1、第十一篇计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理知 识 梳 理1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一
2、种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成辨 析 感 悟1两个计数原理的理解(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()2两个计数原理的应用(5)(教材习题改编)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有10种()(6)用数字2,
3、3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有14个()感悟提升1两点区别一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”，如(1)、(2)二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成”，如(3)、(4)2两点提醒一是分类时，标准要明确，应做到不重不漏；可借助几何直观，探索规律，如(5)二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取，如(6)中2,3可重复但至少各出现一次.考点一分类加法计数原理【例1】 (2
4、013福建卷改编)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_解析由于a，b1,0,1,2(1)当a0时，有x为实根，则b1,0,1,2有4种可能；(2)当a0时，则方程有实根，44ab0，所以ab1.(*)当a1时，满足(*)式的b1,0,1,2有4种可能当a1时，b1,0,1，有3种可能当a2时，b1,0，有2种可能由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有443213(个)答案13规律方法 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的
5、任何一种方法必须属于某一类.【训练1】 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_解析赠送一本画册，3本集邮册，需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C种方法赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画册，其余2人送邮册，有C种方法由分类加法计数原理，不同的赠送方法有CC10(种)答案10种考点二分步计数原理【例2】 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共
6、有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有A2112(种)不同的排列方法答案12种规律方法 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成【训练2】 将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有_解析因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色故有3216种涂色方案答案6种考点三两个计数原
7、理的综合应用【例3】 (2014济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_.14523审题路线由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因此应按区域1和区域3是否同色分类求解解析按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3涂同色，共有4A24种方法(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法这时
8、共有A21372种方法，故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为247296.答案96规律方法 (1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色【训练3】 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为_解析若a22，则“凸数”为120与121，共122个若a23，则“凸数”有236个若a24，满足条件的“凸数”有3412个，若a29，满足条件的“凸数”有8972个所有凸数有26122030425672240(个)答案2401分类加法计数原理与
9、分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”2(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步3若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步 创新突破8与计数原理有关的新定义问题【典例】 (2012湖北卷)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个：11,22,33
10、，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.(*)则：(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个(*)突破：由(*)式，理解“特殊”背景回文数的含义，借助计数原理计算结合(*)，可从2位回文数，3位回文数，4位回文数探索求解方法，从特殊到一般发现规律解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法共计91090(种)填法，即4位回文数有90个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格由计数原理，共有910n种填空答案(1)90(2)910n反思感悟 (1)一题两问，以“回文数”为新背景，考查
11、计数原理，体现了化归思想，将确定回文数的问题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决(2)从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确【自主体验】1(2014扬州调研)从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_种解析从男生中抽取1人有4种方法从女生中抽取两人有C28种方法由分步乘法计数原理，共有284112种方法答案1122(2013山东卷改编)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_解
12、析0,1,2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，有重复数字的三位数有900648252(个)答案252基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有_解析按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有
13、53444960(种)答案960种2(2012新课标全国卷改编)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有_解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2种选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C6种选派方法由分步乘法计数原理，不同选派方案共有2612(种)答案12种36位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有_解析第一步先排甲，共有A种不同的排法；第二步再排其他人，共有A种不同的排法因此不同的演讲次序共有AA480(种)答案480种4从集合
14、1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9；把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，所求的数列共有2(211)8(个)答案85集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是_解析当x2时，xy，点的个数为177(个)当x2时，由PQ，xy.x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法因此满足条件的点共有7714(个)答案146从班委会5名成员中
15、选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336(种)答案367如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432个；第二类，有两条公共边的三角形共有8个由分类加法计数
16、原理知，共有32840(个)答案4088名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有_场比赛解析小组赛共有2C场比赛；半决赛和决赛共有224场比赛；根据分类加法计数原理共有2C416(场)比赛答案16二、解答题9电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解(1)幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星
