1、安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二数学秋季联赛试题 文本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第3页，第卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认
2、后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，其中（8）、（10）、（12）为选考题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知全集为，集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）（2）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）（A）（B）（C）（D）（3）设，则（ ）（A）（B）（C）（D）（4）在所在平面中，点O满足，则（ ）（A）（B）（C）
3、（D）（5）已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）（6）有四个命题：（1）对于任意的、，都有；（2）存在这样的、，使得；（3）不存在无穷多个、，使得；（4）不存在这样的、，使得.其中假命题的个数是（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4（7）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，则c的最大值为（ ）（A）2（B）1（C）（D）3（8）【选考必修2】已知点关于直线：的对称点为A，设直线经过点A，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【选考必修3】如图所示的程序框图模型，则输出的结果是（ ）（A）11（B）10（C）9（D
4、）8（9）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）（A）（B）（C）（D）1（10）【选考必修2】实数且，则连接，两点的直线与圆C：的位置关系是（ ）（A）相离（B）相切（C）相交（D）不能确定【选考必修3】2021年开始，部分省市将试行“”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）（A）甲的物理成绩领先年级平均分最多（B）甲的成绩从高到低的前3
5、个科目依次是化学、物理、生物（C）甲有3个科目的成绩高于年级平均分（D）对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果（11）已知的面积为m，内切圆半径也为m，若的三边长分别为a，b，c，则的最小值为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）（12）【选考必修2】如图，在棱锥中，底面是正方形，平面.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）（A）（B）（C）2（D）【选考必修3】2020年6月9日，安徽省教育厅宣布，为应对7月高考、中考期间高温天气，给学生创造舒适考场环境，全部地市将在中考、高考考场安装空调.某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利
6、500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每台空调器仅获利润200元.该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元）.则当周的平均利润为（ ）（A）10000元（B）9400元（C）8800元（D）9860元（在此卷上答题无效）绝密启用前安徽省示范高中培优联盟2020年秋季联赛（高二）数学（文科）第卷（非选择题 共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水
7、签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二、填空题（本大题共4小题，其中（16）为选考题.每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）（13）方程解为_.（14）已知平面向量，则在方向上的投影为_.（15）若对于，不等式有解，则正实数m的取值范围为_.（16）【选考必修2】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体.如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为1，则这个半正多面体的体积为_.【选考必修3】明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一
8、年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在大圆内随机取一点，则落在黑色区域的概率为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本题为选考题，必修2、必修3任选一题，本题满分10分）【选考必修2】在平行四边形中，过A点作的垂线交的延长线于点E，.连结交于点F，如图1，将沿折起，使得点E到达点P的位置.如图2.（）证明：；（）若G为的中点，H为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积.
9、【选考必修3】习近平总书记在2020年新年贺词中强调，2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标，2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.安徽省某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（图中所示纵坐标均为相应小矩形的高）（）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（）（i）2019年7月，为估计该地区能否在2020年
10、全面实现小康，统计了该地区当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码x）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；（ii）由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收入均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收入均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由.参考数据和公式：；线性回归方程中，.（18）（本小题满分12分）已知集合，
11、函数的定义域为B.（）求，；（）已知集合，若，求实数m的取值范围.（19）（本小题满分12分）已知函数，直线（）与函数，的图象分别交于M、N两点.（）当时，求的值；（）求在时的值域.（20）（本小题满分12分）已知公比的等比数列的前n项和为，且，.设（）.（）求，；（）设，若对都成立，求正整数的最小值.（21）（本小题满分12分）已知函数，其中，若，且的最小值为.（）求的解析式；（）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，求的取值范围（22）（本小题满分12分）宋史外国传六天竺国：“福慧圆满，寿命延长.”杨朔滇池边上的报春花：“只有今天，古人追求不到的圆满东西，我们可以追求到了.”
