1、数 学 思 想 方 法专 题 一 “数”和“形”是数学中两个最古老、最基本的问题，是数学大厦的两块基石，数学的所有问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴涵着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述 数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为
2、直观这种处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法 数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在中学数学中占有重要的地位在高考中，充分利用选择题、填空题的题型特点(这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程)，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主 20,11,31(1)4()1A1,0 B(0)211C(0)D(0)34f xxf xxxf xkxkkkk 已知是以 为周期的偶函数，当时，那么在区间内，关于 的方程且有 个根，则 的取值范围
3、是 ，例1，.R考点1 选用函数图象解题 ()()()()()()g xkxkkkf xg xf xkk 令且，先在同一坐标中分别作出与的图象，作函数的图象注意周期性的应用，然后通过比较图象的位置建立关于 的方程 组，由此可求得的取分值析：范围1R1 111401C0203.g xkxkf xg xgf xg xkkg 数形结合，设，函数与的图象如图所示又，因此要使方程有 个根，则，解得 解，析：故选 【评析】用图象讨论方程有解问题是一种行之有效的方法此类问题主要有两种题型：一是判断方程解的情况；二是根据方程解的情况确定参数的取值范围解答此类题型一般是先将方程转化为我们熟知的两种基本函数(或曲
4、线)，然后在同一直角坐标系内作出两个函数的图象(或曲线)，再观察两种基本函数的图象(或曲线)公共点个数，根据图象建立方程(组)求解 1()(0,2)()01 4A.4 B.3C.2 D.1yf xyfxyPf xx函数的反函数（）的图象与 轴交于点(如图所示)，则方程在，上的根题：是（）变式11()()(0,2)()(0,2),()0C1 42,.yf xyfxyxyfxPyf xf xx因为的图象与（）的图象关于直线对称，且的图象过点，所以的图象过点所以在，上的根是解故析：选 211|4|2(20112_)_lyxmCyxm 已知直线：与曲线：仅有三个交点，则实数 的取值范围是例2广西桂林、
5、防城港联合调研考试21|4|2yxCm将变形，可以看到曲线是椭圆或双曲线的一半，因此可考虑通过作出直线与曲线，通过分析它们的位置关系来求实数 的分析：取值范围考点2 利用平面图形的几何性质解题 2222121221(0)4221(0)411.2xxCyyxxxCyyClllllClyx 当 时，曲线：；当 或 时，曲线：由此作出曲线 与直线，如图所示，由图易知当直线 位于在直线 与 之间时，直线 与曲线 仅有三个交点，易知直线 的方程为解析：22222221(0)21(0)42220.44 2202.(12)lyxb bxyyxbxbbmbb 设直线 的方程，代入，得于是由，解得所以实数 的取
6、值范围是，【评析】利用数形结合处理直线与曲线的交点个数问题也是常见题型之一，解答时要注意对应的曲线方程的未知数的取值范围另外本题须注意两处易错点：(1)对曲线C进行讨论时易出现错误；(2)作图时交接点处易出现错误2234802210_.PxyPAPBxyxyABCPACB 已知 是直线上的动点，、是圆的两条切线，、是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为变式题：22(-1)(1)1,1,1,1.3480.2.PACPBCPACBPACxyCrxyPPCPAPBABCACBACPABCPBPCPACBSSSS四边形先将圆的一般方程配方化为标准方程，得故圆心为半径，画出此圆，如图再在同一坐标系上画
7、出直线，在其上任取一点，过 作圆 的两条切线、，、为切点，连结、，则，连结，则四边形的面积分析:22222222()111|11112221 111PACBPACPxyPCxyACPAPCACxySSPA ACPAxy 四边形利用等价转化的思想，设 点坐标为，则，由勾股定理及，得从而解方法：析：，min2222222(111,1()1,13480|3 14 1 8)9 12|()9.2.34PACPABCBSPAPCxyCP xyCxdSy 四四形边形边欲求的最小值，只需求的最小值，只需求的最小值，即定点与直线上动点，距离的平方的最小值，也就是点到直线的距离的平方，这个以最小值所【评析】从上面
8、解法可以看到：数形结合思想，运动变化思想，函数思想，等价转化思想以及配方法等有机地结合在一起，是解决数学问题的锐利武器.2min2111()2 234280384.PACBPACBSSxyyxyxyx 四边四边形形利用函数思想，将中的 用中解出的代入，化为关于 的一元函数，进而用配方法求最值，也可得方法：1212lg2012102012()A 2010 B 2011C 2012 D 2013xxx xxxx x：已知 是方程的根，是方程的根，则等于 备选例题1213222111220122012lglg.20121020122012.Cxxyxyxxxyyxxxyxx x由已知得，令，作出这两
9、个函数的图象，其交点横坐标为同理，令交的横坐标为，由对称性知，故，解所以析：选1.数形结合的思想方法既是一种思维方式，也是一种重要的解题方法.在中学阶段更多出现的形式是通过坐标系转化或构造“数”题而“形”解.2.数形结合求解数学问题过程中，必须遵循以下三条原则：等价性原则；双向性原则；简单性原则.3.实现数形结合的常用手段：集合实数与数轴上点的对应关系；函数、方程、不等式构建函数与其图象的对应关系；直线与圆、圆锥曲线曲线与方程的对应关系；以几何元素或条件为背景建立起来的概念三角函数、平面向量、复数；所给等式或代数式的结构含有明显的几何意义.2“”1 121.A1,1(2)B(211,2C(2)
10、1,2 1.D 2(2011)abaababbabf xxxxyf xcxc R对实数 和，定义运算：，设函数，若函数的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是，天津卷1，22 1 1212 12.1 12aababbabf xxxxxxxx 解析：因为，所以(211,2(211,2cf xycc 由图可知，当，时，函数与的图象有两个公共点，所以 的取值范围是，32 21 2.2.(2011)xf xxxxxf xkk 已知函数，若关于 的方程有两个不同的实根，则实数 的取值范围是_北京_ 卷 32 2110 2,xkfxxfxxxk 解析：由函数图象可得函数的图象当如下时，方程有两个不同图所示的实根