1、第五节数列的综合问题全盘巩固1已知各项均不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8()A2 B4 C8 D16解析：选D因为an为等差数列，所以a3a112a7，所以已知等式可化为4a7a0，解得a74或a70(舍去)，又bn为等比数列，所以b6b8ba16.2已知等比数列an中的各项都是正数，且5a1，a3,4a2成等差数列，则()A1 B1 C52n D52n1解析：选C设等比数列an的公比为q(q0)，则依题意有a35a14a2，即a1q25a14a1q，q24q50，解得q1或q5.又q0，因此q5，所以q2n52n.3在直角坐标系中，O是
2、坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是()A1 B2 C3 D4解析：选A根据等差、等比数列的性质，可知x12，x23，y12，y24.P1(2,2)，P2(3,4)SOP1P21.4已知函数yloga(x1)3(a0，a1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项，若bn，数列bn的前n项和为Tn，则T10等于()A. B. C. D.解析：选B由yloga(x1)3恒过定点(2,3)，即a22，a33，又an为等差数列，ann，nN*.bn，T101.5(
3、2014宁波模拟)已知数列an满足a10，an1an21，则a13()A143 B156 C168 D195解析：选C由an1an21，可知an11an121(1)2，即1，故数列是公差为1的等差数列，所以1213，则a13168.6已知数列an满足a11，a22，an2ansin2，则该数列的前18项之和为()A2 101 B1 067 C1 012 D2 012解析：选B当n为正奇数时，an2(10)an1an1；当n为正偶数时，an2(11)an02an.an是奇数项为等差数列，偶数项为等比数列的一个数列an的前18项和为1 067.7(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵
4、，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：由题意知第n天植树2n棵，则前n天共植树2222n(2n12)棵，令2n12100，则2n1102，又2512664,26127128，n6.n的最小值为6.答案：68数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为_解析：由题意知aa1a7，即(a12d)2a1(a16d)，a12d，等比数列bn的公比q2.答案：29(2014台州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且，S7S415，则Sn的最小值为_解析：设等差数列an的公差为d，依题意有由此解得a
5、115，d4，an4n19，Sn2n217n222，因此当n4时，Sn取得最小值2n217n24217436.答案：3610已知等差数列an的前n项和为Sn且满足a23，S636.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn是等比数列且满足b1b23，b4b524.设数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)数列an是等差数列，S63(a1a6)3(a2a5)36，则a2a512，由于a23，所以a59，从而d2，a1a2d1，an2n1.(2)设数列bn的公比为q.b1b23，b4b524，q38，则q2.从而b1b2b1(1q)3b13，b11，bn2n1，anbn(2n1)2n1.
6、Tn1132522(2n3)2n2(2n1)2n1，则2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，两式相减，得(12)Tn112222222n222n1(2n1)2n，即Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n2)(2n1)2n(32n)2n3.Tn(2n3)2n3.11已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a2a465，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，a2a4，a25，a413.a11，d4，an4n3.1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连
7、续三项，a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn，b1b2bn.，存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立12已知正项数列an，bn满足：a13，a26，bn是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列(1)求数列bn的通项公式；(2)设Sn，试比较2Sn与2的大小解：(1)对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列，且数列an，bn均为正项数列，anbnbn1(nN*)由a13，a26得又bn为等差数列，即有b1b32b2，解得b1，b2，数列bn是首项为，公差为的等差数列数列bn的通项公式为bn(nN*)(2)由(1)得，对
8、任意nN*，anbnbn1，从而有2，Sn21.2Sn2.又22，2Sn.当n1，n2时，2Sn2.冲击名校已知Sn是正数数列an的前n项和，S，S，S，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列bn为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90.(1)求an，bn；(2)从数列中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于？若能的话，请写出这个数列的第一项和公比；若不能的话，请说明理由解：(1)Sn是以3为首项，以1为公差的等差数列，所以S3(n1)n2.因为an0，所以Sn(nN*)，当n2时，anSnSn1，又a1S1，所以an(nN*)，设bn的首项为b1，公比为q，则有
9、所以即bn3n(nN*)(2)n，设可以挑出一个无穷等比数列cn，首项为c1p，公比为k(p，kN*)，它的各项和等于，则有，所以p，当pk时3p3pk8，即3pk(3k1)8，因为p，kN*，所以只有当pk0，k2，即pk2时，数列cn的各项和为.当pp右边含有3的因数而左边非3的倍数，不存在p，kN*，所以存在唯一的等比数列cn，首项为，公比为，使它的各项和等于. 高频滚动已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2an(nN*)(1)证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若bn(2n1)an2n1，求数列bn的前n项和为Tn.解：(1)证明：因为Snn2an，即Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)两式相减化简，得an2an11.所以an12(an11)(n2，nN*)所以数列an1为等比数列因为Snn2an，令n1，得a11.a112，所以an12n，即an2n1.(2)因为bn(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.