1、专题五 平面向量【真题探秘】5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 1.平面向量 的概念及线 性运算(1)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;(2)理解向量的几何表示;(3)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;(4)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义 2018 课标,6,5 分 平面向量的线性运算 2015 课标,7,5 分 平面向量的线性运算 2015 课标,13,5 分 向量共线问题 2.平面向量 基本定理及 坐标运算(1)了解平面向量基本定理
2、及其意义;(2)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;(3)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2018 课标,13,5 分 向量的坐标运算 向量共线的充要条件 2017 课标,12,5 分 平面向量基本定理 求三角函数的最值 2016 课标,3,5 分 向量的坐标运算 向量垂直的充要条件 分析解读 1.从方向与大小两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.结合向量数乘的意义理解向量共线的条件,并能灵活应用.4.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.5.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.6
3、.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.破考点 练考向【考点集训】考点一 平面向量的概念及线性运算 1.(2019 河南平顶山一模,5)在平行四边形 ABCD 中,E 是对角线 AC 上一点,且 AE=4EC,则=()A.34 -14 B.34 +14 C.45 -15 D.45 +15 答案 C 2.(2018 湖北孝感二模,8)设 D、E、F 分别为ABC 三边 BC、CA、AB 的中点,则+2+3=()A.12 B.32 C.12 D.32 答案 D 3.(2020 届百师联盟高三开学摸底联考,7)如图在梯形 ABCD 中,BC=2AD,DE=EC,设=a,=b,
4、则=()A.12a+14b B.13a+56bC.23a+23b D.12a+34b 答案 D 考点二 平面向量基本定理及坐标运算 1.(2018 海南海口模拟,5)已知两个非零向量 a 与 b,若 a+b=(-3,6),a-b=(-3,2),则 a2-b2的值为()A.-3 B.-24 C.21 D.12 答案 C 2.(2018 江西南昌二中月考,9)D 是ABC 所在平面内一点,=+(,R),则“01,00,b0,若 A,B,C三点共线,则1+2的最小值为()A.8 B.9 C.6 D.4 答案 A 4.(2019 河北六校第一次联考,14)已知向量 a=(4,-2),b=(x,-1),
5、c=(3,-4),若 ab,则(a+b)c=.答案 30 炼技法 提能力【方法集训】方法 1 平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法 1.(2019 湖南长沙第六次月考,6)已知 M 为ABC 内一点,=13 +14 ,则ABM 和ABC 的面积之比为()A.14 B.13 C.12 D.23 答案 A 2.(2018 河南郑州一模,9)如图,在ABC 中,N 为线段 AC 上靠近点 A 的三等分点,点 P 在线段 BN 上且=(+211)+211 ,则实数 m 的值为()A.1 B.13 C.911 D.511 答案 D 方法 2 平面向量基本定理的应用策略与坐标运算技巧 1.(2019 河
6、北 3 月质检,6)在ABC 中,O 为ABC 的重心.若=+,则-2=()A.-12 B.-1 C.43 D.-43 答案 D 2.(2018 吉林长春期中,15)向量,在正方形网格中的位置如图所示,若=+(,R),则=.答案 2 3.(2018 天津六校期中联考,16)已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),=5,2=10.(1)求 D 点的坐标;(2)若 D 点在第二象限,用,表示;(3)设=(m,2),若 3+与 垂直,求 的坐标.解析(1)设 D(x,y),由题意得=(1,2),=(x+1,y),=x+1+2y=5,2=(x+1)2+2=10,(3 分)即+2=4,(+1
7、)2+2=10,解得=-2,=3 或=2,=1.D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(5 分)(2)D 点在第二象限,D(-2,3).=(-1,3).设=k+n,=(-2,1),(-2,1)=k(1,2)+n(-1,3),(7 分)-2=-,1=2+3,=-1,=1,=-+.(9 分)(3)3+与 垂直,(3+)=0,(11 分)又3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),m+14=0,m=-14,的坐标为(-14,2).(13 分)【五年高考】A 组 统一命题课标卷题组 考点一 平面向量的概念及线性运算 1.(2018 课标,6,5 分)在ABC 中,AD 为 BC 边
8、上的中线,E 为 AD 的中点,则=()A.34 -14 B.14 -34 C.34 +14 D.14 +34 答案 A 2.(2015 课标,7,5 分)设 D 为ABC 所在平面内一点,=3,则()A.=-13 +43 B.=13 -43 C.=43 +13 D.=43 -13 答案 A 3.(2015 课标,13,5 分)设向量 a,b 不平行,向量 a+b 与 a+2b 平行,则实数=.答案 12 考点二 平面向量基本定理及坐标运算 1.(2016 课标,3,5 分)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则 m=()A.-8 B.-6 C.6 D.8 答案 D 2
9、.(2017 课标,12,5 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若=+,则+的最大值为()A.3 B.22 C.5 D.2 答案 A 3.(2018 课标,13,5 分)已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若 c(2a+b),则=.答案 12 B 组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 平面向量的概念及线性运算 (2015 陕西,7,5 分)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 答案
10、B 考点二 平面向量基本定理及坐标运算 1.(2019 浙江,17,6 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1.当每个 i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1+2+3+4+5+6|的最小值是 ,最大值是 .答案 0;25 2.(2017 江苏,12,5 分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为 1,1,2,与 的夹角为,且 tan=7,与 的夹角为 45.若=m+n(m,nR),则 m+n=.答案 3 3.(2015 北京,13,5 分)在ABC 中,点 M,N 满足=2,=.若=x+y,则 x=,y=.答案 12;-16 4.(2015 江苏,6,5 分)已知向量 a=(2,1),
11、b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,nR),则 m-n 的值为 .答案-3 C 组 教师专用题组 1.(2013 辽宁,3,5 分)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 同方向的单位向量为()A.(35,-45)B.(45,-35)C.(-35,45)D.(-45,35)答案 A 2.(2013 大纲全国,3)已知向量 m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则=()A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 答案 B 3.(2012 安徽,8)在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量 绕点 O 逆时针方向旋转34 后得向量,则点 Q
12、 的坐标是()A.(-72,-2)B.(-72,2)C.(-46,-2)D.(-46,2)答案 A 4.(2014 课标,15,5 分)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若=12(+),则 与 的夹角为 .答案 90 5.(2014 陕西,13,5 分)设 00,0),则4+1的最小值为()A.16 B.8 C.4 D.2 答案 A 7.(2019 河北衡水金卷(六),10)已知点 P 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且满足+2=0,+4=0,=+(,R),则=()A.76 B.-76 C.-13 D.13 答案 D 8.(2019 福建泉州四校第二次联考,11)如图,=2,=2,=m
13、,=n,若 m=38,那么 n=()A.34 B.23 C.45 D.58 答案 A 9.(2019 安徽黄山一模,12)如图,在ABC 中,BAC=3,=2,P 为 CD 上一点,且满足=m+12 ,若ABC的面积为 23,则|的最小值为()A.2 B.3 C.3 D.43 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)10.(2019 广东七校第二次联考,16)已知 G 为ABC 的重心,过点 G 的直线与边 AB,AC 分别相交于点 P,Q,若=35 ,则ABC 与APQ 面积的比值为 .答案 209 11.(2018 福建福州二模,16)如图,在平面四边形 ABCD 中,ABC=90,DCA=2BAC,若=x+y(x,yR),则 x-y 的值为 .答案-1