1、上海市上海实验学校2020届高三数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.已知集合，则=_.【答案】【解析】【分析】先求，再利用交集的运算性质可得【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查集合间的基本运算，考查推理能力与计算能力，属于基础题2.命题：“若，则”逆否命题是_.【答案】若，则【解析】【分析】根据逆否命题的定义即可得到结论【详解】命题“若，则”的逆否命题是：若，则故答案为：若，则【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，即原命题与逆否命题的形式3.若函数的定义域为，则的定义域为_.【答案】【解析】【分析】将整体代入区间，求出的范围即为的定义域.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以的
2、定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数的定义域，求解抽象函数定义域要注意两个原则：一是已知或求解定义域，都是指自变量的取值范围；二是对应关系作用的对象范围要一致.4.不等式 的解集为_【答案】【解析】分析：直接利用分式不等式的解法，化简求解即可.详解：原不等式且，解得或.故答案为：.点睛：简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解5.函数的反函数=_.【答案】【解析】【分析】从条件中函数式，中反解出，再将，互换即得【详解】，函数的反函数为.故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的求法，解题的关键是反解，考查基本运算求解能力，属于基础题6.函数在区间上的值域为_.【答案】
3、【解析】【分析】由两个增函数和仍是增函数得函数在区间上单调递增，将区间端点代入函数解析式即可求出值域.【详解】因函数与在区间上均为增函数，所以在区间上为增函数，当时，；当时，；所以函数的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的单调性求函数的值域，考查基本的运算求解能力.7.若，则满足的x的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知得到关于的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之【详解】由得到即，所以且，解得.故答案为：【点睛】本题考查根式不等式的解法；一般的转化为整式不等式解之，但要注意定义域优先法则8.已知实数，满足约束条件，则的最大值_【答案】2【解析】【分析】作出可行域，
4、求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入，即可判断函数的最大值。【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图求得区域的顶点分别为，分别将三点代入目标函数得：，所以的最大值为【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。9.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_【答案】【解析】【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.【详解】依题意得：，则当且仅当即时取等号，故本题正确结果：【点睛】本
5、题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.10.已知函数，设函数的最小值为，若不等式有解，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】求出的分段函数的形式，根据二次函数的性质求出的范围即可【详解】，易得的最小值，不等式有解，有解，即，的取值范围为：故答案为：.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，考查二次函数的性质，属中档题11.已知函数是奇函数，若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】函数在区间上单调递增，通过数形结合列出不等式组，即可求实数的取值范围【详解】因为为奇函数
6、，所以，作出函数的图象如图所示，要使在上单调递增，结合的图象知：所以，故实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题以分段函数为问题背景，考查函数的奇偶性、单调性，求解过程中要充分利用数形结合思想进行问题求解.12.给出函数，这里，若不等式恒成立，为奇函数，且函数恰有两个零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质求出的值，求出函数的解析式，根据函数的奇偶性求出的值，求出的解析式，结合函数的图象求出的范围即可【详解】若不等式恒成立，即恒成立，则，解得：，故.若为奇函数，则，解得：，故，函数，的图象，如图所示：若函数恰有两个零点，当时，零点为和；当时，零点为和；故答案：【
7、点睛】本题综合考查函数的单调性、奇偶性、恒成立等问题，考查二次函数的图象与性质，求解过程中要充分利用图形进行分析问题和解决问题，特别是从图象观察出取值变化时，函数的零点是什么二、选择题13.若a,bR，则ab0是a2b2的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】根据不等式的性质，由ab0可推出a2b2；但，由a2b2无法推出ab0，如a=-2,b=1，即ab0是a2b2的充分不必要条件，故选A.14.若，则的最小值为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式求最值.【详解】,当且仅当时取等号
8、，故的最小值为，选C.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15.设是定义在R上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知中是定义在上，以1为周期的函数，由函数在区间，上的值域为，结合函数的周期性，我们可以分别求出在区间，上的值域，进而求出在区间，上的值域【详解】函数，。为上周期为1的函数，则，或，当时，利用（2）式可得：当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，利用（1）式可得：当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，由分段函数的值域是由每一段并起来，在区间上的值域为故答案：。【
