1、安徽省肥东县第二中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、单选题（每小题5分）.1设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设函数yf（x）在xx0处可导，且1，则f（x0）等于（）ABC1D13根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（）A35种B30种C28种D25种4展开式中x3的系数为（）A15B26C30D355设直线xt与函数f（x）x2，g（x）lnx的图象分别交于点M，N，
2、则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD6如图，阴影部分的面积是（）A38B37C36D357我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCAOC90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为（）ASS1+S2+S3BS2CDS8若函数f（x）exlnxmx在区间（1，+）上单调递增，则实数m的取值范围（）A（，e1）
3、B（，e1C（，e+1）D（，e+19已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A在t1时刻，甲车在乙车前面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面10若，则二项式的展开式中的常数项为（）A6B12C60D12011面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段，科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联
4、合攻关，其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线，若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）A14700B16800C27300D5040012已知函数f（x）ex（x2）ax+a，（a2），若不等式f（x）0恰有三个不同的整数，则a的取值范围是（）ABCD二、填空题（共4小题）.13i是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 14用数学归纳法证明某不等式时，其左边，则从“nk到nk+1”应将左边加上 15若的展开式
5、中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为 16已知函数f（x）x（a+1）lnx（aR，且a1），g（x）x2+exxex，若存在x1e，e2，使得对任意x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，则a的取值范围是 三、解答题（第17题10分，其他每题12分，本大题共6小题，共70.0分）17计算下列定积分：（1）（3x22x+5）dx（2）（cos xsin x）dx18已知函数f（x）1（1）求函数在点（1，f（1）处的切线方程（2）试判断函数f（x）的单调性；19已知函数f（x）ax3+bx在x1处有极值2（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在区间2，上的最大值20已知数列an的前n项
6、和为Sn，其中且（1）求a2，a3；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明21在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？22已知函数，其中aR（1）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：f（x）2e2x4（其中e为自然对数的底数）参考答案一、单选题（共12小题）.1设i是虚数单位，则复数在复
7、平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：i（1+i）1+i，对应复平面上的点为（1，1），在第二象限，故选：B2设函数yf（x）在xx0处可导，且1，则f（x0）等于（）ABC1D1解：f（x0）1，所以f（x0），故选：A3根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（）A35种B30种C28种D25种解：这3人中既有男性又有女性，包括2男1女和1男2女两种情况若3人中有2男1女，则不同的选法共有种，若3人中有1男2女，则不同的选法共有
8、12种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有18+1230种，故选：B4展开式中x3的系数为（）A15B26C30D35解：由（1+x）6展开式的通项Tr+1xr得：展开式中x3的系数为126，故选：B5设直线xt与函数f（x）x2，g（x）lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1BCD解：设函数yf（x）g（x）x2lnx，求导数得当时，y0，函数在上为单调减函数，当时，y0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D6如图，阴影部分的面积是（）A38B37C36D35解：直线y2x2与抛物线y32xx2相交，联立：，解得交点为A（5，
9、12）和B（1，0），则阴影部分的面积为：S（32xx2）（2x2）dx（x32x2+5x）故选：C7我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCAOC90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为（）ASS1+S2+S3BS2CDS解：由a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2c2，类比到空间中：在四面
10、体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则S，S1，S2，S3满足的关系式为：故选：C8若函数f（x）exlnxmx在区间（1，+）上单调递增，则实数m的取值范围（）A（，e1）B（，e1C（，e+1）D（，e+1解：由题意，函数f（x）exlnxmx，可得，因为函数f（x）在（1，+）上单调递增，即f（x）0在（1，+）上恒成立，即在（1，+）上恒成立，设，则，所以函数g（x）在（1，+）为单调递增函数，所以mg（1）e1，即实数m的取值范围是（，e1故选：B9已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为
11、直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A在t1时刻，甲车在乙车前面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程v甲dta+c，乙走过的路程v乙dtc；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程v甲dta+c+d，而乙走过的路程v乙dtc+d+b；从图象上可知ab，所以在t1时刻，a+c+dc+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程
