1、专题29 定义法或几何法求空间角一、单选题1在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，若，则l与BD所成角的正切值是（ ）AB1C2D4【答案】C【分析】将异面直线平移到同一平面ABCD中即有l与BD所成角为，即可求其正切值.【详解】由及线面平行的判定定理，得，再由线面平行的性质定理，得所以与所成角是，从而故选：C【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条到同一平面内；（2）认定：确定异面直线所成的平面角； （3）取舍：由异面直线所成的角的
2、取值范围是，当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的角2在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正方体中，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，所以异面直线与所成角为，如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选:C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所
3、成角的余弦值.3已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据三棱柱的体积公式，求得，结合线面角的定义，即可求解.【详解】如图所示，底面是边长为的正三角形，可得，设点是的中心，所以，解得，又由，在直角中，可得，又，所以.故选：B.4空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）ABCD【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算【详解】AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，异
4、面直线AC和BD所成的角是（或其补角），中，异面直线AC和BD所成的角为故选：B5如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【分析】取的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可知异面直线与所成的角为或其补角，设，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.【详解】取的中点，连接、，设，设，、分别为、的中点，则且，在正三棱柱中，且，为的中点，所以，且，则四边形为平行四边形，所以，所以，异面直线与所成的角为或其补角，则，由余弦定理可得.因此，与所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其
5、基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角6如图在四面体中，平面，那么直线和所成角的余弦值（ ）ABCD【答案】A【分析】设，分别取的中点，连接 ，则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，根据三角形的余弦定理可求得选项.【详解】设，分别取的中点，连接 ，则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，又平面，平面，所
6、以 ，所以，又，所以在中，所以直线和所成角的余弦值为.【点睛】本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角7如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，那么二面角的大小为（ ）ABCD【答案】D【分析】过上一点分别在、内做的垂
7、线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案【详解】解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，如下图所示：设，又，为等边三角形，则，故选：D8如图，是正方体，则与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】A【分析】通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.【详解】过点A在平面内作，再过点在平面内作，如图，则或其补角即为与所成的角，因为是正方体，不妨设，则，所以在中，.故选：A.9在长方体中，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为（ ）.ABCD【答案】A
8、【分析】根据题意画出图形，通过分析可知，直线与侧面所成角为，则，然后根据图形中的几何条件分析计算出及的长度即可解得答案.【详解】延长和交于点，连接，平面，平面/平面，/平面，又平面，且，/，又/，又，且，且，又，根据线面夹角的概念可知，直线与侧面所成角为，则.故选：A.【点睛】本题考查直线与平面夹角的计算问题，利用定义法求解线面夹角时，一般步骤如下：（1）找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角；（2）根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长；（3）根据解三角形的方法计算所求角的三角函数值.10如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为
9、，则（ ）ABCD【答案】A【分析】连接、交于，连，取的中点，连，根据正棱锥的性质可知，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接、交于，连，取的中点，连，如图：因为，所以，又因为四棱锥为正四棱锥，所以，由正四棱锥的性质可知，平面，所以，易得，所以，因为，且，所以，又都是锐角，所以，因为，且，所以，因为都是锐角，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.11已知在正方体中，分别为，上的点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【分析】取线段上一点，使，连接，证明（或其补
10、角）为异面直线与所成的角，在中求出此角的余弦即可【详解】取线段上一点，使，连接，如图所示，因为，所以，所以，又，所以易知（或其补角）为异面直线与所成的角.正方体中平面，平面，所以，所以设该正方体的棱长为，则，所以在中，所以.故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所的角，并证明，然后再计算12如图所示，已知正方体，则直线与平面所成的角为（ ）A30B45C60D90【答案】B【分析】把与平面所成的角转化为与平面所成的角，根据线面垂直的判定定理，证得平面，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求解.【详解】由题意，在正方体中，可得，所以直线与平面所成的角，即为与平面所
11、成的角，连接交于点，可得，又由平面，因为平面，可得由线面垂直判定定理，可得平面，所以为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，可得,在直角中，因为，所以.故选：B.13如图，四棱锥中，为矩形，平面平面，是线段上的点(不含端点).设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中计算正弦值、余弦值，然后可得角大小【详解】如图，取中点，连接，而平面平面，平面平面，平面，连接，作交于，则平面，为直线与所成的角，即，作于，连接，则是直线与平面所成的角，即，显然，作交于，则，连接，