12、若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“圆满函数”.（）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（）若函数在定义域（）上是“圆满函数”，求的取值范围.安徽省示范高中培优联盟2020年秋季联赛（高二）数学（文科）参考答案及评分标准题号123456789101112答案CDAACCABDBBD13【答案】1或10014【答案】15【答案】16【必修2】【答案】【必修3】【答案】1【答案】C【解析】依题意，故，故选C.2【答案】D【解析】为角终边上一点，.，故选D.3【答案】A【解析】由于，又在上单调递增，所以，故选A.4【答案】A【解析】由可知O三角形的重心，则
13、.故选：A.5【答案】C【解析】若是上的增函数，则应满足解得.故选C.6【答案】C【解析】由，得，（）或（），因此，存在无穷多个、，使得.对于任意的、，都有故错，对.故选：C.7【答案】A【解析】解：因为，所以，所以，因为B为的内角，所以当时，c取最大值2.故选：A8【选考必修2】【答案】B【解析】易知.设点到直线的距离为d，当时取得最大值，此时直线垂直于直线，又，所以直线的方程为，即.故选B.【选考必修3】【答案】B【解析】由程序框图知，时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；程序运行结束，输出的结果是.故选B.9【答案】D【解析】在等差数列中，由，得，在等比数列中，由，
14、得，则.故选：D.10【选考必修2】【答案】B【解析】由题意知，m，n是方程的根，过，两点的直线方程为：，圆心到直线的距离为：，故直线和圆相切，故选：B【选考必修3】【答案】B【解析】由雷达图可知，甲的物理成绩领先年级平均分约为1.5，化学成绩领先年级平均分约为1，生物成绩约等于年级平均分，历史成绩低于年级平均分，地理成绩领先年级平均分约为1，政治成绩低于年级平均分，故A、C、D正确；而甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），故B选项错误.故选：B.11【答案】B【解析】因为的面积为m，内切圆半径也为m，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3.故选B.
15、12【选考必修2】【答案】D【解析】由平面，又，所以平面，所以，设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接，、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积，四棱锥的表面积，因为，所以.故选：D【选考必修3】【答案】D【解析】由，故.（元）.故选：D13【答案】1或10014【答案】【解析】设与的夹角为，所以，在方向上的投影为.故答案为：.15【答案】【解析】，当时，等号成立，若不等式有解，则故答案为：16【选考必修2】【答案】【解析】由愿意可知，原正四面体的核长为3，则这个半正多面体的体积为.故答案为：.【选考必修3】【答案】【解析】设大圆面积为，小圆面积，则
16、，.则黑色区域的面积为，所以落在照色区域的概容为.故管案为：17【选考必修2】【解析】（）证明：如图1，在中，所以.所以也是直角三角形， ，如图题2，从而平面，又平面，所以.（）解法一：平面平面，且平面平面，平面，平面.取的中点为O，连结，则，平面，即为三棱锥的高. .，.解法二：平面平面，且平面平面，平面，平面.G为的中点，三棱锥的高等于.H为的中点，的面积是四边形的面积的，三棱锥的体积是四棱锥的体积的.，三棱锥的体积为.【选考必修3】【解析】（）由频率之和为1可得：家庭人均年纯收入在的频率为0.18，所以频率分布直方图如下：中位数为：元，（或：设中位数为x，则，解得：）平均数元（）解：由题
17、意得：， 所以： 所以回归直线方程为：解：设y为2020年该家庭人均月纯收入，则，14，15时，即2020年前三月总收入为：元；当，17，24时，即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760，984，构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为所以2020年该家庭总收入为：，所以该家庭2020年能达到小康标准18【解析】（）解不等式，即，解得，得.对于函数，解得，则，则；（）当时，得到，符合题意；或时，或，解得或综上所述，实数用的取值范围是19【解析】（）直线（）与函数，的图象分别交于M、N两点.当有，.（），的值域为.20【解析】（）数列的公比为q，则由，得：
18、，因为，所以.又，从而，（）故不等式等价于对都成立，令，令，得；令，得，所以当时，；当时，故，21【解析】（），得，由，得，的最小值为，则函数的最小正周期为，则，因此，；（），所以，B为钝角，A为锐角，可得，则，解得由正弦定理得，则，由题意得，即，解得，则，.因此，的取值范围是22【解析】（）函数不是“圆满函数”，理由如下：若是“圆满函数”.取，存在，使得，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圆满函数”注：只要反例举得恰当，即可得分.（）在上单调递增，取，则存在，使得，.如果，取，则存在，使得，.因为在上单调递增，所以.所以又，所以，上式与之矛盾，所以假设不成立，所以.即，即，整理得.因为，所以，.又，所以m的取值范围是.因为，所以的取值范围是.