17、，再在两箱内各抽一名幸运观众有30292017 400种(2)幸运之星在乙箱中抽取，有20193011 400种共有不同结果17 40011 40028 800(种)10“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”解渐升数由小到大排列，形如12的渐升数共有65432121(个)形如134的渐升数共有5个形如135的渐升数共有4个故此时共有215430(个)因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在
18、每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为_解析可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有431336种种法；当C与A所种花不同时，有432248种种法由分类加法计数原理，不同的种法种数为364884.答案842在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为_解析若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C.由分类加法计数原理知满足条件的信息个数为1CC11.答案113如
19、图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种解析四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1、4都通，2和3至少有一个通时线路才通共有3种可能故不通的情况有24313(种)可能答案13二、解答题4用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色(1)若n6，为着色时共有多少种不同的方法？(2)若为着色时共有120种不同的方法，求n.解(1)分四步：第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同
20、的方法根据分步乘法计数原理，共有6544480种不同的方法(2)由题意，得n(n1)(n2)(n3)120，注意到nN*，可得n5.学生用书第157页第2讲排列与组合知 识 梳 理1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且
21、mn)特别地C1.性质(1)0！1；An！.(2)CC；CCC.辨 析 感 悟1排列与组合的基本概念、性质(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()2排列与组合的应用(4)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有AAA72种()(5)(教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有343A168(个)()(6)(2013北京卷改编)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是4A96种()感悟
22、提升1一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序2求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘”考点一排列应用题【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解(1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A种排法由分步乘法计数原理
23、，有AA720种不同排法(2)先将男生排好，共有A种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A种方法故符合条件的排法共有AA1 440种不同排法(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档及两边有A种排法总共有AAA960种不同排法.学生用书第158页规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用
24、捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法【训练1】 (1)(2014济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_(结果可不化简)(2)(2013四川卷改编)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是_解析(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种(2)由于lg alg blg(a0，b0)，lg有多少个不同的值，只需看不同值的个数从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数有A218
25、.答案(1)(3！)4(2)18考点二组合应用题【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解(1)一名女生，四名男生故共有CC350(种)(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165(种)(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有：CCCC825(种)或采用排除法：CC825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法
26、为：CCCCC966(种)(5)分两类：第一类女队长当选：C；第二类女队长不当选：CCCCCCC.故选法共有：CCCCCCCC790(种)规律方法 组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解【训练2】 若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_解析满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C5(种)；二
27、是两个奇数和两个偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC60(种)；三是取4个偶数的取法有1种所以满足条件的取法共有560166(种)答案66种考点三排列、组合的综合应用【例3】 (1)(2013浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)(2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_审题路线(1)选出3个位置排特殊元素A、B、C，并把元素A、B作为元素集团进行排列；(2)可将4名同学分成两组(每组2人)，再分配到两个班级解析(1
28、)先将A，B视为元素集团，与C先排在6个位置的三个位置上，有CAC种排法；第二步，排其余的3个元素有A种方法由分步乘法计数原理，共有CACA480种排法(2)法一将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A种所以不同的安排方法有CA种，即45种法二先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCAC种，即45种答案(1)480(2)45规律方法 (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)
29、不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法【训练3】 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选数字0时，再从1,3,5中取出2个数字排在个位与百位排成的三位数的奇数有CA6个当取出数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列排成的三位数的奇数有CAA12个由分类加法计数原理，共有18个三位数的奇数答案181熟练掌握：(1)排列数公式A；(2)组合数公式
30、C，这是正确计算的关键2解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义3排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏 学生用书第159页易错辨析6实际意义理解不清导致计数错误【典例】 (2012山东卷改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_错解第一类
31、，含有一张红色卡片，取出红色卡片有C种方法，再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一张卡片有CCC种方法因此满足条件的取法有CCCC192种第二类，不含有红色卡片，从其余三色卡片中各取一张有CCC64种取法由分类计数原理，不同的取法共有19264256种答案256错因错解的原因是没有理解“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种颜色不同”正解第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC264(种)第二类，不含有红色卡片，不同的取法C3C22012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法共有264208472(种)答案472防范措施(1)准确理解题意，抓住关键字词的含义，“3张卡片不能是