12、由平面得，平面，是二面角的平面角，即，同样，由图可知，（都是锐角），（也是锐角），又，根据上面作图过程知是矩形，综上故选：D【点睛】本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小14在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【分析】如图所示，分别取，的中点，则，为异面直线与所成角【详解】解：如图所示，分别取，的中点，则，为异面直线与所成角设，则，异面直线与所成角的余弦值为，故选：【点睛】平移线段法是
13、求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角15已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【分析】先由基本不等式得确定当且仅当时，取得最大值，接着求出，再取的中点，连接，并确定就是二面角的平面角，最后在三角形中由余弦定理求得解题.【详解】解：设，则由题意得：，所以，由基本不等式得
14、：，当且仅当时，取得最大值，此时，所以，取的中点，连接，如图，则，则就是二面角的平面角，在等腰三角形中，因为，所以，在等腰三角形中，因为，所以，在长方体，求得，故在三角形中，由余弦定理得，故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查二面角的余弦值的求解，是中档题.求二面角的常用方法：（1）找（确定二面角的平面角）点（定义法）：再二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线；线（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角；面（垂面法）：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的
15、角即是二面角的平面角.（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）在三角形中，利用余弦定理求值；射影面积公式求值；利用公式法求值.还可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.二、多选题16在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）AD1DAFBA1G平面AEFC异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍【答案】BCD【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF
16、的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF是否平行.【详解】A选项，由，即与并不垂直，所以D1DAF错误.B选项，如下图，延长FE、GB交于G连接AG、GF，有GF/BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面 面=，且面，面，所以A1G平面AEF，故正确.C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确. 故选：BCD【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个
17、平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为.2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.3、由、即可求G、C到平面AEF的距离比.17在棱长为1的正方体中中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）A异面直线和所成的角为定值B直线和平面平行C三棱锥的体积为定值D直线和平面所成的角为定值【答案】ABC【分析】A：由正方体的性质判断平面，得出，异面直线与所成的角为90；B：由，证明平面，即得平面；C：三棱锥的体积等于三棱锥的体积的体积，判断三棱锥的体积为定值；D：找出直线和平面
18、所成的角，可知其不是定值.【详解】解：对于A，因为在正方体中，又，平面，所以平面，而平面，所以，故这两个异面直线所成的角为定值90，所以A正确；对于B，因为平面与面是同一平面，面，平面，故平面，即平面，故B正确；对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而平面为固定平面，且大小一定，又因为，因为，平面，平面，所以平面，所以点A到平面的距离即为点P到该平面的距离，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D，由线面夹角的定义，令与的交点为O，所以平面，可得即为直线与平面所成的角，当P移动时这个角是变化的，故D错误.故选：ABC.【分析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的
19、角，直线与平面所成的角，空间中的距离，属于较难题.18世纪年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有条棱、个顶点，个面（个正方形、个正三角形），它是将立方体“切”去个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为，则（ ）A它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为B它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直C它的体积为D它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等【答案】ACD【分析】利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长
20、，可判断A、C选项的正误；计算出不共面的棱所成角的大小可判断B选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D选项的正误.【详解】如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体各棱的中点，故立方八面体的棱为正方体相邻两条棱的中点的连线，故正方体的棱长为，由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体的中心，外接球的直径为正方体的面对角线长，该球的半径为，A选项正确；设、为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，由于，易知为等边三角形，则，所以，与所成角为，B选项错误；立方八面体的体积为，C选项正确；设正方体底面的中心为点，连接交立方八面体的棱于点，
