1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a是三角形一边的边长,h是该边上的高,则三角形的面积是ah,如果把扇形的弧长l,半径r分别看作三角形的底边长和高,可得到扇形的面积lr;由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+2n-1=n2,则、两个推理依次是()A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理答案A解析由三角形性质得到圆的性质有相似之处,故推理为类比推理;由特殊到一般,故推理为归纳推理.故选A.2.若有一段演绎
2、推理:“大前提:对任意实数a,都有()n=a.小前提:已知a=-2为实数.结论:()4=-2.”这个结论显然错误,是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案A解析对任意实数a,都有()n=a,a|AB|,得点P的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜出椭圆=1的面积S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B解析由归纳推理的特点知,选B.4.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个偶数时,下列假设正确的是(
3、)A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数答案B解析根据反证法的概念,假设应是所证命题的否定,所以用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,假设应为“假设a,b,c都不是偶数”,故选B.5.观察下列各等式:=2,=2,=2,=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为()A.=2B.=2C.=2D.=2答案A解析观察分子中2+6=5+3=7+1=10+(-2)=8.6.正四面体ABCD的棱AD与平面所成角为,其中00,所以有0x2+y24
4、,即x2+y2的取值范围为0,4.(2)证明由(1)知x2+y24,由基本不等式得xy=2,所以xy2.18.(12分)观察以下各等式:sin230+cos260+sin 30cos 60=,sin220+cos250+sin 20cos 50=,sin215+cos245+sin 15cos 45=.分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.解猜想:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=.证明如下:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=sin2+sin =sin2+cos2-sin cos +sin2+sin cos -s
5、in2=sin2+cos2=.19.(12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PMBB1交AA1于点M,PNBB1交CC1于点N.(1)求证:CC1MN;(2)在任意DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DFEFcosDFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.解(1)证明:因为PMBB1,PNBB1,又PMPN=P,所以BB1平面PMN,所以BB1MN.又CC1BB1,所以CC1MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有-2cos .其中为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面
6、角.证明如下:因为CC1平面PMN,所以上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中,因为PM2=PN2+MN2-2PNMNcosMNP,所以PM2C=PN2C+MN2C-2(PNCC1)(MNCC1)cosMNP.由于=PNCC1,=MNCC1,=PMBB1=PMCC1,所以-2cos .20.(12分)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.(1)证明在
7、题图中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC.即在题图中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=SA1O=a2a=a3,由a3=36,得a=6.21.(12分)已知a,b,c都是不为零的实数,求证:a2+b2+c2(ab+bc+ca).证明要证a2+b2+c2(a
8、b+bc+ca),只需证5(a2+b2+c2)4(ab+bc+ca),只需证5a2+5b2+5c2-(4ab+4bc+4ca)0,只需证(a2-4ab+4b2)+(b2-4bc+4c2)+(c2-4ca+4a2)0,只需证(a-2b)2+(b-2c)2+(c-2a)20.因为(a-2b)20,(b-2c)20,(c-2a)20,且这三个不等式中等号不可能同时成立(若同时成立等号,则必有a=b=c=0),所以(a-2b)2+(b-2c)2+(c-2a)20,所以原不等式成立.22.(12分)已知函数f(x)=xcos x-sin x+1(x0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)
9、从小到大的第i(iN+)个零点,证明:对一切nN+,有+.解(1)f(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.令f(x)=0,得x=k(kN+).当x(2k,(2k+1)(kN)时,sin x0,此时f(x)0;当x(2k+1),(2k+2)(kN)时,sin x0.故f(x)的减区间为(2k,(2k+1)(kN),增区间为(2k+1),(2k+2)(kN).(2)由(1)知,f(x)在区间(0,)内是减少的.又f=0,故x1=.当nN+时,因为f(n)f(n+1)=(-1)nn+1(-1)n+1(n+1)+10,且函数f(x)的图像是连续不断的,所以f(x)在区间(n,(n+1)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(n,(n+1)内是单调的,故nxn+1(n+1).因此,当n=1时,;当n=2时,(4+1);当n3时,+=5+=.综上所述,对一切nN+,+.