1、20202021学年度下学期期末质量检测高一数学试卷（文科）本试卷分为第I卷（选择题)和第II卷（非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2请将答案正确填写在答题卡指定位置处，写在试卷上无效。 第I卷（选择题共60分)一、单选题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）1已知，下列不等式一定成立的是（ ）ABCD2已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则3已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）ABCD4已知实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C
2、 D5一个长方体的平面展开图如图所示，其中，点为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（ ）A B C D6故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为，冬至前后正午太阳高度角约为图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度（单位：米）约为（ ）A B4 C3 D第7题图第6题图7在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点(不包括两个端点)，为线段的中点现有以下结论：与是异面直线；过，三点的正方体的截面是等腰梯形；平面平面；平面.其中正确结
3、论的个数是（ ）ABCD8已知直线与直线分别过定点，B，且交于点，则的最大值是（ ）A10 B5C8 D9鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图是一种方鼎，图是根据图绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台是鼎中盛烹煮物的部分，四边形是矩形，其中，点到平面的距离为，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（ ）（假定烹煮的食物全在四棱台内）ABCD10已知在锐角三角形中，角，所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）ABCD11已知圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D12已知数列满足，且对任意，数列的前项和为，则的整数部分
4、是（ ）A2021B2022C2023D2024第II卷（非选择题共90分)二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13已知直线与圆相交于、两点，若，则的值为_.14已知正实数，满足，则的最小值为_15已知数列的前项和为，若，则_16拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心，分别为正，正，正的中心现已知，的面积为，则的面积为
5、_.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，1822题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17（本小题满分10分）设x，y满足约束条件.（1） 在如图所示的网格（单位长度为1）中画出不等式组表示的平面区域；（2）若目标函数的最大值为1，求的的最小值.18（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形为菱形.（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积.19（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且满足（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和20（本小题满分12分）数学家欧拉在1765年提出：三角形的重心、外心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的
6、欧拉线，若的顶点，且的欧拉线的方程为.（注：如果三个顶点坐标分别为，则重心的坐标是.）（1）求外心（外接圆圆心）的坐标；（2）求顶点的坐标.21（本小题满分12分）DCBA如图，设中角所对的边分别为，为边上的中线，已知，（1）求边的长度；（2）求的面积22（本小题满分12分）已知圆C经过三点.（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，记点M的轨迹为.求的方程；试探究：在直线上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.数学（文科）答案1-5 DCADB 6-10 ACADC 11-12 DB13
7、. 14. 10 15. 16.17解：（1）画出约束条件表示的平面区域，如图阴影四边形所示；4分（2）由题意知，由，解得，即；目标函数经过可行域上的点C时取得最大值1，即；6分所以，当且仅当时取等号；所以的最小值为4.10分18（1）因为平面平面，平面平面，又，平面，所以平面，又平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，而，且平面，所以平面. 5分（2）如图所示：过作，垂足为D，则D为中点，因为平面平面，平面平面，又，平面，所以平面. 8分因为，所以，由，所以.12分（本题解法较多答案不唯一，仅供参考，其它解法酌情给分）19（1）由已知条件可知，对任意的，.当时，解得；2分当时，由可得，上述两式
8、作差得，即，即 4分由已知条件可知，所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此， 6分（2）由（1）可知，则 9分因此.12分20（1）三角形外心是三边中垂线的交点，由已知条件知顶点，则中点坐标为，所以边上的中垂线方程为，化简得2分又因为三角形的外心在欧拉线上，联立 ，解得，所以外心的坐标为；5分（2）设，则的重心坐标为，由题意可知重心在欧拉线上，故满足，化简得7分由（1）得外心的坐标为，则，即，整理得9分联立，解得或，当，时，点与点重合，故舍去，所以顶点的坐标为.12分21（1）由条件，可得：，即，化简可得：，因为，所以5分（2）因为为中点，所以，设，由得 7分又，所以，化简可得：解得或 10分又，所以，则，所以的面积为12分（本题解法较多答案不唯一，仅供参考，其它解法酌情给分）22（1）设圆C的方程为，将三点分别代入得， 解得， 所以圆C的方程为3分（2）设，则：， ，点A在圆C上运动，即：，所以点M的轨迹方程为，7分假设存在一点满足(其中为常数)，设，则：，整理化简得：，P在轨迹上，化简得： 9分所以，整理得，解得：；存在满足题目条件12分（本题解法较多答案不唯一，仅供参考，其它解法酌情给分）