21、连接，则为的中点，且为等边三角形，所以，为的中点，、分别为、的中点，则，所以，为立方八面体的底面与由平面所成二面角的平面角，立方八面体的棱长为，平面，平面，在中，所以，同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为，D选项正确.故选：ACD.【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角三、解答题19如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC平面ABCD.BDC=90，BC=1，BP=，PC=2.（1）求证：CD平面PBD；（2）若BD与底面PBC所成的角为，求二面
22、角B-PC-D的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由已知求解三角形证明，再由平面与平面垂直的性质可得平面，则，又由已知可得，利用直线与平面垂直的判定可得平面；（2）证明为等腰直角三角形，得，取中点，连接，则，可得平面，过作，垂足为，连接，可得，则为二面角的平面角，求解三角形可得二面角的正切值【详解】（1）证明：在中，由，可得，又平面平面，且平面平面，平面，平面，则，又，且，平面；（2）平面平面，平面，在底面上的射影在上，则与底面所成的角为，由已知得，为直角三角形，为等腰直角三角形，且，取中点，连接，则，又平面平面，且平面平面，平面，平面，过作，垂足为，连接，可得，则为二面角
23、的平面角，在等腰直角三角形中，由，可得，由，可得，得，在中，可得二面角的正切值为【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，定义法找二面角归纳如下：设平面与平面的交线为，空间中一点，1. 点在平面内，但不在交线上：过作平面的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，连接，角为二面角的平面角；2. 点在交线上：过在平面与平面内分别作垂直于交线的射线，角为二面角的平面角；3. 点在两平面外：过作平面的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过在平面内作交线的垂线，则角为二面角的平面角20如图所示，平面ABEF平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB2，AF，ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P
24、是线段BF上的一点，PF3.（1）证明：ACBF；（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明平面；（2）由题中所给的长度，证明平面，即BCP为直线BC与平面PAC所成的角，在RtBCP中，求线面角的正切值.【详解】(1)证明：因为ABC是以A为直角的等腰直角三角形，所以ACAB，又平面ABEF平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，所以AC平面ABEF.因为BF平面ABEF，所以ACBF.(2)在矩形ABEF中，AB2，AF2，则BF4，又PF3，所以FA2PFBF，所以BFAP，由(1
25、)知ACBF，又ACAPA，所以BF平面PAC，则BCP为直线BC与平面PAC所成的角.如图，过点P作PMAB交BE于点M，过点P作PNAB于点N，连接NC，因为BF4，PF3，所以PB1，则，所以PMBN，BMPN，ANABBN2， 所以CN，PC.在RtBCP中，tanBCP. 故直线BC与平面PAC所成角的正切值为.【点睛】方法点睛：本题考查计算线面角，注意包含以下方法：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用/斜线段长，进行求角；3.建立
26、空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.21如图BCBD，ABBD，ABD60，平面BCD平面ABD，E、F、G分别为棱AC、CD、AD中点.（1）证明：EF平面BCG；（2）若BC4，且二面角ABFD的正切值为，求三棱锥GBEF体积.（注意：本题用向量法求解不得分）【答案】（1）证明见解析 （2）【分析】（1）由平面BCD平面ABD，可得平面，从而可证平面，又 ，可证.（2）过作于点，为的中点,过作于点，连接, 可得平面,则,从而平面.从而为二面角ABFD的平面角，再求三角形边长进行计算得出答案.【详解】（1）由平面BCD平面ABD，且平面BCD平面
27、ABD 又BCBD，平面，所以平面又平面，则又, 为中点，则而,则平面又E、F分别为棱AC、CD中点，则 所以EF平面BCG；（2）由ABBD，ABD60，则为正三角形.过作于点，为的中点,过作于点，连接由平面BCD平面ABD，且平面BCD平面ABD，可得平面.所以,从而平面.所以为二面角ABFD的平面角.设，在中， 所以 则，则所以为等腰直角， 由，平面,平面,则平面则 所以三棱锥GBEF体积为.【点睛】关键点睛：本题考查线面垂直的证明和根据二面角的大小解决体积问题，解答本题的关键是利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，由平面BCD平面ABD，过作于点，可得平面，从而得出为二面角ABFD的平面
28、角，属于中档题.22中，E，F分别是边，上的点，且，于H，将沿折起，点A到达，此时满足面面（1）若，求直线与面所成角大小；（2）若E，F分别为，中点，求锐二面角的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点B到面的距离【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）折叠过程中与保持垂直，由面面垂直的性质定理得平面，从而可得为直线与面所成角，解即可得；（2）由（1）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦（注意锐二面角）；（3）同样求出平面的一个法向量，由在法向量方向上的投影的绝对值即为点B到面的距离可得结论【详解】（1）因为，所以为
29、中点，所以，又平面平面，所以平面，所以为直线与面所成角若，由得，所以，又，是锐角，所以；（2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为E，F分别为，中点，则，设平面的一个法向量为，则，取，则，即，平面的一个法向量为，所以锐二面角的余弦值为（3）由（2），设平面的一个法向量为，则，取，则，即，所以点B到面的距离为【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，考查用空间向量法求二面角，求点到平面的距离，解题关键是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量然后只要计算即可得23在四棱锥中，（1）求证：面；（2）已知点F为中点，点P在底面上的射影为点Q，直线与平面所成角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，求异面直
30、线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）在直角梯形中先求出，然后可求得，从而可证明，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知在上，为直线与平面所成的角，设（），求出三棱锥的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时的值，得为中点，从而有，为异面直线与所成角（或补角），由余弦定理可得【详解】（1）证明：，又，由余弦定理得，又，又，平面，平面（2）由（1）平面平面，平面平面，点在上，为直线与平面所成的角，设（），则，当且仅当时等号成立，则当最大时，为中点，为中点，为异面直线与所成角（或补角），则由平面得，又，则，异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题考查线面
