1、数学（理）第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则（ ）A. B. 1C. D. 3【答案】B【解析】【分析】复数的共轭复数是，复数除法运算是将分母实数化，即【详解】，.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.2.设集合，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，说明集合没有公共元素，借助于数轴列式计算【详解】因为，所以，解得或.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.若曲线关于点对称，
2、则（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】正弦函数的对称中心是，由“五点法”作图得，将代入【详解】因为曲线关于点对称，所以，又，所以时，时.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.4.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】比较两个数或式子的大小，可以用不等式的性质，如，则【详解】，.，B一定成立.【点睛】本题考查指数、对数函数与不等式交汇，考查逻辑推理的核心素养.5.如图，是圆的一条直径，是半圆弧的两个三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题是用当基底向量，来表示，所以先在
3、中根据向量减法的三角形法则，用表示，再探究、的线性关系即可【详解】因为，是半圆弧的两个三等分点，所以，且，所以.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）A.
4、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，利用三角函数的定义得到，再由二倍角公式得到，进而用诱导公式，由求解.【详解】由题意可得：，且，所以，所以，故选：C【点睛】本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要求函数的最大值，可先分别探究函数与的单调性，从而得到的最大值【详解】易知在上单调递增，上单调递增.因为，所以的取值范围为.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.8.如图，圆的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正
5、方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆经过点，则圆的半径为（ ）A. B. 8C. D. 10【答案】A【解析】【分析】题中的网格，相当于给出了点的坐标，由此可求出直线的方程、切点的坐标；要求圆的半径，可考虑求出圆心坐标，这样圆心与点之间的距离即是半径【详解】由图可知，直线与圆切于点，即圆经过点，又圆经过点，所以圆的圆心在直线上.又直线过点，所以直线的斜率，因为直线与圆切于点，所以圆心在直线，即上.联立得圆的圆心为，则圆的半径为.【点睛】本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法.圆心的性质：圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线与切线垂直（）9.函数的图象大致为（ ）
6、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，排除A，当时，排除C，故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。10.2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75元.若
7、将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为（ ）A. 20.5B. 21元C. 21.5元D. 22元【答案】B【解析】【分析】要求每名老党员需要支付的照片费用，需求出照片的总费用，为此又需求出照片的总数，根据排列组合知识可求出照片的总数【详解】利用捆绑法可求得照片的总数为，则每名老党员需要支付的照片费为元.【点睛】本题考查排列组合的应用，考查应用意识与解决实际问题的能力.11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：EFG为正三角形；异面直线A1G与C1F所成角为60；AC平面EFG.其中所
8、有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式、异面直线的夹角的求法、线面平行的判断方法，对三个结论逐一分析，由此确定正确选项.【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为：则，所以三角形是在三角形，正确.，所以，设异面直线与所成角为，则，所以，错误.，设平面的法向量为，则，令，得，所以，由于，所以错误.综上所述，正确的命题序号为.故选：A【点睛】本小题主要考查空间两点间的距离、线线角的求法，线面平行的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.函数在区间上的零点个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D.
9、5【答案】C【解析】【分析】令，得，在坐标系中分别作出函数，的图像，则两个图像的交点个数即的零点个数【详解】令，得.设，.当时，；当时，；当时，.所以的极小值为，极大值为，又，且在，上单调递增，在，上单调递减.结合这两个函数的图象，可知这两个函数的图象共有4个交点，从而上共有4个零点.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想.函数的零点方程的实数根函数的图像与轴交点的横坐标；常用解题方法有：直接作函数的图像，直接解方程，分离参变量，分离函数（如本题：令得到，两个函数）第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上
10、.13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为_.【答案】0.42【解析】【分析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解【详解】题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0.7，则恰有1次发生的概率为.【点睛】本题考查独立重复试验，考查应用意识与数学抽象的核心素养.14.设，分别为内角，的对边.已知，则_.【答案】2【解析】【分析】要求的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算【详解】因为
11、， 所以，所以.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.15.以椭圆在轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为_；此双曲线的渐近线方程为_【答案】 (1). (2). 和【解析】【分析】根据椭圆的方程可得到双曲线的焦点和顶点坐标，得到，求出即可写出方程，根据方程直接写出渐近线.【详解】由椭圆可知，双曲线的焦点为，双曲线顶点为，故双曲线的方程为，渐近线方程为和故答案为：；和【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，双曲线的标准方程，双曲线的渐近线，属于中档题.16.已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，若，则双曲线的离心率为_.【答案】或【解析】【分析】解
