1、第3 讲机械能守恒定律一、重力势能和弹性势能1.重力势能.路径重力势能(1)重力做功的特点.重力做功与_无关，只与初、末位置的高度差有关.重力做功引起物体_的变化.(2)重力势能.举高mgh标量概念：物体由于被_而具有的能.表达式：Ep_.减少减少量矢标性：重力势能是_，正负表示其大小.(3)重力做功与重力势能变化的关系.定性关系：重力对物体做正功，重力势能就_；重力对物体做负功，重力势能就增加.定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的_.即 WG(Ep2Ep1)Ep.重力势能具有相对性，同一物体位于同一位置时，由于选择不同的水平面作为零势能面，其重力势能的数值(包括正、负)也不同.2.弹
2、性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量.弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量_，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大.越大二、机械能守恒定律动能重力1.机械能：_和势能统称为机械能.2.机械能守恒定律的内容：在只有_或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.3.机械能守恒定律的表达式：Ek1Ep1_.Ek2Ep2【基础自测】1.判断下列题目的正误.)(1)被举到高处的物体重力势能一定不为零.(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加.(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能.()(4)弹力做正功弹性势能一定增加.()(5)物体所受的合外力为零，物体的
3、机械能一定守恒.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2.关于机械能是否守恒，下列说法正确的是(A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C.做变速运动的物体机械能可能守恒D.合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒答案：C3.(多选)竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图 5-3-1 所示.则迅速放手后(不计空气阻力)()图 5-3-1A.放手瞬间小球的加速度等于重力加速度B.小球与弹簧与地球组成的系统机械能守恒C.小球的机械能守恒D.小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大解析：放手瞬间小球加速度大于重力加速
4、度，故 A 错误；整个系统(包括地球)的机械能守恒，故 B 正确，C 错误；向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大，故 D 正确.答案：BD4.(多选)如图 5-3-2 所示，在地面上以速度 v0 抛出质量为 m的物体，抛出后物体落到比地面低 h 的海平面上.若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是(A.物体落到海平面时的势能为 mghB.重力对物体做的功为 mgh)图 5-3-2答案：BCD热点1机械能守恒的判断方法热点归纳1.对机械能守恒条件的理解.(1)物体的机械能是物体的势能加上动能，如果物体只受重力作用，物体的机械能守恒，如果物体还受其他
5、力作用，但其他力不做功或做功代数和为零，则物体的机械能也守恒.(2)物体和弹簧组成的系统的机械能包括物体的重力势能、物体的动能和弹簧的弹性势能，如果只有重力和弹簧弹力做功，物体和弹簧组成的系统机械能守恒.2.机械能是否守恒的三种判断方法.【典题1】(多选)如图 5-3-3 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()甲乙丙丁图5-3-3A.图甲中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒B.图乙中，A 置于光滑水平面上，物体 B 沿光滑斜面下滑，物体 B 机械能守恒C.图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时 A 加速下落，B加速上升过程中，A、B 系统机械能守恒D.图丁中，小球沿水平面做匀速
6、圆锥摆运动时，小球的机械能守恒解析：图甲中重力和弹力做功，物体 A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体 A 机械能不守恒，A 错误；图乙中物体 B除受重力外，还受弹力，弹力对 B 做负功，机械能不守恒，但从能量特点看 A、B 组成的系统机械能守恒，B 错误；图丙中绳子张力对 A 做负功，对 B 做正功，代数和为零，A、B 系统机械能守恒，C 正确；图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D 正确.答案：CD易错提醒(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”.(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能