9、点睛】本题考查函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性求出每个单位长度区间内函数的值域，再根据分段函数值域的求法，从而得到在区间上的值域是解答本题的关键16.已知函数的定义域为R，且对于任意xR，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中不正确命题是（ ）A. B. 函数在区间上为增函数C. 直线是函数的一条对称轴D. 方程在区间上有4个不同的实根【答案】B【解析】分析】由函数的定义域为，且对于任意，都有，易得函数为偶函数，又由当、，且时，都有成立则函数在区间，上为增函数，又由，可得，易得函数是的周期函数，然后对四个结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】函数的定义域为，又对于任意，都有
10、，函数为偶函数，又当、，且时，都有成立函数在区间，上为增函数，又，令得：，函数是的周期函数，则函数草图如下图所示：对，故正确；对，函数在区间，上为减函数，故错误；对，直线是函数的一条对称轴，故正确；对，方程在区间，上有，共4个不同的实根故正确；故选：B.【点睛】当遇到函数综合应用时，处理的步骤一般为：根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；根据定义域和解析式画出函数的图象；根据图象分析函数的性质三、解答题17.如图，在正四棱锥中，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证
11、明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设，则为底面正方形中心连接，推导出，由此能证明平面（2）由，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】（1）设，则为底面正方形中心，连接因为为正四棱锥，所以平面所以又，且，所以平面（2）因为，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系因为，所以，所以设所以则，设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值.【点睛】本题考查线面垂直的证明、异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力及空间想象能力，建系时注意寻找三条两两互相垂直的直线，并设出单位长度，写好点的坐标18.已知函数（1）若关于x的不等式的解集为R
12、，求a的取值范围；（2）当a 0时，解关于x的不等式。【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，；【解析】【分析】（1）将不等式转化为对任意的恒成立，再对进行分类讨论；（2），求出方程的两根为，再比较两根的大小，进行不等式求解.【详解】（1）对任意的恒成立，当时，对任意的恒成立，所以成立；当；综上所述：.（2）不等式，方程的两根为，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题及一元二次含参不等式的求解，考查分类讨论和数形结合思想，求解过程中注意分类讨论的标准为比较两根的大小.19.某温室大棚规定，一天中，从中午12点到
13、第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t（单位：小时，）近似地满足函数关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量。（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1）；（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17，求大棚一天中保温时段通风量的最小值。【答案】（1）6.7；（2）256；【解析】【分析】（1）根据分段函数和函数的单调性即可求出，（2）根据分段函数，分离参数，利用二次函数的性质，求出即可【详解】（1），当，时，此时函数单调递减，当时，当，时，令，则
14、，此时函数单调递增，当时，综上所述最低温度为，（2），在，恒成立，当，时，可得，由于，在，单调递增，当，时，可得由于，当时取等号，综上所述，大棚一天中保温时段通风量的最小值为256【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数和二次函数的单调性，考查计算能力，属于中档题20.已知函数是定义域为上的奇函数，且(1）求的解析式. (2)用定义证明：在上是增函数.（3）若实数满足，求实数的范围.【答案】(1)；(2)见证明；(3).【解析】【分析】(1)首先根据函数是定义域在上的奇函数可计算出的值，然后根据可计算出的值，即可得出结果；(2)可根据增函数定义，通过设并计算的值得出结果；(3)可
15、通过奇函数的相关性质将转化为，然后列出算式即可得出结果。【详解】(1)因为函数是定义域在上的奇函数,所以，因为，所以，。(2)在任取，设，即，则，因为，所以，即当时，在是增函数。(3)由题意可知，所以，即，解得。【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查奇函数的相关性质以及增函数的证明，奇函数有，可以通过增函数的定义来证明函数是增函数，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题。21.对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间m，nD，同时满足：f（x）在m，n内是单调函数；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n则称m，n是该函数的“和谐区间”（1）证明：0，1是函数y=f（x）=x2
16、的一个“和谐区间”（2）求证：函数不存在“和谐区间”（3）已知：函数（aR，a0）有“和谐区间”m，n，当a变化时，求出nm的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间上单调递增,且值域也为满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）y=x2在区间0，1上单调递增又f（0）=0，f（1）=1，值域为0，1，区间0，1是y=f（
17、x）=x2的一个“和谐区间”（2）设m，n是已知函数定义域的子集故函数在m，n上单调递增若m，n是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根x23x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”（3）设m，n是已知函数定义域的子集x0，故函数在m，n上单调递增若m，n是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即的同号的相异实数根，m，n同号，只须，即a1或a3时，已知函数有“和谐区间”m，n，当a=3时，nm取最大值考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案