32、同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求(2)选择恰当分类标准，避免重复遗漏，出现“至少、至多”型问题，注意间接法的运用【自主体验】1(2013大纲全国卷改编)有5人排成一行参观英模事迹展览，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)解析先把除甲、乙外的3人全排列，有A种，再把甲、乙两人插入这3人形成的四个空位中的两个，共A种不同的方法所有不同的排法共有AA72(种)答案722如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个解析第一类：恰有三个相同的数字为1，选2,3,4中的一个数字排在十、百
33、、千位的一个位置上，有CA种方法，四位“好数”有9个第二类：相同的三个数字为2,3,4中的一个，这样的四位“好数”为2221,3331,4441共3个由分类加法计数原理，共有“好数”9312个答案12基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为_解析从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，即有圆CC153个答案532若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有_个解析分
34、类讨论：若十位数为6时，有A20个；若十位数为5时，有A12个；若十位数为4时，有A6个；若十位数为3时，有A2个，因此一共有40个答案403将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为_解析四名学生中有两名学生恰好分在一个班，共有CA种分法，而甲、乙被分在同一个班的有A种，所以不同的分法种数是CAA30.答案304某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城
35、市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法由分类加法计数原理知共ACA60(种)方法答案605一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为_解析两名女生站一起有A种站法，她们与两个男生站一起共有AA种站法，老师站在他们的中间则共有AAC24(种)站法答案246(2013大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)解析依题意，所有的决赛结果有CCC6160(种)答案607(2014杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有_种解析分
36、两步：先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A种依分步乘法计数原理，共有NCA36(种)答案368在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有_个解析在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA36(个)答案36二、解答题9四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数有多少个？解先在后三位中选两个位置填写数字“0”有C种方法，再排另两张卡片有A种方法又数
37、字“9”可作“6”用，四张卡片组成不同的四位数有2CA12个10四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？解(1)每个盒子放一球，共有A24种不同的放法；(2)法一先选后排，分三步完成第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；第二步：选两球为一个元素，有C种选法；第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法故共有4CA144种放法法二先分组后排列，看作分配问题第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法；第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C(即)种分法；第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种分法故共有CC
38、A144种分法能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有_种解析程序A有A2种结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有AA48种，由分步加法计数原理，实验编排共有24896种方法答案962(2014济南调研)已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为_解析(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为CA.(2)当从集合B中取元素1，且从C中取
39、元素1，则确定的不同点有C1C.(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个由分类加法计数原理，共确定不同的点有CACCA33(个)答案333(2013重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)解析按选派的骨科医生的人数分类：选1名骨科医生，则有C(CCCCCC)360(种)，选2名骨科医生，则有C(CCCC)210(种)，选3名骨科医生，则有CCC20(种)，骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.答案590二、解答题4直线x1
40、，yx，将圆x2y24分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C种方法；第2步，涂B区域有C种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C种涂法，则D区域有C种涂法故共有CC(4CC)260种不同的涂色方法法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有CA种涂法；第2类，用五色中三种色，共有CCCA种涂法；第3类，用五色中四种色，共有CA种涂法由分类加法计数原理，共有CACCCACA260(种)不同的涂
41、色方法.学生用书第160页第3讲二项式定理知 识 梳 理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，C2.二项式系数的性质(1)0kn时，C与C的关系是CC.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCCCCC2n1.辨 析 感 悟1二项式定理的理解(1)Canrbr是(ab)n的展开式中的第r项()(2)在(1x)9的展开式中系
42、数最大的项是第5项和第6项()(3)(教材习题改编)在6的二项展开式中，常数项为160.()2二项式系数的性质(4)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()(6)(2013安徽卷改编)若n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且x4的系数为7，则实数a.()感悟提升1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr1Canrbr是展开式的第r1项，不是第r项，如(1)2二项式系数与展开式项的系数的异同一是在Tr1Canrbr中，C是该项的二项
43、式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，如(2)就是混淆两个概念的区别二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大，如(6)；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.考点一通项公式及其应用【例1】 (1)(2013浙江卷)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.(2)(2013新课标全国卷改编)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于_解析(1)Tr1C()5rrC(1)rx，令r0，得r3，AC10.(2)(1ax)(
44、1x)5(1x)5ax(1x)5，又(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx，T3Cx2.展开式中x2的系数为CaC5，a1.答案(1)10(2)1规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解【训练1】 (1)(2013大纲全国卷改编)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_(2)
