1、三角函数与平面向量专 题 二0,2 sin0,0(1)23(0)(1)(20)cos0,123(0)(1)(0)(21)22tan()()1222yxyxyxkkk“五点法”作图象：“五点”主要体现为最值点与零点在上图象的五点为、，、，、，、，；图象的五点为、，、，、，、，单调性：正、余弦函数既有递增区间，又有递减区间；而正切函数只有递增区间，即在每一个区间，上都递是单调Z增函数注意：正切函数不能说成是定义域上的增函数2()(0)(0)2()(0)()23xxkxkkkkkkk对称性：正、余弦函数图象既成轴对称，又成中心对称，过最值点与 轴垂直的直线为对称轴，零点为对称中心正、余弦函数的对称轴
2、分别为、，对称中心分别为，、，；正切函数的图象成中心对称，零点与使函数无意义的点都是对称中心，即为，ZZZ 13442(0)TxxxTf xTf xTkT kk周期性：抓住四点理解：是使函数值重复出现的自变量 的增加值，且为常数；定义域内的每一个 值，都有属于定义域；满足，体现函数值的不变性；周期函数的周期不止一个，如若 为函数的周期，则，且也是函数的周期Z sin()sinsin()3022251yAxyxyAxxxy函数的图象五点法：在用五点作图象的基础上，利用整体代换的思想作的图象，其具体的操作方法为：先让分别取、，然后再分别求出与之相对应的自变量 的值和函数 的值，最后作图在利用五点法
3、作图时，关键是选定一个周期，然后把这个周期分成四个等份，根据三个分点及两个端点即可确定函数图象的形状 sinsin()|2|.yxyxx图象变换法：由的图象通过变换得到的图象主要有两种途径：先左右平移后伸缩横坐标；先伸缩横坐标后左右平移这两种不同途径中的横坐标伸长或缩短以及伸缩的倍数都是相同的，图象向左或向右平移的方向也是相同的，但平移的单位长度不同，第一种途径是，第二种途径是无论是哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 而言，即图象变换要看“变量”有何变化，而不是看“角”变化多少 0,0sin()(00|)122(32)f xAxAyyxx已知函数，的图象在 轴上的截距为，它在 轴右侧的第一个
4、最大值点和最小值点分别为和，例1.考点1 三角函数的图象 1123()3f xyf xyf xxyg xyg x求的解析式，并用列表作图的方法画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，然后再将新的图象向 轴正方向平移个单位长度，得到函数的图象，写出函数的解析式 2ATyg x由函数的最大值点与最小值点的纵坐标可求得，再根据其横坐标可求得周期，进而求得 的值，最后根据函数图象与 轴的交点可求得 的值第小题则直接根据变换过程逐步得分析到函数的：解析式 002.1(3)36.230,12sin()2sin1.3|.262sin()361ATxxTxyxy
5、由已知，易得，解得，所以把代入解析式，解析：得又，解得所以为所求列表如下：0 x020-206x2sin(-)6x 623222376 53136 yf x所以函数在长度为一个周期的闭区间上的图象如下：12sin()(00)34yAxA解答函数的图象问题主要抓住以下几个方面：函数的最大值点和最小值点，以及零点；函数正弦型，的第一个零点与第一个最值点；函数图象平移的方向和平移的单位；函数图象伸长或缩短【评析】的倍数 2sin()62sin()2sin(62)36yxg xxg xx压缩后的函数解析式为，再平移得，即 22sin3sinsin()2cos2(0).61264f xxxxxxyf x
6、yg xg x已知函数，在 轴右侧的第一个最高点的横坐标为求；若将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递变式题：减区间R 12312sin22222313sin2cos22223sin(2).622.62611cosxcosxf xxxxxxx令，将代入可得解析：31sin(2).6213sin().262454.321322226241044332f xxg xxxkkg xkxkxkkkg x由得经过题设的变化得到的函数当，时，函数取得最大值令，即，为函数的单调递减区间ZZ 2211cossin cos
7、sin.22123f xxxxxf xf xf x已知函数求的最小正周期；求函数图象的对称轴方程；求的单例2.调区间所给函数表达式各项为二次，因此可以利用二倍角公式降次，再逆用两角和的正、余弦公式化异名函数为同名函数，最后利用函数的相关性质就可以顺利分析：解决了考点2 函数性质的应用三角函数的性质 221cossin2sin cos212cos2sin2co:28s(2)2242.2242812f xxxxxxxxf xTkxkxkf xkkx的最小解析对称轴方程是正周期令，则，所以函数的图象，的，ZZ 2224388588222458833.88f xkkkf xkkkkxkkxkkkxkk
8、xkk故的单调增区间为，令，的单调减区间为，则，令，则，ZZZZ()上述的解答先利用了三角函数的恒等变换公式将函数解析式化简为“三个一”函数，再利用了函数的相关性质求得了函数的周期，整体代换法 也可以说用了复合函数法求得了函数的对称轴方程和单【评析】调区间 2001cos()1sin2.12212f xxg xxxxyf xg xh xf xg x 已知函数，设是函数图象的一条对称轴，变式题求的值；求函数的：单调递增区间 00000001131sin()1.26441151sin1.2644111cos(2)2622()66111sin21sin()226kg xkgf xxxxyf xxkx
9、xkkg xxk 解析：当 为偶数时，当由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即为奇时数，所以Z 111cos(2)1sin222131313(cos2sin2)sin(2).2222232222225()152(212)1212h xkkkh xxxxxxkxkkxkk 故函数的单调递增区间由得是，ZZ 222(sincos)2cos(0).3122f xxxxyg xyf xyg x设函数 的最小正周期为求 的值；若函数的图象是由的图象向右平移个备选例题单位长度得到，求的单：调增区间 sincosaxbxf x首先利用同角关系中的平方关系与二倍角公式转化，然后利用“”的处理方法可将的解
10、析式彻底的化简，最后根据三角函数的分析：性质求解 22sincossin21cos2 2sin(2)242232322sin3()2245 2sin(3)2.45232()1243.222f xxxxxxg xxxkxkygk，由，得，故依题解析：的值得由，可得为意Z 227()34 312xkkk的单调增区间为，Z sin()sins1(2in)yAxyxf xAxAAT求解三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性问题，一般都要经过三角恒等变换，转化为型等，然后根据基本函数相关的性质进行求解确定三角函数的解析式，主要确定三个参数、，参数 主要是根据最值来确定，参数 主要是由周期 确定，参数主
11、要是利用图象上的已知点坐标代入解析式来确定，但要注意角 的取值范围 ()1sincossincossin1cos12sin()3sincos3xxyxfyxfyxxyyAxBxx求三角函数的值域 或最值 的主要途径：将或用变量 来表示，即或，再利用或求得 的范围；转化为求形如的值域；转化为求关于的二次函数式的值域 sin(2)cos(2)44A(0)24B(0)241C(0)24D(0).(042)211f xxxyf xxyf xxyf xxyf xx设函数，则在，单调递增，其图象关于直线对称在，单调递增，其图象关于直线对称在，单调递减，其图象关于直线对称在，单调递减，其图象关全国新于直线课标卷对称 sin(2)cos(2)44 2sin(2)2cos2.2A24C(0)B2Df xxxxxxyf x因为它的对称轴方程可以是，不可以是，所以，错误；函数在，单解析调递减，所以 错误；：正确 cos(0)31A.B 33C 6 2.(201 D1)9fxxyfx全国大纲卷 设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于 mi*n322.)36(yf xyf xnn函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是的整数倍，所以，所以解析：N