12、不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错故选：A10若，则二项式的展开式中的常数项为（）A6B12C60D120解：3cosx3cos+3cos06，通项为，由6，得r4，二项式的展开式中的常数项为故选：C11面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段，科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关，其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫
13、苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线，若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）A14700B16800C27300D50400解：根据题意，分2步进行分析：将没有选择技术路线的7个团队分成5组，若分为31111的五组，有C7335种分组方法，若分为22111的五组，有105种分组方法，则有35+105140种分组方法，将分好的五组安排到已经选择技术路线的五个团队工作，有A55120种情况，则有14012016800种安排方法，故选：B12已知函数f（x）ex（x2）ax+a，（a2），若不等式f（x）0恰有三个不同的整数，则a的取值范围是（）A
14、BCD解：由f（x）ex（x2）ax+a0，得ex（x2）axa，令g（x）（x2）ex，h（x）axaa（x1），则h（x）过定点（1，0）由题意知，存在3个正整数，使g（x）在直线h（x）的下方，g（x）（x1）ex，当x1时，g（x）0，此时g（x）为增函数，当x1时，g（x）0，此时g（x）为减函数，即当x1时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（x）ming（1）e，且g（0）2，g（2）0，g（3）e3，g（1）直线h（x）恒过点（1，0），且斜率为a，由题意可知当a0时，不满足条件有很多整数解，则a0，此时x1，x2满足条件，由图象知，此时只能x0时，满足条件，则满足，即得，即
15、a2，故实数a的取值范围是，2），故选：D二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13i是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为2解：由（12i）（a+i）（a+2）+（12a）i为纯虚数，得，解得：a2故答案为：214用数学归纳法证明某不等式时，其左边，则从“nk到nk+1”应将左边加上解：当nk时，当nk+1时，所以f（k+1）f（k）故答案为：15若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为15解：由已知可得，2n32，即n5，其二项展开式的通项取，得r4展开式中x的系数为故答案为：1516已知函数f（x）x（a+1）lnx（aR，且a1），g（x）x2+
16、exxex，若存在x1e，e2，使得对任意x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，则a的取值范围是（，1）解：f（x）的定义域为（0，+），f（x） （aR），当a1时，xe，e2，f（x）0，f（x）为增函数，所以f（x）minf（e）e（a+1）；若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，即 f（x）ming（x）min，g（x）x+exxexexx（1ex），当x2，0时g（x）0，g（x）为减函数，g（x）ming（0）1，e（a+1）1，a，a（，1），故答案为：（，1）三、解答题（第17题10分，其他每题12分，本大题共6小题，共70.0分）17计算下
17、列定积分：（1）（3x22x+5）dx（2）（cos xsin x）dx解：（1）（3x22x+5）dx111（2）（cos xsin x）dx（sin x+cos x）（sin 2+cos 2）（sin 0+cos 0）018已知函数f（x）1（1）求函数在点（1，f（1）处的切线方程（2）试判断函数f（x）的单调性；解：（1）由题可知：f（x）；所以：f（1）1，f（1）1；函数在点（1，f（1）处的切线方程为：y（1）x1即：yx2（2）因为函数的定义域（0，+）且f（x）；令f（x）0得0xe，f（x）0得xe，因此函数单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+）19已知函数f（x）
18、ax3+bx在x1处有极值2（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在区间2，上的最大值解：（1）函数f（x）ax3+bx在x1处取得极值2，解得，（2）由（1）得：f（x）x3+3x，f（x3x2+33（x+1）（x1），令f（x）0，解得：1x1，令f（x）0，解得：x1或x1，故f（x）在2，1）递减，在（1，递增，故f（x）的最大值是f（2）或f（），而f（2）2f（），故函数f（x）的最大值是220已知数列an的前n项和为Sn，其中且（1）求a2，a3；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解：（1）又，则，类似地求得（2）由，猜得：以数学归纳法证明如下：当n1时，由（
19、1）可知等式成立；假设当nk时猜想成立，即那么，当nk+1时，由题设得，所以Skk（2k1）akk（2k1）Sk+1（k+1）（2k+1）ak+1ak+1SK+1SK（k+1）（2k+1）ak+1因此，所以这就证明了当nk+1时命题成立由、可知命题对任何nN*都成立21在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？解：（1）第一
20、步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有种方法，第二步再松绑，给4个节目排序，有种方法根据分步乘法计数原理，一共有504024120960种（2）第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有种方法，第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“”的位置），这样相当于7个“”选4个来排，一共有种，根据分步乘法计数原理，一共有720840604800种（3）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有种排法22已知函数，其中aR（1）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a0时，证明：f
21、（x）2e2x4（其中e为自然对数的底数）解：（1）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+），当时，f（x）00x2或；当时，f（x）0f（x）0；当时，或x2；综上，当时，f（x）在（0，2），上单调递增，在上单调递减；当时，f（x）在（0，+）上单调递增；当时，f（x）在，（2，+）上单调递增；在上单调递减（2）证明：当a0时，由f（x）2exx4，只需证明exlnx+2，令g（x）exlnx2（x0），设g（x0）0，则当x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减；当x（x0，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，当xx0时，g（x）取得唯一的极小值，也是最小值，g（x）的最小值是成立故f（x）2exx4成立