1、第2讲命题及其关系、充要条件知 识 梳 理1命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件辨 析 感 悟1对四种命题的认识(1)(2012湖南卷改编)命题“若，则tan 1”的否命题是“若，则tan 1”()(2)若原命题“若p，则q”为
2、真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.()(3)命题“若x23x20，则x2或x1”的逆否命题是“若1x2，则x23x20”()2对充分条件、必要条件的理解(4)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件()(5)“(2x1)x0”的充分不必要条件是“x0”()(6)在ABC中，“A60”是“cos A”的充分不必要条件()感悟提升1一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)把否命题错看成是命题的否定2三个防范一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中
3、的关键词，如“”与“”，“”与“”，“且”与“或”，“是”与“不是”，“都不是”与“至少一个是”，“都是”与“不都是”等互为否定，如(3)二是弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B A，且A B，如(5)；而“A是B的充分不必要条件”则是指AB且B A，如(6)三是注意题中的大前提，如(6).考点一命题及其相互关系【例1】 已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题；逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题；逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，
4、)上是减函数”，是真命题；逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题以上四个结论正确的是_(填序号)解析由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题答案规律方法 (1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一
5、个命题是假命题，只需举出反例(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【训练1】 (2013吉林白山二模)命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是_答案若a0或b0，则a2b20考点二充分条件、必要条件的判断【例2】 (1)(2013福建卷改编)设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的_条件(2)(2013济南模拟)如果a(1，k)，b(k,4)，那么“ab”是“k2”的_条件解析(1)当x2且y1时，满足方程xy10，但方程xy10有无数多个解，不能确定x2且y1，“x2且
6、y1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件(2)因为ab，所以14k20，即4k2，所以k2.所以“ab”是“k2”的必要不充分条件答案(1)充分而不必要(2)必要不充分规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题【训练2】 已知条件p：x1，条件q：1，则綈p是q的_条件解析由x1，得1；反过来，由1，不能得知x1，即綈p是q的充分不必要条件答案充分不必要考点三充要条件的
7、应用【例3】 (2014无锡一中调研)已知函数f(x)axbx2(a0)(1)当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明：a2；(2)当b1时，证明：对任意x0,1，|f(x)|1成立的充要条件是b1a2.证明(1)由题意知bx2ax10对任意xR恒成立，a24b0，又a0，b0，a2.(2)先证充分性：b1，ab1，对任意x0,1，有axbx2(b1)xbx2b(xx2)xx1，即axbx21；b1，a2，对任意x0,1，有axbx22xbx2(x1)211，即axbx21，|f(x)|1成立，充分性得证；再证必要性：对任意x0,1，|f(x)|1，f(1)1，即ab1；对任意x0,1，|f
8、(x)|1，而b1，f1，即a2，必要性得证由可知，当b1时，对任意x0,1，|f(x)|1成立的充要条件是b1a2.规律方法 (1)涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决(2)p的充分不必要条件为q，等价于pq，q p；p的必要不充分条件为q，等价于pq，q p.【训练3】 已知p：2x29xa0，q：且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围解由得即2x3，q的解集为x|2x3设Ax|2x29xa0，Bx|2x3，綈p綈q，qp.BA.2x3属于集合A，即2x3满足不等式2x29xa0.2x3满足不等式a9x2x2.当2x3时，9x
9、2x2222的值大于9且小于等于，即99x2x2，a9.1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的
10、充要条件思想方法1等价转化思想在充要条件关系中的应用【典例】 已知p：2，q：x22x1m20(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围解法一由q：x22x1m20，得1mx1m，綈q：Ax|x1m或x1m，m0，由p：2，解得2x10，綈p：Bx|x10或x2綈p是綈q的必要而不充分条件AB，或即m9或m9.m9.故实数m的取值范围是9，)法二綈p是綈q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件，由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m，由p：2，解得2x10，p：Px|2x10p是q的充分而不必要条件，PQ，或即m9或m9.m9.故实数m的取值范围是9
11、，)反思感悟 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键【自主体验】1(2013山东卷改编)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的_条件解析由q綈p且綈pq可得p綈q且綈q p，所以p是綈q的充分而不必要条件答案充分不必要2已知命题p：x22x30；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是_1，)；(，1；1，)；(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是
12、綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2012重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是_解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”答案若q，则p2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是_解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题答案若abc3，则a2b2c233(2014南通调研)“a2”是“直线(a2a)xy0和直线2xy10互相平行”的_条件解析因为两直线平行，所以(a2a)1210，解得a2或1.答案充分不必要4命题“若x，y都是偶数
13、，则xy也是偶数”的逆否命题是_解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”答案若xy不是偶数，则x、y不都是偶数5AxR|x20，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的_条件解析由题意得，AxR|x2，ABxR|x2，CxR|x2，ABC.“xAB”是“xC”的充要条件答案充分必要6(2013盐城调研)“m2”是“”的充分不必要条件；一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真其中说法不正确的序号是_解析逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故错误；此命题的逆否命题为“设a
14、，bR，若a3且b3，则ab6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；，则0，解得x2，所以“x2”是“0)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解p：x28x2002x10，q：x22x1a201ax1a.pq，q p，x|2x10x|1ax1a故有且两个等号不同时成立，解得a9.因此，所求实数a的取值范围是9，)能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是_解析否命题既否定题设又否定结论答案若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数2设a，b都是非零向量下列四个条件ab；ab；a2b；ab且|a|b|中，使成立的充分条
15、件是_解析对于，注意到ab时，；对于，注意到ab时，可能有ab，此时；对于，当a2b时，；对于，当ab且|a|b|时，可能有ab，此时，综上所述，使成立的充分条件是a2b.答案3设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解析已知方程有根，由判别式164n0，解得n4，又nN*，逐个分析，当n1,2时，方程没有整数根；而当n3时，方程有整数根1,3；当n4时，方程有整数根2.答案3或4二、解答题4设命题p：|4x3|1；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解綈p是綈q的必要不充分条件，綈q綈p，且綈p 綈q等价于pq，且q/ p.记p：Ax|4x3|1，q：Bx|x2(2a1)xa(a1)0|x|axa1，则AB.从而且两个等号不同时成立，解得0a.故所求实数a的取值范围是.