1、辽宁省渤大附中、育明高中2020届高三数学第五次模拟考试试题 文（含解析）1.若复数纯虚数，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可【详解】由复数的运算法则有：复数为纯虚数，则，即.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.2.已知集合，则中的元素个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】D【解析】【分析】求出集合即得答案.【详解】解不等式，可得.解不等式，可得.，含有4个元素
2、故选：.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.3.若，则是方程表示双曲线的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线和异号，进而求得的范围即可判断是什么条件【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得，因为，所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题4.已知是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则（）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】由奇函数的性质，可以判断出函数的单调性，再根据对数
3、函数的图象可以得到之间的大小关系，最后利用单调性选出正确答案.【详解】因为是定义在上的奇函数，且在内单调递减，所以是定义在上减函数，因为，所以，故本题选B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了对数函数的图象.5.已知函数（且）过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算定点，故，化简得到原式等于，计算得到答案.【详解】函数（且）过定点，故，则.故选：B.【点睛】本题考查了指数函数过定点，三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1
4、，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）=（-2，0，1），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为考点：直线与平面所成的角7.执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据循环结构程序框图的运算，求得k=7及k=8时s的值，判断框填入的条件是
5、，即可得a的取值范围.【详解】，条件不满足，；条件不满足，；条件不满足，；条件不满足，；条件不满足，；条件不满足，；条件不满足，；满足条件，退出循环.故选：A.【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题.8.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】双曲线渐近线为 ，不妨取，联立渐近线与抛物线方程得 渐近线与抛物线相切 故选B9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】【详解】因为解：
6、不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：A.10.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先得出变化后的表达式然后若，且，则取到两次最大值即可得出结论.详解：由题得，若，且，则取到两次最大值，令，要使，最大，故令k=1，k=-2即可，故的最大值为 ，选C点睛：考查三角函数的伸缩变化和最值，明白取到两次最大值，是解题
7、关键.11.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前项和公式求解即可.【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，孩子在3周岁生日时
8、存入的元产生的本利合计为，孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：；故选【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前项和，属中档题.12.已知直线分别与函数和交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出A和B两点的坐标，然后作差构造新函数，最后利用函数的单调性求出的最小值即可.【详解】直线分别与函数和交于A，B两点，AB两点之间的距离为：，令，由，得，当时，单调递减；当时，单调递增加；故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最
9、值，考查分析和转化能力，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.13.已知，若点满足，且，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，利用平面向量的基本定理，化简即可得到结论.【详解】由，可得，所以，即，所以，故故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题14.从，0，1，2这四个数字中任意取出两个不同的数字，记为有序数对，则成立的概率是_.【答案】【解析】【分析】列出所有情况，统计满足的情况，计算得到答案.【详解】总体的情形有，共12种.因为等价于，所以符合条件的情形有，共6种，因此所求概率.故答案为：.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.设
10、点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为_【答案】8【解析】【分析】设，由题可得，则得，又为的重心，故即可求解.【详解】由椭圆方程得，设，则有，所以，又，则得，所以得，又为的重心，故.故答案为：8【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，有关焦点三角形的面积计算，考查了学生的运算求解能力.16.如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西45、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为_【答案】【解析】【分析】在中，利用余弦定理计算出，再利用两角和的余弦公式计算即可得到答案.
