1、2011高考抢分必备数学专题四三角函数与平面向量【选题理由】：主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等. 随着新课标教材在全国各省市的推广应用，高考也会按照大纲要求对三角函数与反三角函数的考查在难度上有所降低，但仍然注重对其基本概念、基本公式
2、、三角函数的基本性质的应用和基本计算、推理能力的考查。分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质
3、.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.【押题1】如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为A、 B、 C、 D、 【押题指数】【解析】 函数的图象关于点中心对称， 由此易得故选C【方法与技巧】该题考查了三角函数的图象和性质，对于三角函数图象的对称问题，要注意五点作图法中的五个基本点的坐标和整体思想的运用【押题2】将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A、 B、 C、 D、【押题指数】【解析】将函数的图象按向量平移，即向左平移，根据“左加右减”的平移规律，平
4、移后的图象所对应的解析式为，由图象知，所以，因此选C【方法与技巧】把按照向量平移转化为方向平移，再利用函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”来解决问题【押题3】已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（）求的解析式；（）当，求的值域【押题4】已知，且（）求的值；（）求【押题指数】【解析】（）由，得于是（）由，得又，由，得 【方法与技巧】给角求值问题，这类问题要找非特殊角之间、非特殊角和特殊角之间的联系，化简中尽量减少角的个数、三角函数的名称，降低三角函数的次数.给值求角问题.有一个三角函数值利用平方关系求另一个三角函数值时，一定要根据角的范围确定开
5、方后的符号.给值求角问题，要合理选择该角的某一三角函数，在该范围内三角函数是单调的，根据已知三角函数值，尽量缩小角的范围.【押题5】已知向量，且，（）求函数的表达式；（）若，求的最大值与最小值【押题指数】【解析】（），又，所以，所以，即； （）由(1)可得，令导数，解得，列表如下：t1(1，1)1(1，3)导数00+极大值递减极小值递增而所以【方法与技巧】本题以三角函数和平面向量为载体，将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通考查了方程和函数思想，高考命题对思想方法的考查越来越得到重视【押题6】在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处
6、有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C（）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由【押题指数】【解析】（）如图，AB=40，AC=10，由于，所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）（） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）， C（x1，y2），BC与x轴的交点为D由题设有，x1=y1= AB=40，x2=ACcos，y
7、2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=，直线l的方程为y=2x-40又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域【方法与技巧】三角函数在实际问题中有很多的应用，随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题的应用将分是一个热点【押题7】已知函数（）将写成含的形式，并求其对称中心；（）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数的值域。【押题指数】【解析】（），令得，即对称中心为（）由b2=ac，所以，此时，所以，所以，即值域为。【方法与技巧】三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中
8、的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。【押题8】已知函数的图像过点，且b0，又的最大值为，（）求函数 的解析式；（）由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。【押题指数】【解析】（），由题意，可得，解得，所以；（），将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。【方法与技巧】本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想.解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用.【押题9】已知，的值.【
9、押题指数】【解析】 又于是 【方法与技巧】此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。【押题10】在ABC中，已知（）求证：a、b、c成等差数列；（）求角B的取值范围。【押题指数】【解析】（1）条件等式降次化简得（2）B的取值范围【方法与技巧】本题将三角函数、等比数列知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理.这样一道题涵盖了三角函数部分的大部
10、分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考查综合数学素养的要求.【押题10】已知向量与互相垂直，其中()求和的值；()若，求的值【押题指数】【解析】()与互相垂直则，即，代入得，又，()，则，【方法与技巧】该题以向量为载体考查了三角函数的基本运算性质和向量的数量积三角函数与平面向量的综合题在近几年的高考题中经常出现，难度不大，考题灵活多变，形式新颖，较好的考查了这两部分的基本知识和基本方法【押题12】设函数f(x)=sin(2x+),(-2说明直线和f(x)的图象不能相切. 本题第()()问
11、是三角函数中最基本的问题，第()问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的备选题【押题1】已知f (x) = sinx + sin()若，且的值；()若，求f (x)的单调递增区间【押题指数】【解析】() sin0，f () = sin+ cos1分 又sin2= = 2sincos0 ，sin+ cos03分 由(sin+ cos)2 = 1 + 2sincos=sin+ cos= f () =7分()由（1）知f (x) =，当2k时，f (x)是单调递增的9分 ，又0x 11分f (x)的单调递增区间为0，12分OxyBAC【押题2】如图是单位
12、圆上的动点，且分别在第一,二象限. 是圆与轴正半轴的交点，为正三角形. 若点的坐标为. 记()若点的坐标为,求的值；()求的取值范围. 【押题指数】【解析】()因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知，得，.3分所以.6分()因为三角形AOB为正三角形，所以所以=.8分所以=.10分 , ,即.12分.14分【押题3】在中，角、的对边分别为、，且，（）求角；（）设，求边的大小【押题指数】【解析】（），则得：，=，4分（）由，知为锐角，所以5分+8分由正弦定理得：10分【押题4】已知函数的图象中相邻两条对称轴间的距离为且点是它的一个对称中心. （）求的表达式；（）若在（0，）上是单调递减函数，求的
13、最大值.【押题指数】【解析】（）由题意得的最小正周期为 -3分又是它的一个对称中心， -2分-2分（）因为，-2分所以欲满足条件，必须 -3分 即a的最大值为-2分【押题5】已知函数的最小正周期为，且当时，函数有最小值，（）求 的解析式；（）求的单调递增区间。【押题指数】【解析】（） ，由题意，当时，不是最小值。当时，是最小值。所以；（）当，即时，函数单调递增。【押题6】已知定义在R上的函数的最小正周期为，。（）写出函数 的解析式；（）写出函数 的单调递增区间；（）说明的图像如何由函数的图像变换而来。【押题指数】【解析】（），由题意，代入，有，所以；（）当，函数单调增；（）将函数的图像向左平移
14、单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数的图像。【押题7】已知函数，（）求的最大值和最小值；（）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围【押题指数】【解析】（） 又，即，（），且，即的取值范围是ABCDP【押题8】长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4万米，BC = 6万米，CD = 2万米（）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整
15、，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值【押题指数】【解析】（）因为四边形ABCD内接于圆，所以ABC +ADC = 180，连接AC，由余弦定理：AC2 = 42 + 62 246cosABC = 42 + 22 224 cosADC所以cosABC =，ABC(0，)，故ABC = 60S四边形ABCD = 46sin60+24sin120= 8（万平方米）4分在ABC中，由余弦定理：AC2 = AB2 + BC 2 2ABBCcosABC = 16 + 36 246 AC = 6分由正弦定理，（万米）8分（）S四
16、边形APCD = SADC + SAPC又SADC = ADCDsin120= 2，设AP = x， CP = y则SAPC = 10分又由余弦定理AC2 = x2 + y2 2xy cos60= x2 + y2 xy= 28x2 + y2 xy2xy xy = xyxy28 当且仅当x = y时取等号12分S四边形APCD = 2+ 最大面积为9万平方米13分【押题9】已知，且函数，是的导函数.（）求函数的最大值和最小正周期；（）若，求的值【押题指数】【解析】（）， 时， 最小正周期为 （）， ，即= 【押题10】把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移m(m0)个单位，所得函数的图象关于直线x=对称. （）求m的最小值；（）证明当x(, )时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；（）设x1,x2(0,),x1x2,且f(x1)=f(x2)=1,求x1+x2的值.
