1、陕西省黄陵中学（本部）2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A=x|x-10，B=0，1，2，则AB=（ ）A. 0B. 1C. 1，2D. 0，1，2【答案】C【解析】【分析】先化简集合A，再利用交集的运算求解.【详解】由题意得A=x|x1，B=0，1，2，AB=1，2故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据与的
2、互相推出情况判断出对应哪一种条件.【详解】由，则，即“”“”；由“”得，即“”“”.所以“”是“”充分不必要条件.故选：A.3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要使函数有意义，令，解出得范围，可得定义域【详解】要使函数有意义，则解得.所以函数的定义域为.故选：B4. 如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.【详解】图象显示有一段时间
3、吴老师离家距离是个定值，所以A、B、C三个选项均不符合，只有D选项符合题意.故选D.【点睛】本题考查实际问题中对应的函数图象问题，难度较易.5. 已知，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式将化简为，再由同角三角函数的基本关系得出的值，最后结合的取值范围即可得解.【详解】因为，所以，所以，因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式，考查同角三角函数的基本关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.6. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x时，f（x）log2(3x1)，则f(2021)等于（ ）A. 4B. 2C. 2D. l
4、og27【答案】C【解析】【分析】由周期函数变形，再由奇函数定义转化为计算即得【详解】因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，所以f(2021)f(45051)f（1）f(1)因为1，且当x时，f（x）log2(3x1)，所以f(1)log23(1)12，所以f(2021)f(1)2故选：C【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，掌握周期性和奇偶性的概念是解题基础7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由指数函数的单调性得到，由对数函数的单调性得到，利用对数函数的图象和性质得出，结合选项得出答案【详解】因为，所以.又因为，所以，所以，因为，所以，所以，
5、综合得.故选：A8. 我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的（ ）A. 倍B. 倍C. 10倍D. 倍【答案】C【解析】【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，再计算出倍数【详解】由得，所以，所以，所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.故选：C9. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，代入即可求解.【详
6、解】因为，则.故选：D10. 已知函数满足，则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知求出，得表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项【详解】由恬，函数定义域是，在上递减，在上递增故选：C【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断11. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）；函数在处取得极小值，在处取得极大值；函数在处取得极大值，在处取得极小值；函数的最小值为.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由的图像可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递
7、增，再利用极值和最值的定义逐个判断即可【详解】由的图像可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增对于，由题意可得，所以不正确对于，由题意得函数在处取得极大值，在处取得极小值，故不正确对于，由的分析可得正确对于，由题意可得不是最小值，故不正确综上可得正确故选：A【点睛】此题考查由导函数图像判函数的极值和最值，属于基础题.12. 若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，根据的值域是，得到的值域是，再利用二次函数的性质求得a，然后再利用复合函数的单调性求解.【详解】令由于的值域是，所以的值域是因此有，解得这时，由于的单调递减区间是，在R
8、上递减；所以的单调递增区间是答案：A【点睛】方法点睛：1、复合函数 的值域的求法：令，则 的值域即原函数的值域；2、复合函数 的单调性的求法：令，则 ，先求定义域，若这两个函数的单调性相同，则为增函数，在定义域内的增区间为的增区间，在定义域内的减区间为的减区间；若这两个函数的单调性相异，则为减函数在定义域内的增区间为的减区间，在定义域内的减区间为的增区间；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点（0,1）处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程【详解】解：求导函数可得，y（1+x）ex当x0时，y1曲线在点（0，1）
9、处的切线方程为y1x，即故答案为【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题14. 二次函数的图形经过两点，且函数的最大值是5，则函数的解析式是_.【答案】【解析】【分析】根据点，在图象上，所以的图象关于直线对称，又的最大值为5，可设二次函数顶点式，再代值即可得解.【详解】由于点，在图象上，所以的图象关于直线对称，又最大值为5，设，由，得，所以，因此，故答案为：.15. 已知是定义在上的偶函数，并且，当时，则_.【答案】【解析】【分析】先出已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把转化为，进而转化为，把代入即可.【详解】由已知可得，故函数的周期为，所以，为偶函数，则.因此
10、，.故答案为：.【点睛】关于奇偶性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.16. 已知在处有极小值为, 求 _.【答案】15【解析】函数f（x）=x3+ax2+bx+a2f（x）=3x2+2ax+b，又函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10， 当a=4，b=11时， ，f（x）在 在（1，+）f（x）在x=1处取得极小值f（1）=10；当a=3，b=3时，f（x）=3（x1）20，f（x）在R上单增，无极值a=4，b=11；且f（1）=10是极小值此时故答案为15.点睛：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究
11、函数的极值，其中根据已知条件，构造关于a，b的方程，是解答本题的关键，在解答过程中，通过解方程组，可以求出两组满足条件的a，b的值，其中一组可导致f（x）在R上单增，不满足题目要求，要舍去，这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 设，求的值.【答案】【解析】【分析】先根据三角函数的诱导公式化简，再代入求值即可.【详解】原式，所以.故答案为：.18. 已知.（1）若，求函数的最小值及对应的值；（2）若，求函数的最小值和最大值及对应的值.【答案】（1）当时，的最小值为4；（2）当时，的最大值为8；当时，的最小值为4.【解析】【分析】（1）利用配方法可得函
12、数的最小值；（2）由函数的对称轴与区间的关系，可得函数的最值【详解】（1），当时，的最小值为4.（2）的对称轴为，又，由二次函数的图象知，在上单调递减，在上单调递增.又，.19. 设，且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的值域.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式组可得定义域；（2）根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果.【详解】（1），.由，得，函数的定义域为（2），当时，是增函数；当时，是减函数，函数在上的最大值是，函数在上的最小值是，在区间上的值域是.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，复合函数的单调性以及函数的值域等，属于基
13、础题.20. 已知函数（1）求证：在上是单调递增函数；（2）若在上值域是，求a的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1）利用函数单调性的定义，设，再将变形，证明差为正即可；(2）)由(1) 在上是单调递增函数，从而在上单调递增，由可求得a的值.【详解】，在上是单调递增函数，（2）在上是单调递增函数，在上单调递增，所以.【点睛】本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题.21. 季节性服装的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元
14、，直到16周后，该服装不再销售.（1）试建立价格p与周次t之间的函数关系式；（2）若此服装每周进货一次，每件进价Q与周次t之间的关系式为Q0.125(t8)212，t0，16，tN，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？【答案】（1）；（2）第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元.【解析】【分析】（1）设周次为t，对t进行分类研究，根据题意即可列出价格p与t之间的函数关系式；（2）分段由得到销售此服装的利润L与周次t的关系式，然后利用二次函数的单调性分段求最大值，最后取三段中最大值的最大者即可得出答案.【详解】（1）（2）设第t周时每件销售利润为L(t)，则 当t0，5，时，L
15、(t)单调递增，L(t)maxL(5)9125；当t(5，10，时，L(t)maxL(6)L(10)8.5；当t(10，16，时，L(t)单调递减，L(t)maxL(11)7.125.由9.1258.57.125，知L(t)max9.125.从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元.【点睛】本题考查了分段函数的实际应用题，考查了理解辨析和运算求解能力，属于中档题目.22. 设函数，其中（）当为偶函数时，求函数的极值；（）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围【答案】（）极小值，极大值；（）或【解析】【分析】（）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规
16、律，即得极值，（）先分离变量，转化研究函数，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围【详解】（）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. 此时，则.由，解得. 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 所以有极小值，有极大值. （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 对函数求导，得. 由，解得，. 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 又因为，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