12、出点的坐标，用两点间距离公式求出，化简整理出的关系式，从而求得离心率【详解】若渐近线的方程为，则点的坐标为.因为，所以，则，所以，从而.若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在公差d等差数列中，且.（1）求的通项公式；（2）若，成等差数列，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，或，再由等差数列的通项公式可得所
13、求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求，求得，再由裂项相消求和即可得解【详解】解：（1），且，或当时，；当时，. （2），成等比数列，即，化为或，由（1）可得，则，故.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题18.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，D为AB的中点，为等腰三角形，ACB，ABB1，且ABB1C.（1）证明：CD平面ABB1A1 ；（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)推导出CDAB,连结B1D,设A
14、B=2a,推导出CDB1D,由此能证明CD平面ABB1A1；(2)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出CD与平面所成角的正弦值.【详解】证明：因为D为AB的中点，所以连接，设，因为四边形为菱形，D为AB的中点，所以，又为等腰直角三角形，所以，所以，则D.因为，所以平面（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则0，0，所以，设平面的法向量为y，则，即，令，得设CD与平面所成角为，因为，所以所以，即CD与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，考查利用空间向量求线面角，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题19.为提高产品质量，某企业质
15、量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望.【答案】（1），82.5；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质，即可解得的值，再利用中位数的计算，求得综合评分的中位数；（2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为，得出所抽取
16、的产品为一等品的【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得.令中位数为x，则，解得，所以综合评分的中位数为82.5.（2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为，即概率为0.6，设所抽取的产品为一等品的个数为X，则，所以，.所以X的分布列为X0123P所抽取的产品为一等品的数学期望.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质及应用，以及二项分布的求解及数学期望的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及计算能力，属于基础题.20.已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线的准线经过C的左焦点F.（1）求C与M的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与M交于P，Q两点，直线FP，FQ与M
17、分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明:直线DE的斜率为定值.【答案】（1）C：，M：（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，的值，运用，求得，可得椭圆的方程，由的准线经过点，求得，即可得解的方程；（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，设，运用韦达定理得之间的关系，再联立直线与抛物线的方程解得的坐标，同理可得出的坐标，代入两点间斜率计算公式即可得结果.【详解】（1）由题意，得，所以，所以，所以C的方程为，所以，由于M的准线经过点F，所以，所以，故M的方程为. （2）证明:由题意知，l的斜率存在，故设直线l的方程为，由，得.设，则，即且，.又直线FP的方程为，由，得，所
18、以，所以，从而D的坐标为.同理可得E的坐标为，所以为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的顶点和焦点坐标，考查直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论的单调性.（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；的取值范围为.【解析】【分析】（1），所以得，所以通过对与的大小关系进行分类讨论得的单调性；(2)假设存在满足题意的值，由题意需，所以由(1)的单调性求即可；又因为对恒成立，所以可以考虑从区间内任取一个值代入，解出的取值范围，从
19、而将的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1），.当时，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. （2）假设存在，使得对恒成立.则，即，设，则存在，使得， 因为，所以在上单调递增，因为，所以时即. 又因为对恒成立时，需，所以由（1）得：当时，在上单调递增，所以，且成立，从而满足题意. 当时，在上单调递减，在，上单调递增，所以所以（*）设，则在上单调递增，因为， 所以的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为，所以即.综上，存在，使得对恒成立，且的取值范围为.【点睛】求可导函数的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）
20、求；（3）讨论的零点是否存在；若的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断在每个区间内的正负号，得的单调区间.当在区间上恒成立时，需.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知为锐角，直线与曲线的交点为（异于极点），与曲线的交点为，若，求的直角坐标方程.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】(1)先消去参数，得到曲线的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直
21、线是过原点的，所以求出的斜率或的值即可写出的方程.【详解】解：（1）由题意知曲线的直角坐标方程为， 即， 所以，即，故曲线的极坐标方程为.（2）因为曲线的极坐标方程为，所以，将代入，得因为曲线的极坐标方程为，所以 所以， 则，故直角坐标方程为【点睛】设为平面上一点，其直角坐标为，极坐标为，则，23.已知，为正数，且满足.（1）证明：.（2）证明：.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；【解析】【分析】(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明【详解】证明：（1）因为，为正数，所以，同理可得，所以， 当且仅当时，等号成立故. （2）要证，只需证 即证，即证，即证. 因为， 所以， 当且仅当，时，等号成立，从而得证.【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口