7、必定不守恒.(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断.热点2机械能守恒定律的应用热点归纳1.机械能守恒的三种表达式对比.物理量守恒角度转化角度转移角度表达式E1E2EkEpEA增EB减物理意义系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等物理量守恒角度转化角度转移角度注意事项应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算
8、初、末状态的势能差常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题（续表）2.一般步骤.考向1单个物体的机械能守恒【典题2】(2020 年浙江选考)滑板项目是极限运动历史的鼻祖，在滑板公园里经常看到各种滑板场地，如图 5-3-4 甲所示.现有一个滑板场可简化为如下模型，如图乙所示，由足够长的斜直轨道、半径 R12 m 的凹形圆弧轨道和半径 R23.6 m 的凸形圆弧轨道三部分组成的滑板组合轨道.这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内.其中 M 点为凹形圆弧轨道的最低点，N 点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O 与 M 点在同一水平面上.一可视为质点、质量为 m1 kg 的滑
9、板从斜直轨道上的 P 点无初速度滑下，经 M 点滑向 N 点.在凸形圆弧最右侧距离 L0.9 m 的位置有一个高度 h23 m、倾角为 53的斜面.不计一切阻力，g 取 10 m/s2.求：(1)若 P 点距水平面的高度 h13.2 m，滑板滑至 M 点时，轨道对滑板的支持力大小 FN.(2)若滑板滑至 N 点时对轨道恰好无压力，求滑板的下滑点P 距水平面的高度 H.(3)若滑板滑至 N 点时刚好做平抛运动，滑板能否与右侧斜面发生碰撞(不考虑碰撞后反弹)？若能，请计算出碰撞的具体位置；若不能，请说明理由.甲乙图5-3-4解得 t0.8 s.则碰撞点距离斜面底端的水平距离为 0.3 m，距离斜面
10、底端的高度为 0.4 m.方法技巧(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同.(2)应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同.【迁移拓展】(多选，2020年江苏广陵扬州中学月考)竖直平面内的四个光滑轨道，由直轨道和平滑连接的圆弧轨道组成，圆轨道的半径为 R，P 为圆弧轨道的最低点.P 点左侧的四个轨道均相同，P 点右侧的四个圆弧轨道的形状如图所示.现让四个相同的小球(可视为质点，直径小于图丁中圆管内径)分别从四个直轨道上高度均为 h 处由静止下滑，关于小球通过 P 点后的运动情况，下列说法正确的是()甲乙丙丁图5-3
11、-5最大高度等于R；甲、丁两图中的小球上升的最大高度不可能52大于 2R；丙图小球离开轨道，最高点速度不为零，上升的最大高度小于 2R.所以乙图中小球能达到的高度最大，故 C 正确；若 h2R，图丁中的小球到达圆管轨道最高点的速度恰为零，而对圆管轨道来说，下部有轨道支撑，到达最高点的速度为零，所以小球能到达圆管道的最高点，故 D 错误.答案：AC考向2用机械能守恒定律解决非质点问题【典题3】如图 5-3-6 所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道，若列车全长为 L(L2R)，R 远大于一节车厢的长度和高度，
12、那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计，重力加速度为 g).图 5-3-6【迁移拓展】如图 5-3-7 所示，粗细均匀、两端开口的 U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为 h，管中液柱总长度为 4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为()图5-3-7答案：A方法技巧在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将会发生形变，其重心位置相对物体也会发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒.一般情
13、况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初末状态物体重力势能的变化列式求解.热点3含弹簧类机械能守恒问题热点归纳1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.2.在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大.3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放).【典题 4】(2020 年福建厦门检测)如图 5-3-8 所示，一劲度系数为k100 N/m
14、的轻弹簧下端固定于倾角为53的光滑斜面底端，上端连接物块 Q.一轻绳跨过定滑轮 O，一端与物块 Q连接，另一端与套在光滑竖直杆的物块 P 连接，定滑轮到竖直杆的距离为 d0.3 m.初始时在外力作用下，物块 P 在 A 点静止不动，OQ 段轻绳与斜面平行，绳子张力大小为 50 N.已知物块P 的质量为 m10.8 kg，物块 Q 的质量为 m25 kg，不计滑轮大小及摩擦作用，取 g10 m/s2，sin 530.8，cos 530.6.现将物块 P 由静止释放，求：(1)物块 P 位于 A 时，弹簧的伸长量 x1.(2)物块 P 上升 h0.4 m 至与滑轮 O 等高的 B 点时的速度大小.
