1、专题强化练2数列的求和方法一、选择题1.()已知数列an满足a1=1,an-1=2an(n2,nN+),则数列an的前6项和为(深度解析) A.63B.127C.6332D.127642.()已知函数f(n)=n2(n为奇数),-n2(n为偶数),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 2003.()等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.34.()定义np1+p2+pn为n个正数p1,p2,pn的“均倒数”.若已知数列an的前n项的“均倒数”为13n+1,bn=an+26,则
2、1b1b2+1b2b3+1b9b10=(深度解析)A.111B.1011C.910D.1112二、填空题5.(2019河南商丘九校高二期末联考,)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4,则数列an+bn的前n项和为.6.(2020上海实验学校高一下期末,)求和:1+11+2+11+2+3+11+2+3+n=.深度解析7.()对于数列an,定义数列an+1-2an为数列an的“2倍差数列”,若a1=2,an的“2倍差数列”的通项公式为an+1-2an=2n+1,则数列an的前n项和Sn=.8.()已知数列an的前n项和为Sn,数列bn的前n项和为Tn,
3、a1=b1=1,an+1=an+3n-1+a1(nN+),bn=1Sn-3n+14(n2).若对于任意正整数n2,都有Tnm成立,则m的最大值为.三、解答题9.(2020河南华文大教育联盟质检,)已知数列an的前n项和为Sn,2Sn=3an-9.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(-1)nlog3an,求数列bn的前n项和Tn.10.(2021湖南怀化高二上10月联考,)在数列an中,a1=1,an+1=1+1nan+n+13n.(1)设bn=ann,求数列bn的通项公式;(2)求数列an的前n项和Sn.答案全解全析专题强化练2数列的求和方法一、选择题1.C由已知an-1=2an(n2
4、,nN+)得anan-1=12,所以数列an是以1为首项,12为公比的等比数列,所以数列an的前6项和为1-1261-12=6332.故选C.方法总结通过分析、判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后,可直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解,此法即为公式法.2.B由题意可得,当n为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;当n为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.所以a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=-2(1+3+5+99)-50+2(2+4+6+100)+50=100,故选B.3.C
5、数列an是等比数列,a4=2,a5=5,a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,lg a1+lg a2+lg a8=lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg 10=4.故选C.4.C由题意得na1+a2+an=13n+1,所以a1+a2+an=n(3n+1)=3n2+n,记数列an的前n项和为Sn,则Sn=3n2+n.当n=1时,a1=S1=4;当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-3(n-1)2+(n-1)=6n-2.经检验a1=4也符合此式,所以an=6n-2,nN+,则bn=an+26=n,所以1b1b2+1b2b3+1b9b10=112+123+1910=1-12+
6、12-13+19-110=1-110=910.故选C.方法总结本题求和的方法为裂项相消法,一般地,1n(n+k)=1k1n-1n+k.二、填空题5.答案n2+3n-12解析设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则由b2=3,b3=9,a1=b1,可得q=b3b2=3,b1=a1=1,又a14=b4,即1+13d=27,所以d=2,所以数列an+bn的前n项和为n+n(n-1)22+1-3n1-3=n2+3n-12.故答案为n2+3n-12.6.答案2nn+1解析设数列1,11+2,11+2+3,11+2+3+n为数列an.易知该数列的通项公式为an=11+2+3+n=2n(n+1)
7、=21n-1n+1,故该数列的前n项和为1+11+2+11+2+3+11+2+3+n=21-12+12-13+13-14+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.方法总结若数列an是等差数列(公差为d),则求数列1anan+1的前n项和时,常采用裂项相消法,此时1anan+1=1d1an-1an+1.7.答案(n-1)2n+1+2解析已知an+1-2an=2n+1,且a1=2,则an+12n+1-an2n=1,所以数列an2n是首项为1,公差为1的等差数列,所以an2n=1+(n-1)1=n,所以an=n2n,则Sn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n,2Sn=122+22
8、3+324+(n-1)2n+n2n+1,-,得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1,解得Sn=(n-1)2n+1+2.8.答案53解析a1=1,an+1=an+3n-1+1,当n2时,an-an-1=3n-2+1,an-1-an-2=3n-3+1,a3-a2=3+1,a2-a1=30+1,当n2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-2+1+3n-3+1+30+1+1=3n-12+n-12,经检验,当n=1时,上式也成立,Sn=302+1-12+312+2-12+322+3-12+3n-12+n-12=302+31
9、2+322+3n-12+(1+2+3+n)-n2=121-3n1-3+n(1+n)2-n2=3n+2n2-14,当n2时,bn=1Sn-3n+14=2n2-1=1n-1-1n+10.当n=1时,b1=T1=1;当n2时,(Tn)min=T2=53,对于任意正整数n2,Tn53.m53,m的最大值为53.三、解答题9.解析(1)当n=1时,2S1=3a1-9.因为S1=a1,所以2a1=3a1-9,所以a1=9.因为2Sn=3an-9,所以2Sn+1=3an+1-9.两式相减,并整理得2an+1=3an+1-3an,即an+1=3an.又因为a1=90,所以数列an是以9为首项,3为公比的等比数
10、列.所以an=93n-1=3n+1.(2)由(1)可知bn=(-1)nlog3an=(-1)n(n+1),故当n为偶数时,Tn=(-2+3)+(-4+5)+-n+(n+1)=n2,当n为奇数时,Tn=(-2+3)+(-4+5)+-(n-1)+n-(n+1)=n-12-(n+1)=-n+32,所以Tn=n2,n为偶数,-n+32,n为奇数.10.解析(1)由已知得b1=a11=1,bn+1=an+1n+1=ann+13n,即bn+1=bn+13n,即bn+1-bn=13n,当n2时,bn-bn-1=13n-1,b2-b1=131,bn-bn-1+bn-1-bn-2+b2-b1=13n-1+13,n2,bn=1+131+13n-1=1-13n1-13=321-13n,n2,n=1时也满足上式,bn=321-13n.(2)由(1)可得an=nbn=32n-n3n,Sn=32(1+2+n)-32131+232+n3n,令Tn=131+232+333+n3n,则13Tn=132+233+334+n-13n+n3n+1,两式相减得2Tn3=131+132+133+13n-n3n+1=12-123n-n3n+1=12-2n+323n+1,Tn=34-2n+343n,又32(1+2+n)=3n(n+1)4,Sn=3n(n+1)4+2n+383n-1-98.