10，h(t)在t(0,1上单调递增，且h(12)=0，由零点存在性定理知，h(t)=0在t(0,1上有唯一零点，故h(t)在(0,12)上单调递减，在(12,1)上单调递增，所以h(t)min=h(12)=1+12ln2.故答案为1+12ln2.四、解答题17（本小题满分10分）【答案】解：(1)fx=6x2+6ax+3b，因为函数fx在x=1及x=2取得极值，则有f1=0，f2=0即6+6a+3b=024+1
14、2a+3b=0解得a=-3，b=4(2)由(1)可知，fx=2x3-9x2+12x+8c，fx=6x2-18x+12=6x-1x-2当x0,1时，fx0；当x1,2时，fx0所以，当x=1时，fx取得极大值f1=5+8c，又f0=8c，f3=9+8c则当x0,3时，fx的最大值为f3=9+8c因为对于任意的x0,3，有fxc2恒成立，所以9+8cc2，解得c9，因此c的取值范围为-,-19,+18（本小题满分12分）解：()取出的3个球中至少有一个红球的概率：P=1-C73C93=712；()记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“；取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B+C)=P
15、(B)+P(C)=C21C32C93+C22C41C93=542；()可能的取值为0，1，2，3，P(=0)=C63C93=521，P(=1)=C31C62C93=4584，P(=2)=C32C61C93=314，P(=3)=C33C93=184，的分布列为：0123P5214584314184的数学期望E=0521+14584+2314+3184=119（本小题满分12分）【答案】（）证明见解析；（）【详解】（）证：平面，又正方形中，平面，又平面，当为的中点时，平行平面，所以是的中点，平面；（）解：以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则
16、，令，得到，；又，且平面，平面的一个法向量为；设二面角的平面角为，由图可知角为锐角，则，二面角的余弦值为20（本小题满分12分）【答案】(1) (2)第一种抽奖方案【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖
17、方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）.即，所以该超市应选择第一种抽奖方案21（本小题满分12分）【答案】（1）；（2）直线过定点【详解】（1）由题，所以椭圆的标准方程为（2）由题设直线：，联立直线方程和椭圆方程，得，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，整理得或，又当时，直线过椭圆右定点，此时直线与直线不可能垂直，直线过定点22（本小题满分12分）解析 （1）定义域，由题意，则 （2分） （3分）有则 （5分）（2）法一：对恒成立，即，则记，则 （6分）当时，则，从而在上单调递减，恒成立，即不等式对任意恒成立 （8分）当时，在时有，故不合题意； （10分）当时，可以证明对恒成立，则，有，当时，故不符合题意 （12分）综上：法二：不等式对任意恒成立，取，则得到，可得，等价于，记，则，对称轴为，当，即时，在单调递减，则，成立当，即时，使得，即时；故在单调递增，在单调递减，则，成立，但是当，在单调递减，特别地x取较大的数时，取，则不满足题意即，舍去综上：