31、垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力属于中档题24如图，已知四棱锥中，平面，是的中点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（） .【分析】（）要证明线面平行，需转化为证明线线平行，取中点，连，可证明四边形为平行四边形，从而证明；（）法一，连结，证明平面，即为所求；法二：是中点，连转化为求与平面的线面角.【详解】（）取中点，连.易知，且，且,所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为，所以 （）(一)连.由，所以，.在直角梯形上，.又，所以 又.，所以为直线与平面所
32、成角(二)设是中点，连因为，则，作，所以为，也即直线与平面所成角【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用/斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.25如图，在矩形ABCD中，沿对角线BD把折起，使点C移到点，且在平面ABD内的射影O恰好落在AB上（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】
33、（1）证明：由面面垂直的判定可证得平面平面ABD再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由线面垂直的判定可证得平面再由面面垂直的判定可得证；（3）由（2）知，由二面角的定义可得二面角的平面角是，解三角形可得答案【详解】解：（1）证明：由题意得平面ABD平面平面平面ABD又，平面平面，平面，；（2）证明：，平面又平面，平面平面（3）由（2）知，在中，二面角的平面角是，二面角的余弦值是【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定和性质，二面角的计算，属于中档题.关键在于作出二面角的平面角，常常有以下的方法，A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；B：利用面的垂线(三垂线定理或其逆定理)作平面
34、角；C：利用与棱垂直的直线,通过作棱的垂面作平面角；D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角.26如图，已知三棱锥中，D为的中点.（1）求证：；（2）若，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点E，连接，利用已知条件得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面，即可得证；（2）取的中点F，连接，过D作于H；先利用已知条件以及线面垂直的判定定理得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面，所以就是与平面所成角，利用已知条件求解即可.【详解】（1）取的中点E，连接.， ，D，E分别是的中点， ， ， ， ， ， 平面， .（2）取的中点F，连接，过D作于H.
35、，.D，F分别是的中点，平面，平面，就是与平面所成角，与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.27如图，三棱柱中，平面，（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析； （2）.【分析】（1）在中，根据勾股定理，证得，进而证得，结合线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；（2）过点作，证得平面，在直角中，求得，
36、进而得到点到平面的距离等于点到平面的距离，结合线面角的定义，即可求解.【详解】（1）连接，在中，因为，由余弦定理，可得，可得，所以，又因为平面，平面，所以，又由，且平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）过点作于点，在三棱柱中，因为平面，可得平面，根据面面垂直的性质定理，可得平面，在直角中，可得，又由，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其距离，又在矩形中，可得，设直线与平面所成角，可得所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的
37、射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.28如图，在平面四边形中，绕旋转（1）若所在平面与所在平面垂直，求证：平面（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正切值【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）证明平面内的两条相交直线（2）先作出二面角的平面角，再找出直线与平面所成角的平面角，通过解三角形，即可得答案；【详解】（1），平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面（2）取BC的中点N，连结，设，则，点M为中点，为二面角的平面角，平面，为直线与平面所成角，.【点睛
38、】利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而证明线面垂直；利用传统法求角时，要求按照一作、二证、三求的步骤.29如图，多面体中，四边形是菱形，平面，（1）求二面角的大小的正切值；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）过A作于点G，则为二面角的平面角，求其正切值即可；（2）设点E到平面AFC的距离为h，利用等体积法计算即得结果；（3）作于点H，则为直线FC与平面ABF所成的角，求其正弦值即可.【详解】解：（1）过A作于点G，连接FG，四边形ABCD是菱形，为等边三角形，,.平面ABCD，平面ABCD， 又， ，平面AFG，- 为二
39、面角的平面角， ；连接AE，设点E到平面AFC的距离为h，则， 即，也就是， 解得：；(3)作于点H，连接FH，为等边三角形，为AB的中点，平面ABCD，平面ABCD，又，平面ABF， 为直线FC与平面ABF所成的角，【点睛】求空间中二面角的常见方法为：（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3
40、）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.30如图，三棱台中，四边形为等腰梯形，平面平面（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）.【分析】（）延长、交于点，由平面平面推导出平面，进而可得出；（）设，可得出，过点作，垂足为，计算出点到平面的距离，以及的长，即可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（I）延长、交于点，四边形为等腰梯形，则，平面平面，平面平面，平面，平面，由平面，可得，即；（II），可知为的中点.=设，则，由，可得，平面，平面，过点作，垂足为，平面，平面，所以平面，则到平面的距离，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角正弦值的求解，考查计算能力，属于中等题.