11、【详解】由已知，在中，由余弦定理可得，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角和的余弦公式，是一道中档题.17.如图所示，平面平面，四边形是边长为的正方形，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先取线段的中点，连接，根据三角形中位线的性质得到四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定即可证明.（2）首先过作，垂足为，利用面面垂直的性质得到平面，即为四棱锥的高，再计算四棱锥的体积即可.【详解】（1）取线段的中点，连接，.，分别为，中点，则且.在正方形中，是的中点，且.，且，则四
12、边形为平行四边形，.平面，平面，平面.（2）过作，垂足为.平面平面，平面平面，平面，平面.又，所以，四棱锥的高，故，四棱锥的体积为：.【点睛】本题第一问考查直线与平面平行的证明，第二问考查四棱锥的体积，同时考查面面垂直的性质，属于中档题.18.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位考察了甲乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式加工的产品质量进行测试并打分对比，得到如下数据：生产方式甲分值区间频数20301004010生产方式乙分值区间频数2535605030其中产品质量按测试指标可划分为：指标在区间上的为特优品，指标
13、在区间上的为一等品，指标在区间上的为二等品（1）用事件表示“按照生产方式甲生产的产品为特优品”，估计的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断能否有的把握认为“特优品”与生产方式有关？特优品非特优品生产方式甲生产方式乙（3）根据打分结果对甲乙两种生产方式进行优劣比较附表：0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828参考公式：，其中【答案】（1）；（2）填表见解析，有关；（3）生产方式乙优于生产方式甲.【解析】【分析】（1）按照生产方式甲生产的产品为特优品个数为50，参与打分产品个数为200，按照古典概型计算即可得解；（2）先填表，然后按照公式计算，然后做
14、出判断即可；（3）见解析.【详解】（1）按照生产方式甲生产的产品为特优品个数为50，参与打分产品个数为200，所以：；（2）填表如下：特优品非特优品生产方式甲50150生产方式乙80120，所以有的把握认为“特优品”与生产方式有关；（3）生产方式甲生产的产品合格品的概率为，生产方式乙生产的产品合格品的概率为，生产方式乙生产的产品的质量指标值在之间的较多，因此，可以认为生产方式乙生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而生产方式乙优于生产方式甲.【点睛】本题主要考查频率分布表和古典概型，考查独立性检验，考查分析和解决实际问题能力，考查计算能力，属于常考题.19.已知数列满足.（1）求数列的
15、通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.【详解】（1）令，当时，；当时，则，故；（2），.【点睛】本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.20.已知椭圆的离心率为，且过点（1）求的方程；（2）是否存在直线与相交于两点，且满足：与（为坐标原点）的斜率之和为2；直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由离心率，已知点坐标代入得及可解得得标
16、准方程；（2）存在性问题，假设直线存在，把代入的方程得，同时设，则可得，代入得出的一个等式，再由直线和圆相切又得一个等式，联立可解得，同时注意直线与椭圆相交的条件，如满足则说明存在试题解析：（1）由已知得，解得，椭圆的方程为；（2）把代入的方程得：，设，则，由已知得，把代入得，即，又，由，得或，由直线与圆相切，则 联立得（舍去）或，直线的方程为21.设函数（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：【答案】（1）；（2）当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值
17、，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.【详解】（1），令，得因为当时；当时，所以当时，（2），当时，恒有，在上是增函数；当时，令，得，解得；令，得，解得，综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证 (*) 设，则，故在上是增函数， 当时，即 设，则，故在上是增函数， 当时，即由知(*)成立，得证【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用
18、导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22.在平面直角坐标系中，以为极点.轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线、交于、两点（）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（）已知点的直角坐标为，求的值【答案】（）曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为；（）【解析】【分析】（）利用极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化公式即可；（
19、）联立直线参数方程与双曲线方程得到关于t的一元二次方程，进一步得到根与系数的关系，再由直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（）由消去t，得，所以，即，由消去得，所以曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为.（）将代入中，得，设、两点所对的参数分别为，则，所以.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化，以及直线参数方程的几何意义求长度问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.23.已知，函数（1）当，时，求不等式的解集；（2）当的最小值为6时，证明：【答案】（1）或；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)本题首先可以将、带入函数中并对不等式进行化简，得出，然后通过去绝对值进行求解，即可得出结果；(2)首先可以根据的最小值为6得出，然后将化简为，最后根据基本不等式即可得出结果.【详解】(1)将、带入函数中，不等式可化为，当时，解得；当时，无解；当时，解得，所以不等式的解集为或，(2)因为，所以(当且仅当时取“”)【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，可通过去绝对值的方式来求解绝对值不等式，考查基本不等式的灵活应用，考查化归与转化思想，是中档题.