1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.关于x的一元二次不等式5x+6x2的解集为() A.x|x6B.x|-1x6C.x|x3D.x|-2x32.若xNB.M=NC.MND.无法确定3.若a,bR,-2a4,1b3,则a-2b的取值范围是()A.-4,2B.-3,1C.-8,2D.-7,7 4.不等式1xf(x2),则实数k的取值范围是(深度解析)A.12,1B.-13,23C.-12,1D.以上都不对二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)1
2、3.不等式2x2+2x-412的解集为.14.若m2x-1mx+10(m0)对一切x4恒成立,则实数m的取值范围是.15.设实数x,y满足不等式组x+y2,y-x2,y1,则(x+3)2+y2的取值范围是.16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)2ax+b的解集为R,则b2a2+c2的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若函数f(x)=lg(8+2x-x2)的定义域为M,函数g(x)=1-2x-1的定义域为N,求集合M、N、MN.18.(本小题满分12分)某小型工厂安排甲
3、、乙两种产品的生产,已知该工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么怎么安排生产工厂每周获得的利润最大?并求出最大利润.19.(本小题满分12分)设函数y=ax2-(2a+1)x+2.(1)若该函数有且只有一个零点,求a的值;(2)求关于x的不等式ax2-(2a+1)x+21的解集.21.(本小题满分12分)新型冠状病毒感染的肺炎在治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元,每生产x千件
4、需另投入成本为C(x)万元.当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件药品售价为0.05万元,假设在疫情期间该公司生产的药品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)该公司决定将此药品所获年利润的1%用来捐赠,当年产量为多少千件时,此药品的年利润最大?此时可捐赠多少万元的防疫物资款?22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR)满足:对任意实数x,都有f(x)x;当x(1,3)时,有f(x)18(x+2)2成立.(1)求证:f(2)=
5、2;(2)若f(-2)=0,求函数f(x)的解析式;(3)在(2)的条件下,若存在x0,+),使得f(x)-m2x14成立,求实数m的取值范围.答案全解全析本章达标检测一、选择题1.A不等式5x+60,即(x+1)(x-6)0,解得x6,故不等式的解集为x|x6,故选A.2.A因为M-N=5x2+x+2-4x(x+1)=x2-3x+2=x-322-14,且x0,所以MN.3.C1b3,-6-2b-2,-2a4,-8a-2b2,故选C.4.D由1x12,得1x-12=2-x2x0,解得x2,故选D.5.D解法一:取x=1检验,满足,排除A;取x=4检验,不满足,排除B、C,故选D.解法二:原不等
6、式可化为2x2+7x-90,即(x-1)(2x+9)0,解得-92x1,故选D.6.C约束条件表示的可行域如图,因为目标函数z=6x+5y对应直线l的斜率为-65,所以当直线l过点A时,z取得最大值.由x+y=5,3x+2y=12,解得x=2,y=3,即A(2,3).7.A由题知不等式2x2-8x-4-a0在1x4内有解,则只需在1x4内a(2x2-8x-4)max即可,设y=2x2-8x-4,因为y=2x2-8x-4(1x4)在x=4时,取最大值-4,所以当a-4时,2x2-8x-4a在-1x4内有解.故选A.8.C依题意得kAB=5-12-4=-2,所以线段lAB:y-1=-2(x-4),
7、x2,4,即y=-2x+9,x2,4,故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x2,4.设h(x)=4x-9,易知h(x)=4x-9在2,4上单调递增,故当x=4时,h(x)max=44-9=7.故选C.9.C因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,所以ab=1.又因为a,b为正实数,所以f(2)=8a+2b+ab-1=2(4a+b)224ab=8,当且仅当a=12,b=2时取等号,故选C.10.D由题意知直线y=kx+1与直线x-y=0垂直,所以k=-1,即直线为y=-x+1.又圆心C-k2,-m2在直线x-y=0上,所以可求得m=-1.所以不等式组为-x-y+20,-x+y0,y0
8、,其表示的平面区域如图所示,=b-2a-1的几何意义是点Q(1,2)与平面区域内点P(a,b)连线的斜率.由图知,kOQ=2,kAQ=-2,故的取值范围是(-,-22,+).11.C1a+1b=1,a+b=ab,ab-a-b=0,ab-a-b+1=1,a(b-1)-(b-1)=1,(a-1)(b-1)=1.a0,b0,1a+1b=1,a1,b1,a-10,b-10,1a-1+9b-121a-19b-1=6,当且仅当1a-1=9b-1时,等号成立,由1a+1b=1,1a-1=9b-1,解得a=43,b=4,当a=43,b=4时,1a-1+9b-1取得最小值6.12.C对任意的x1-1,2,总存在
9、x21,3,使得g(x1)f(x2),g(x)minf(x)min,f(x)=x2+4x2-32x24x2-3=1(当且仅当x2=2时取等号),f(x)min=1.当k0时,若x-1,2,则g(x)-k+2,2k+2,只需满足1-k+2,解得0k1.当k=0时,g(x)=2,满足题意.当k0时,若x-1,2,则g(x)2k+2,-k+2,只需满足12k+2,解得-12k0.综上,实数k的取值范围是-12,1.方法总结已知函数y=f(x),xa,b,y=g(x),xc,d,且f(x),g(x)均存在最值,则有:(1)若对任意x1a,b,x2c,d,总有f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg
