1、第二章2. 2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.BC.D解析：由题意，知a259，解得a2，e.答案：C2双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率的值为()A.BC.D2解析：由已知得，所以，2，故，即，所以e.答案：C3双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()Ay23x236Bx23y236C3y2x236D3x2y236解析：椭圆4x2y264即1，焦点为(0，4)，离心率为，所以双曲线的焦点在y轴上，c4，e，所以a6，b212，所以双曲线方程为y23
2、x236.答案：A4双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A.BC.D解析：如图，在RtMF1F2中，MF1F230，F1F22c，MF1c，MF22ctan 30c，2aMF1MF2ccce，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.解析：利用共渐近线方程求解与双曲线1有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165.则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.
3、答案：126已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析：由题意知双曲线的焦点为(，0)，(，0)，即c，又因为双曲线的离心率为，所以a2，故b23，双曲线的方程为1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)7根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过P(3，)，离心率为；(2)过点P，一条渐近线与直线2x3y10平行解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)e，2即a2b2.又过点P(3，)有：1，由得：a2b24，双曲线方程为1，若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)同理有：a2b2，
4、1，由得a2b24(不合题意，舍去)综上，双曲线的标准方程为1.(2)方法一：若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为1(a0，b0)，由已知得渐近线方程为yx，故，又P在双曲线上，1，可解得a218，b28.所求双曲线方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为1(a0，b0)，由于易知其渐近线方程为yx，又双曲线过点P，所以1，解得a28，b218，不合题意综上可知，所求双曲线的标准方程为1.方法二：易知双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(0)，将代入方程，得2，故所求方程为1.8点P是双曲线C1：1(a0，b0)和圆C2：x2y2a2b2的一个交点，且有2PF1F2PF2F1，其中F1
5、，F2是双曲线C1的左右两个焦点，求双曲线C1的离心率解析：圆的半径rc，圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径F1PF290.2PF1F2PF2F1，PF1F230，PF2F160.在RtF1PF2中，|F1F2|2c，故|PF1|c，|PF2|c，又点P在双曲线上，且在双曲线右支上|PF1|PF2|cc2a，e1. 9(10分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：；(3)求F1MF2的面积解析：(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.