1、第一章 三角函数全章素养整合构网络提素养链高考类型一 任意角的三角函数的定义类型特点 利用三角函数定义，求三角函数值或求参数，主要是选择题或填空题方法归纳(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值(2)取角 的终边上任意一点 P(a，b)(原点除外)，则对应的角 的正弦值 sin ba2b2，余弦值 cos aa2b2，正切值 tan ba.当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论例 1 已知角 的终边经过点 P(3m9，m2)(1)若 m2，求 5sin 3tan 的值；(2)若 cos 0，且 sin
2、0，求实数 m 的取值范围解析(1)若 m2，则 P(3，4)，所以 x3，y4，r5，所以 sin 45，cos 35，tan 43，故 5sin 3tan 545343 440.(2)由题意知，cos xr0，sin yr0，即 x0，y0，所以3m90，m20，所以2m3，所以 m 的取值范围为(2，3跟踪训练 1.已知角 的终边经过点 P(3，m)(m0)且 sin 24 m，试判断角 所在的象限，并求 cos 和 tan 的值解析：由题意，得 r 3m2，所以 sin m3m2 24 m.因为 m0，所以 m 5，故角 是第二或第三象限角当 m 5时，r2 2，点 P 的坐标为(3，
3、5)，角 是第二象限角，所以 cos xr 32 2 64，tan yx5 3 153；当 m 5时，r2 2，点 P 的坐标为(3，5)，角 是第三象限角，所以cos xr 32 2 64，tan yx 5 3 153.类型二 三角函数的化简与求值题型特点 根据同角三角函数基本关系与诱导公式，将复杂的三角函数式化简为最简形式或求值，选择、填空、解答题都有方法归纳 同角三角函数基本关系式的应用方法(1)利用 sin2cos21 可以实现 的正弦、余弦的转化，利用sin cos tan 可以实现角 弦切互化(2)关系式的逆用与变形应用：1sin2 cos2，sin21cos2，cos21sin2
4、，(sin cos)2(sin cos)24sin cos.(3)sin，cos 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin，cos 的齐次式或含有 sin2，cos2 及 sin cos 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2cos21”代换后转化为“切”求解例 2 已知2x0，sin xcos x15.(1)求 sin xcos x 的值；(2)求sin xcos xsin2 x1tan x的值解析(1)将 sin xcos x15两边平方，得 2sin xcos x2425，(sin xcos x)212sin xcos x4925.2x0，sin x0，sin
5、xcos x0，cos 0，所以 sin cos （sin cos）2（sin cos）24sin cos 152482575，故得 sin 45，cos 35，tan 43.(2)1cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan2，又 tan 43，所以1cos2sin214321432257.例 3 已知角 的终边上有点 P(12，5)，将 的终边逆时针旋转2，得角.(1)求 sin(3)tan72；(2)求tan 1tan cos2sin()解析(1)P(12，5)，|OP|13.sin 513，cos 1213，tan 512.(1)sin(3)tan72 sin
6、tan272sin tan 513 512 25156.(2)原式sin cos cos sin cos2(sin)sin2cos2sin cos cos2sin cos cos2 sin 513.跟踪训练 3.已知 0，0)的性质时把 x 看成一个整体，结合基本初等函数 ysin x 的图象与性质研究该函数的性质(1)最值：令 x22k(kZ)，即当 x12k2(kZ)时，ymaxA.同理求得最小值为A.(2)对称中心：令 xk(kZ)，得 xx01(k)(kZ)，则对称中心为(x0，0)，即图象与 x 轴的交点同理可求对称轴方程，对称轴一定过图象的最值点(3)单调区间：令22kx22k(k
7、Z)，可求递增区间同理令22kx32 2k(kZ)，可求递减区间求单调区间时要注意 的符号，一般要先化成 0 时的情况再进行求解(4)最小正周期：T2|.(5)奇偶性：yAsin(x)为奇函数k(kZ)，yAsin(x)为偶函数22k(kZ)例 4 已知函数 f(x)2sin2x6，把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图象关于函数 g(x)，下列说法正确的是()A在4，2 上是增函数B其图象关于直线 x4对称C函数 g(x)是奇函数D当 x6，23 时，函数 g(x)的值域是2，1解析 函数 f(x)2sin2x6 的图象沿 x 轴向左平移6个单位长度，得
8、到函数 g(x)2sin2x6 6 2cos 2x 的图象，对于函数 g(x)2cos 2x，在4，2 上，2x2，g(x)为减函数，故排除 A；当 x4时，g(x)0，故 g(x)的图象不关于直线 x4对称，排除 B；显然 g(x)为偶函数，排除 C；当 x6，23 时，2x3，43，cos 2x1，12.故 g(x)的值域为2，1，故 D 正确答案 D跟踪训练 4.如图是函数 yAsin(x)(A0，0，xR)在区间6，56 上的图象为了得到这个函数的图象，只要将 ysin x(xR)的图象上所有的点()A向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B向左平移3