10、(x)min;(2)若任意x1a,b,存在x2c,d,有f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)max;(3)若存在x1a,b,x2c,d,有f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)max;(4)若任意x1a,b,存在x2c,d,有f(x1)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集 .二、填空题13.答案-3,1解析不等式2x2+2x-412可化为2x2+2x-42-1,x2+2x-4-1,x2+2x-30,-3x1,原不等式的解集为-3,1.14.答案-,-12解析依题意,对任意的x4,+),有f(x)=(mx+1)(m2x-1)0恒成立,结合图像(图略)分析可
11、知m0,-1m4,1m24,解得m0对一切实数恒成立,即b2+4a24ac,a0,c-a0对一切实数恒成立,所以b2a2+c24a(c-a)a2+c2,令c-a=t0,则c=a+t,代入得b2a2+c24a(c-a)a2+c2=4ata2+a2+2at+t2=42at+ta+2422+2=22-2(当且仅当c=(2+1)a时取等号).故b2a2+c2的最大值为22-2.三、解答题17.解析由题得8+2x-x20,即x2-2x-80,(x-4)(x+2)0,(2分)-2x4,M=x|-2x4.(4分)由1-2x-10,得x-3x-10,x1或x3,(6分)N=x|x1或x3.(8分)MN=x|-
12、2x1或3x4.(10分)18.解析设该工厂一周内安排生产甲产品x吨,乙产品y吨,工厂每周获得的利润为z元.依据题意,得目标函数为z=300x+200y,(3分)约束条件为x+y50,4x160,2x+5y200,y0,x0.(5分)画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示.(6分)求得有关点A(40,0)、B(40,10)、C503,1003、D(0,40),(7分)由图知将直线300x+200y=0向右上平移,当经过可行域内的点B时,函数z=300x+200y的值最大,且最大值为14 000.(10分)故当工厂每周生产甲产品40吨,乙产品10吨时,工厂每周获得的利润最大,且最大利润为1
13、4 000元.(12分)19.解析(1)当a=0时,y=-x+2,只有一个零点2,符合题意.(2分)当a0时,=-(2a+1)2-8a=0,解得a=12.故函数有且只有一个零点时,a=0或a=12.(4分)(2)当a=0时,不等式化为-x+22.(5分)当a0时,不等式ax2-(2a+1)x+20化为ax-1a(x-2)0.当a0,解得x2或x0时,不等式化为x-1a(x-2)0,当1a=2,即a=12时,不等式化为(x-2)22,即0a12时,解得2x1a;(10分)当1a12时,解得1ax2;当a=12时,不等式的解集为;当0a12时,不等式的解集为x|2x12时,不等式的解集为x|1ax
14、2;当a2或x0,且关于x的一元二次方程ax2-(a+2)x+1=0在(-2,-1)上只有一个实数根,f(-2)f(-1)0,(4分)而f(-2)=6a+5, f(-1)=2a+3,(6a+5)(2a+3)0,(6分)-32a1可化为-x2-x+11,解得-1x0,(11分)原不等式的解集为x|-1x0.(12分)21.信息提取C(x)=13x2+10x,0x80,51x+10 000x-1 450,x80;每件药品售价为0.05万元,且能全部售完;此药品所获年利润的1%用来捐赠;求当年产量为多少千件时,此药品的年利润最大及此时可捐赠多少万元的防疫物资款.数学建模本题以社会热点问题疫情防控为背
15、景,构建函数模型,利用函数知识及基本不等式求解.(1)根据题意得x千件药品销售额为0.051 000x万元,进而得L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-(x+10 000x),x80;(2)当0x80时,由二次函数性质得当x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950,当x80时,由基本不等式得当x=100时,L(x)取得最大值,最大值为1 000,进而得年产量为100千件时,此药品的年利润最大,可捐赠10万元的防疫物资款.解析(1)因为每件药品售价为0.05万元,所以x千件药品销售额为0.051 000x万元.当0x80时,L(x)=(0.051 000x)
16、-13x2+10x-250=-13x2+40x-250.(2分)当x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x+10 000x-1 450-250=1 200-x+10 000x.(4分)所以L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.(5分)(2)当0x80时,L(x)=-13(x-60)2+950,即x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950.(7分)当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000,当且仅当x=10 000x,即x=100时,等号成立,此时L(x)取得最大值1 000.(10分)因为9500,-122-4a(1-4a)0,故4a-1220,所以a=18,则b=c=12,所以f(x)=18x2+12x+12.(7分)(3)由存在x0,+),使得f(x)-m2x18x2+12x+14在x0,+)上有解.(8分)x=0时,不满足题意;(9分)x0时,原式化为m14x+12x+1在x(0,+)上有解,即m14x+12x+1min,(10分)因为14x+12x+1214x12x+1=1+22,当且仅当x=2(负值舍去)时取等号,故此时m1+22.综上,可知实数m的取值范围为1+22,+.(12分)