45、设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_解析(1)(1x)8的通项为Cxk，(1y)4的通项为Cyt，(1x)8(1y)4的通项为CCxkyt，令k2，t2，得x2y2的系数为CC168.(2)6展开式的通项Tr1(a)rCx6r，A(a)2C，B(a)4C，由B4A，得(a)4C4(a)2C，解之得a2.又a0，所以a2.答案(1)168(2)2学生用书第161页考点二二项式系数的性质与各项系数和【例2】 (1)(2014青岛模拟)设(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是_(2)若n的展开式中第3项与第7项的二
46、项式系数相等，则该展开式中的系数为_审题路线(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解(2)根据二项式系数性质，由CC，确定n的值，求出的系数解析(1)(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，则(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6的展开式系数最大项为T4Cx320x3.(2)由题意知，CC，n8.Tr1Cx8rrCx82r，当82r2时，r5，的系数为CC56.答案(1)20x3(2)56规律方法 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求解过
47、程中，常因把n的等量关系表示为CC，而求错n的值(2)求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，1.【训练2】 (1)二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_(2)若(12x)2014a0a1xa2x2a2014x2014(xR)，则的值为_解析(1)由二项式系数的性质，得n10，Tr1C()10rr2rCx5r，令5r0，则r2，从而T34C180.(2)令x0，得a0(10)20131.令x，则a00，1.答案(1)180(2)1考点三二项式定理的应
48、用【例3】 (2012湖北卷改编)设aZ，且0a0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为_解析当x0时，f(x)0，所以ff(x)f()6，Tr1Cx(6r)(x)r(1)rCx3，由r30，得r3.所以ff(x)表达式的展开式中常数项为(1)3C20.答案202若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tr1C(1x)r(1)5r，T4C(1)2(1x)310(1x)3，a310.答案103若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.解析令x1，则
49、a0a1a2a1236，令x1，则a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，则a01，a2a4a121364.答案364二、解答题4已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值解5展开式的通项为Tr1C5rr5rCx，令205r0，得r4，故常数项T5C16.又(a21)n展开式的各项系数之和为2n，由题意得2n16，n4.(a21)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C(a2)254，解得a.方法强化练计数原理(对应学生用书P359)(建议用时：60分钟)一、填空题1A，B，C，D，E五人并排站成一排，如
50、果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有_解析可先排C，D，E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A60种答案60种2(2014重庆质检)(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于_解析(13x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.由两项的系数相等得C35C36，解得n7.答案73(2014济南调研)只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有_解析由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第
51、一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法故共可组成33218个不同的四位数答案18个4组合式C2C4C8C(2)nC的值等于_解析在(1x)nCCxCx2Cxn中，令x2，得原式(12)n(1)n.答案(1)n5若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为_解析由题意知C15，所以n6，则n6，令x1得所有项系数之和为6.答案6(2014杭州检测)甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有_解析甲、乙各选两个景点有
52、CC9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种满足条件要求的选法共有936(种)答案6种7若(x1)8a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，则a6_.解析(x1)8(x1)28a0a1(1x)a2(1x)2a8(1x)8，a6C(2)24C112.答案1128(2014长沙模拟)已知x，y满足(xZ，yZ)，每一对整数(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为_解析如图所示，阴影中的整点部分为x，y满足的区域，其中整数点(x，y)共有8个，从中任取3个有C56种取法其中三点共线的有1C11(种)故可作不同的圆的个数为45.答案459(2014广州调研)已知a
53、2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为_解析a2cosdx2sin2，则55，Tr1Cx2(5r)r(2)rCx103r.令103r1，得r3.展开式中x的系数为(2)3C80.答案8010(2014衡水中学模拟)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_解析先将3,5排列，有A种排法；再将4,6插空排列，有2A种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C种排法由分步乘法计数原理知，共有A2AC40种答案4011.n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中二项式系数最大的项等于_解析依题意，令x
54、1，有3n729，则n6，展开式第4项的二项式系数最大，则T4C(2x)33160x2.答案160x212(2014郑州调研)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有_种解析甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法将丙、丁插在3个空档中有A种方法由分步计数原理，共有AAA24种排法答案2413(2013新课标全国卷)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m_.解析由二项式系数的性质，得aC，
55、bCC，又13a7b，因此13C7C，解得m6.答案614甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有ACCCC210126336(种)答案33615(2014无锡质检)(x22)5的展开式的常数项是_解析二项式5展开式的通项为：Tr1C5r(1)rCx2r10(1)r.当2r102，即r4时，有x2Cx2(1)4C(1)45；当2r100，即r5时，有2Cx0(1)52.展开式中的常数项为523.答案316将6位
56、志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有_解析将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有15645种分组方法将四组分赴四个不同场馆有A种方法根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45A1 080种方法答案1 080二、解答题17已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C3
57、2470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.(2)CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11，T11C2210x1016 896x10.18(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A24种(2)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C242种；若分配到3所学校有C35种共有7423584种方法法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C84种不同方法所以名额分配的方法共有84种.