9、个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变C向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变解析：T566，2，6，623，A1，ysin2x3，故选 A.答案：A例 5 函数 f1(x)Asin(x)A0，0，|2 的一段图象过点(0，1)，如图所示(1)求函数 f1(x)的表达式；(2)将函数 yf1(x)的图象向右平移4个单位长度，得函数 yf2(x)的图象，求 yf2(x)的最大值，并求出此时自变量 x 的集合解析(1)由图象知 T，于是 2T 2.将函数 yAsi
10、n 2x 的图象向左平移 12个单位长度，得 yAsin 2x 12 Asin2x6，6.将(0，1)代入 yAsin2x6，得 A2.故 f1(x)2sin2x6.(2)依题意 f2(x)2sin2x4 62cos2x6.当 2x62k(kZ)，即 xk512(kZ)时，ymax2.此时 x 的集合为xxk512，kZ.跟踪训练 5.已知函数 f(x)2sin2x6 a，a 为常数(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的单调递增区间；(3)若 x0，2 时，f(x)的最小值为2，求 a 的值解析：(1)f(x)2sin2x6 a，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)
11、由 2k22x62k2(kZ)，得 k6xk3(kZ)，所以 f(x)的单调递增区间为k6，k3(kZ)(3)当 x0，2 时，2x66，56，所以 x0 时，f(x)取得最小值，即 2sin6 a2，故 a1.1(2018高考全国卷)函数 f(x)tan x1tan2x的最小正周期为()A.4 B.2 C D2解析：f(x)tan x1tan2xsin xcos x1sin2xcos2x sin xcos xcos2xsin2xsin xcos x.若 T4，则 fx4 sinx4 cosx4 f(x)；若 T2，则 fx2 sinx2 cosx2 f(x)；若 T，f(x)sin(x)co
12、s(x)sin xcos xf(x)，故 T，选 C.答案：C2(2016高考全国卷)已知函数 f(x)sin(x)0，2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536 上单调，则 的最大值为()A11 B9 C7 D5解析：因为 x4为函数 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，所以2kT2 T4(kZ，T 为周期)，得 T 22k1(kZ)又 f(x)在18，536 上单调，所以 T6，k112，又当 k5 时，11，4，f(x)在18，536 不单调；当 k4 时，9，4，f(x)在18，536 上单调，满足题意，故 9，即 的最大值为 9
13、.答案：B3(2017高考全国卷)函数 f(x)15sinx3 cosx6 的最大值为()A.65B1 C.35D.15解析：因为 cosx6 cosx3 2 sinx3，所以 f(x)65sinx3，所以 f(x)的最大值为65，故选 A.答案：A4(2017高考全国卷)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标
14、缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2解析：易知 C1：ycos xsinx2，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 ysin2x2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 12个单位长度，得到函数 ysin2x 12 2 sin2x23 的图象，即曲线 C2，故选D.答案：D5(2017高考全国卷)设函数 f(x)cosx3，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线 x83 对
15、称Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在2，单调递减解析：根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2，所以函数的一个周期为2，A 正确；当 x83 时，x33，所以 cosx3 1，所以 B 正确；f(x)cosx3 cosx43，当 x6时，x43 32，所以 f(x)0，所以C 正确；函数 f(x)cosx3 在2，23 上单调递减，在23，上单调递增，故 D不正确所以选 D.答案：D6(2018高考全国卷)函数 f(x)cos3x6 在0，的零点个数为_解析：由题意知，cos3x6 0，所以 3x62k，kZ，所以 x9k3，kZ，当 k0 时，x9；当 k1 时，x49；当 k2 时，x79，均满足题意，所以函数 f(x)在0，的零点个数为 3.答案：3