1、第三课时题型上高考3大题型逐一精研题型一定点、定值问题定点问题例1已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意得，c，2，a2b2c2，a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.点B在以线段MN为直径的圆
2、上，0.(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意故直线l过定点，且该定点的坐标为.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关过关训练1.如图，已知直线l：ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：y21分别交于点
3、A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.(1)求kk1的值；(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线yx1对称的点为P0(x0，y0)，直线l与直线l1的交点为(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，xM，yM.同理可得xN，yN.kMN，直线MN：yyMkMN(xxM)，即y，即yxx.当k变化时，直线MN过定点.定值问题例2(2019沈阳模拟
4、)已知椭圆C：1(ab0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值解(1)当点P位于短轴的端点时，PF1F2的面积最大，即2cb，则有解得所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点O到直线MN的距离d ，联立消去y，得(4k23)x28knx4n2120, 由0得4k2n230，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(
5、k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d 为常数，则m0，d ，此时12满足0.当MNx轴时，由m0得kOM1，联立消去y，得x2，点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上可知，当m0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引起变量法：其解题流程为过关训练2(2019昆明调研)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，P是椭圆C上的点(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设，证明：直线AB
6、的斜率与OD的斜率的乘积为定值解：(1)由题意知2c4，即c2，则椭圆C的方程为1，因为点P在椭圆C上，所以1，解得a25或a2(舍去)，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2且x1x20，由，得D(x1x2，y1y2)，所以直线AB的斜率kAB，直线OD的斜率kOD，由得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即，所以kABkOD.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.题型二最值、范围问题最值问题例1(2018南昌模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点
7、，y1y24.(1)求抛物线C的方程；(2)如图，点B在准线l上的正投影为E，D是C上一点，且ADEF，求ABD面积的最小值及此时直线AD的方程解(1)依题意知F，当直线AB的斜率不存在时，y1y2p24，解得p2.当直线AB的斜率存在时，设lAB：yk(k0)，由消去x并整理，得y2yp20，则y1y2p2，由y1y24，得p24，解得p2.综上所述，抛物线C的方程为y24x.(2)设D(x0，y0)，B，则E(1，t)，又由y1y24，可得A.因为kEF，ADEF，所以kAD，则直线lAD的方程为y，化简得2xty40.由消去x并整理，得y22ty80，(2t)244t2320恒成立，所以
8、y1y02t，y1y08.于是|AD|y1y0| ，设点B到直线AD的距离为d，则d.所以SABD|AD|d16，当且仅当t416，即t2时取等号，即ABD面积的最小值为16.当t2时，直线AD的方程为xy30；当t2时，直线AD的方程为xy30.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解过关训练1(2018安康质检)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F
9、2，由M(a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求F2AB面积的最大值解：(1)由已知条件，得b，且3，ac3.又a2c23，a2，c1，椭圆的方程为1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程，得消去x得，(3m24)y26my90.直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交y1y2，y1y2.|F1F2|y1y2|y1y2|12 44，令tm211，设f(t)t，易知t时，函数f(t)单调递减，t时，函数f(t)单调递增，当tm
10、211，即m0时，f(t)取得最小值，f(t)min，此时，取得最大值3.范围问题例2(2019合肥模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin ycos 10相切(为常数)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求的取值范围解(1)由题意，得解得故椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)得F1(1,0)，F2(1,0)若直线l的斜率不存在，则直线lx轴，直线l的方程为x1，不妨记M，N，故.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，由消去y得，(12k2)x24k2x2k
11、220，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(x11，y1)，(x21，y2)，则(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k2，结合可得1k2，由k20可得. 综上可知，的取值范围是.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取
12、值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围过关训练2(2019惠州调研)如图，椭圆C：1(ab0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|PN|)，若SPAMSPBN，求实数的取值范围解：(1)因为BF1x轴，所以点B，所以解得所以椭圆C的标准方程是1.(2)因为(2)，所以.由(1)可知P(0，1)，设直线MN的方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x
13、2，y2)，联立方程，得化简得，(4k23)x28kx80.得(*)又(x1，y11)，(x2，y21)，有x1x2，将x1x2代入(*)可得，.因为k，所以(1,4)，则14且2，解得442.综上所述，实数的取值范围为(4,42)题型三证明、探索性问题证明问题例1(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.解(1)由已知得F(1,0)，直线l的方程为x1.则点A的坐标为或.又M(2,0)，所以直线AM的方程为yx或yx，即xy20或xy20.(2)证明
14、：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.将yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0.从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补所以OMAOMB.综上，OMAOMB成立圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、
15、恒成立等在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法过关训练1(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点
16、P在C上，所以m，从而P，|，于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2| .将m代入得k1，所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以该数列的公差为或.探索性问题例2(2019合肥质检)如图，在平面直角坐标系中，点F(1，0)，过直线l：x2右侧的动点P作PAl于点A，APF的平分线交x轴于点B，|PA|BF|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线q交曲线C于M，N，试问：x轴正半轴上是否存在点E，直线EM，EN分别交直线l于R，S两点，使RFS为直角
17、？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由解(1)设P(x，y)，由平面几何知识得，即，化简得y21，所以动点P的轨迹C的方程为y21(x)(2)假设满足条件的点E(n,0)(n0)存在，设直线q的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(2，y3)，S(2，y4)联立消去x，得(m22)y22my10，y1y2，y1y2，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，x1x2m(y1y2)22，由条件知，y3，同理y4，kRFy3，kSFy4.因为RFS为直角，所以y3y41，所以(2n)2y1y2x1x2n(x1x2)n2，(2n)2n2，所以(n22)
18、(m21)0，n，故满足条件的点E存在，其坐标为(，0)存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法过关训练2(2019福州四校联考)已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时，|RS|3.(1)求椭圆C的标准
19、方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由内切圆的性质，得2cb(2a2c)，得.将xc代入1，得y，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)联立得(34k2)x28k2x4k2120，由根与系数的关系得其中0恒成立，由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTSkTR0(显然TS，TR的斜率存在)，即0.因为R，S两点在直线yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，将代入得0，则t4，综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称