1、辽宁省凌源市第二高级中学2019-2020学年高二数学第四次网上测试试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.仿答题卡模板自制答题卡，务必把自己班级、姓名、考号写在答题卡上.2认真审题，规范答卷，数字符号力求规范，表述语言流畅，书写字迹工整，减少涂改.3.遵守时间、诚信答卷，真实检测自己学习现状，杜绝查阅资料或抄袭.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出集合A、B，从而求出即可.【详解】由已知可得，则.故选：D.【点睛】本题考查了集合
2、的运算，考查二次不等式的求解以及二次根式的性质，是一道基础题.2.（ ）A. B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由复数的运算法则可得：.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程3.已知命题：角的终边在直线上，命题：，那么是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】对命题根据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案.【详解】角的终边在直线上或，故是的充分必要条件，故选：C.【点睛】本题考查了
3、终边相同的角的概念，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.4.函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间5.下列求导计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数求导法则得到相应的结果.【详解】A选项应为，C选项应为，D选项应为.故选B【点睛】这个题目考查了函数的求导运算，牢
4、记公式，准确计算是解题的关键，属于基础题.6.九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A. 2.6天B. 2.2天C. 2.4天D. 2.8天【答案】A【解析】【分析】设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为，其前n项和为An莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得
5、出【详解】设蒲的长度组成等比数列an，其a13，公比为，其前n项和为An莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn则An，Bn，由题意可得：，化为：2n7，解得2n6，2n1（舍去）n126估计2.6日蒲、莞长度相等，故选A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角.【详解】解：由得：，且，解得，.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角
6、的求解，考查学生计算能力，是中档题.8.已知等差数列的公差不为零，其前项和为，若，成等比数列，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，得，利用等差数列的求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，知，成等比数列，所以，即，整理得，所以，解得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取
7、轴上的单位向量，则轴与平面所成的角的大小，由公式可求解.【详解】解：设轴与平面所成的角的大小为，在轴上的单位向量，平面的一个法向量为，故选：B【点睛】本题考查用向量方法求线面的夹角，属于基础题.10.若函数在上的非单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得有2个不同实数解，结合二次函数的性质即可求解.【详解】若函数是上非单调函数，又，则，.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的条件的应用，属于基础试题.11.三棱锥中，互相垂直，是线段上一动点，若直线与平面所成的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的体积是（ ）A. B. C.
8、 D. 【答案】D【解析】【分析】互相垂直，是线段上一动点，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大，通过最大值求出，三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥的外接球的直径，即可得出结论.【详解】是线段上一动点，连接，互相垂直，就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大.此时，在直角中，.三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为.三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的体积为.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.12.已知函数，若对，都有成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
9、】C【解析】【分析】通过变形可将问题转化为对，单调递减；即在上恒成立；通过分离变量的方式可求得的取值范围.【详解】由且得：对，都有令，则则只需对，单调递减即可即在上恒成立 令，则当时，则在上单调递减当时，则在上单调递增 本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围问题，关键是能够将原题中的恒成立的关系转化为函数单调性的问题，从而通过分离变量的方式来求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的标准差是_.【答案】10【解析】【分析】根据方差与标准差的定义与性质，计算即可.【详解】解：一组数据
10、的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是.故标准差为10.故答案为：10.【点睛】本题考查了方差与标准差的定义与性质的应用问题，是基础题.14.已知函数的图像在点处的切线过点，则_【答案】【解析】【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值【详解】，又因为，切点是，切线方程是：，.故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题15.若函数满足，则当趋向于0时，趋向于_【答案】-12【解析】【分析】由当趋向于时，再根据的定义和极限的运算，即可求解【详解】当趋向于时，因为，则，所以【点睛
11、】本题主要考查了导数的概念，以及极限的运算，其中解答中合理利用导数的概念与运算，以及极限的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题16.点是抛物线的两点，是抛物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为_.【答案】1【解析】【分析】设，由题意得与关系，在三角形中由余弦定理得与的关系，求出比值，由均值不等式求出最大值.【详解】设，则，当且仅当时取等号.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，考查学生计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调
12、区间.【答案】（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重
13、考查了推理与运算能力，属于基础题.18.在锐角中，角对应的边分别是且.（1）求角的大小；（2）若的面积，.求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合A的范围，可求A的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，从而解得的值，由余弦定理可求的值，由正弦定理可求的值.【详解】解：（1）因为.，可得：，解得：或，为锐角三角形，；（2），可得，又，可得：，在中，由余弦定理可，在中，由正弦定理可知：，可得：.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
14、.19.已知函数，的图像在点处的切线为（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）求导得到，根据解得答案.（2）令，求导得到，得到函数的单调区间，再计算得到证明.【详解】（1），.由已知，解得，故.（2）令，由得.当时，单调递减；当时，单调递增.，从而.【点睛】本题考查了根据切线求解析式，证明不等式，构造函数是解题关键.20.今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）耗电度数，汽车的碳排放量（千克）油耗公升数等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是
15、否符合低碳观念的调查.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例数据如下：小区低碳族非低碳族小区低碳族非低碳族比例1/21/2比例4/51/5（1）如果甲、乙来自小区，丙、丁来自小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；（2）小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从小区中任选5个人，记表示5个人中的低碳族人数，求和【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）这4人中恰好有两人是低碳族分三类：甲、乙低碳族，丙、丁非低碳族；甲、乙非低碳族，丙、丁低碳族；甲、乙中一人低碳族，一人非低碳族，丙、丁一人低碳族，一
16、人非低碳族，每类中按独立事件求概率，再求和即可；（2）首先求出两周后小区中非低碳族的概率，服从二项分布，利用二项分布的期望和方差公式求解即可.【详解】解：（1）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件；（2）设小区有人，2周后非低碳族的概率，2周后低碳族的概率依题意，所以，.【点睛】本题考查独立事件、互斥事件的概率及二项分布的期望和方差知识，考查分析问题、解决问题的能力.21.设函数（）求单调区间（）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数【答案】（1）的增区间为，减区间为（2）【解析】【详解】：（）因为所以由于所以的增区间为，减区间为（）由题意得即由（）知在单调递增，要使对恒成立，只要解得22.
17、设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（）求椭圆方程；（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.【答案】（）（）或.【解析】【分析】()由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】() 设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.()由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
