1、第六节离散型随机变量的均值与方差课时训练【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量的期望与方差1,4,6,7,10,16期望与方差的性质8,9,11,12,14与二项分布有关的期望与方差3,17已知期望、方差求参数2均值、方差在决策中的应用13均值、方差的综合问题5,15一、选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为X-101Px则X的数学期望E(X)等于(B)(A)-(B)(C)(D)解析:依题意得+x+=1,所以x=.E(X)=(-1)+0+1=.故选B.2.设随机变量XB(n,p)且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则(A)(A)n=8,p=0.2(B)n=4,p=0.4(C)n=5
2、,p=0.32(D)n=7,p=0.45解析:因为XB(n,p),所以E(X)=np=1.6,D(X)=np(1-p)=1.28,所以n=8,p=0.2,故选A.3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为(B)(A)100(B)200(C)300(D)400解析:设没有发芽的种子有粒,则B(1 000,0.1),且X=2,所以E(X)=E(2)=2E()=21 0000.1=200.故选B.4.口袋中有5只球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的数学期望是(C
3、)(A)5 (B)4.75(C)4.5(D)4解析:X的可能取值为3,4,5,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,E(X)=3+4+5=4.5.故选C.5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望是2,则+的最小值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题意3a+2b=2,所以+=(3a+2b)(+)=(+)(+2)=,当且仅当=时等号成立,因此所求最小值为.故选D.6.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,
4、则X的均值E(X)等于(B)(A) (B)(C) (D)解析:由题意,涂漆面数X的所有可能取值为0,1,2,3.易知涂漆面数为3的小正方体有8个,涂漆面数为2的小正方体有312=36个,涂漆面数为1的小正方体有96=54个,故涂漆面数为0的小正方体有125-8-36-54=27,则P(X=3)=,P(X=2)=,P(X=1)=,P(X=0)=,故X的均值为E(X)=0+1+2+3=.故选B.7.(2018浙江卷)设0p1,随机变量的分布列是012P则当p在(0,1)内增大时,(D)(A)D()减小(B)D()增大(C)D()先减小后增大(D)D()先增大后减小解析:由题意知E()=0+1+2=
5、p+,D()=0-(p+)2+1-(p+)2+2-(p+)2=-p2+p+=-(p-)2+,所以D()在(0,)上递增,在(,1)上递减,即当p在(0,1)内增大时,D()先增大后减小.故选D.8.已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p2,则(A)(A)E(1)E(2),D(1)D(2)(B)E(1)D(2)(C)E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)解析:由题意可知i(i=1,2)服从两点分布,所以E(1)=p1,E(2)=p2,D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),又因为0p1p2,所以E(1)E(2),把方差看
6、作函数y=x(1-x),函数在(0,)上为增函数,所以由题意可知,D(1)D(),表明乙品牌走时精确度比较稳定,所以乙品牌手表较好.答案:乙14.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=.解析:由题意知P(X=0)=(1-p)2=,p0,解得p=,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,因此P(X=0)=,P(X=1)=()2+=,P(X=2)=()2+()2=,P(X=3)=()2=
7、.所以E(X)=0+1+2+3=.答案:15.一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只,现在盒子上开一小孔,每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出).若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序),则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是.若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序),记飞出蜜蜂的只数为X,则随机变量X的期望E(X)=.解析:设“2只昆虫先后任意飞出,飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A,设盒子中蜜蜂为x只,则由题意,得P(A)=,所以(11-x)(10-x)=42,解得x=4或x=17(舍去),故盒子中蜜蜂有4只.则X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(
8、X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为X0123P期望E(X)=0+1+2+3=.答案:三、解答题16.一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球,从中任意取出3个球.(1)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率;(2)记X为取出的3个球中编号的最大值,求X的分布列与数学期望.解:(1)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A,则P(A)=.(2)X的取值为2,3,4,5.P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=.所以X的分布列为X2345PX的数学期望E(X)=2+3+4+5=.17.已知袋中有编号为A,B,C,D的4个红球,4个黄球,4个白球(共12个球),现从中摸出4个球(除编号与颜色外球没有区别),(1)求恰好包含字母A,B,C,D的概率;(2)设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X.求X的分布列和期望E(X).解:(1)P=.(2)P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.分布列为X123PE(X)=+=.