15、(3)物块 P 上升至 B 点过程中，轻绳拉力对其所做的功.图 5-3-8方法技巧一般来说，我们说一个物体的机械能就是这个物体的重力势能和动能，物体和弹簧组成的系统的机械能包括重力势能、弹性势能和动能.【迁移拓展】(多选，2018届四川乐山第二次调研)如图5-3-9所示，在固定倾斜光滑杆上套有一个质量为 m 的圆环，杆与水平方向的夹角30，圆环与竖直放置的轻质弹簧上端相连，弹簧的另一固定在地面上的 A 点，弹簧处于原长 h，让圆环沿杆由静止滑下，当圆环下滑到杆的底端时速度恰为零，则在圆环下滑过程中()图 5-3-9D.弹簧转过60角时，圆环的动能为mghA.圆环和地球组成的系统机械能守恒B.当
16、弹簧垂直于光滑杆时圆环的动能最大C.圆环在底端时，弹簧的弹性势能达最大为 mgh12解析：在圆环下滑过程中，弹簧的拉力对圆环做功，所以圆环和地球组成的系统的机械能不守恒，A 错误；当圆环沿杆的加速度为零时，其速度最大，动能最大，此时弹簧处于伸长状态，给圆环一个斜向左下方的拉力，B 错误；圆环和地球以及弹簧组成的系统机械能守恒，根据系统的机械能守恒，圆环答案：CD机械能守恒定律在绳(杆)连接体模型中的应用多个物体机械能守恒问题根据物体间的关联方式，常见“轻绳连接”和“轻杆连接”两种类型.常见情景模型提醒(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等.(2)用好两物体的位移大小关系或
17、竖直方向高度变化的关系.(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒模型一“轻绳连接”的多物体系统【典题5】(2020 年山东滨州联考)如图 5-3-10 所示，A、B、C 三个小球(均可视为质点)用轻绳(足够长)通过轻小滑轮对称连接，A、B 的质量均为 m，当连接小球 C 的轻绳与竖直方向的夹角为60时，整个装置处于静止状态.现在外力作用下将小球C 竖直向下缓慢拉动至虚线位置，此时连接小球 C 的轻绳与竖直方向的夹角为30，然后撤去外力，不计一切阻力，整个装置处于竖直面内，左右滑轮到竖直中线的距离为 d0.3 m，取 g10 m/s2.求：(1)
18、小球 C 的质量 M.(2)撤去外力后 C 向上运动的过程中，当连接物体 C 的轻绳与竖直方向的夹角变为时，小球 C 的速度大小 v.图 5-3-10解：(1)由题知，当连接小球 C 的轻绳与竖直方向的夹角为60时，整个装置处于静止状态，则对A受力分析，根据平衡条件有绳的拉力 Fmg，对 C 受力分析，根据平衡条件有 2Fcos Mg，联立解得 Mm.(2)设撤去拉力后，小球 C 上升的高度为 H，小球 A、B 下降的高度为 h，根据几何关系有 Hdtan dtan，h dsin dsin ，设小球 A、B 的速度为 v1，把小球 C 的速度按沿着绳子和垂直绳子分解，则有 v1vcos，根据系
19、统机械能守恒得，常见情景模型特点(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等.(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不一定守恒.(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒模型二“轻杆连接”的多物体系统【典题6】(2019 年湖南十校联考)如图 5-3-11 所示，半径为 R 的光滑圆环竖直放置，直径 MN 沿竖直方向，环上套有两个小球 A 和 B，A、B 之间用一长为的轻杆相连，小球可以沿环自由滑动，开始时杆处于水平状态，已知 A 的质量为 m，重力加速度为 g.(1)若 B 球质量也为 m，求此时杆对B 球的弹力大小.(2)若 B 球的质量为 3m，由静止释放轻杆，求 B 球由初始位置到达 N 点的过程中，轻杆对 B 球所做的功.图 5-3-11图 D44方法技巧(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒.(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
