1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 六十 圆锥曲线中求值与证明问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知抛物线y2=2px(p0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=,则实数为()A.B.C.2D.3【解析】选C.把点A代入抛物线方程,得2=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0).设M,则=,=.由=,得,解得=2或=1(舍去).2.已知F1,F2是椭圆+=1的左右焦点,点A的坐标为,则F1AF2的平分线l所在直线
2、的斜率为()A.-2B.-1C.-D.-【解析】选A.因为A,可知A在椭圆上,又F1,F2是椭圆+=1的左右焦点,F1(-1,0),所以AF1x轴,所以|AF1|=,|AF2|=,所以点F2(1,0)关于F1AF2的平分线l对称的点F在线段AF1的延长线上,又|AF|=|AF2|=,|FF1|=1,所以F(-1,-1),线段FF2的中点,F1AF2的平分线l的斜率k=-2.3.已知双曲线C:x2-4y2=1的左焦点恰好在抛物线D:y2=2px(p0)的准线上,过点P(1,2)作两直线PA,PB分别与抛物线D交于A,B两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,则点A,B的纵坐标之和为()A.2B.4C
3、.-4D.4【解析】选C.C的左焦点F(-1,0),D的准线x=-,故p=2.运用极端化思想处理,当两直线PA,PB重合时,A,B的坐标均为(1,-2),点A,B的纵坐标之和为-4.一般性证明:设A,B,则kPA+kPB=0+=0+=0y1+y2=-4.4.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P,且P满足|PF1|-|PF2|=2b,则C的离心率e满足()A.e2-3e+1=0B.e4-3e2+1=0C.e2-e-1=0D.e4-e2-1=0【解析】选D.可设|PF1|=m,|PF2|=n,可得m-n=2b,
4、在直角三角形PF1F2中,m2+n2=4c2,由可得mn=2c2-2b2,由渐近线方程y=x和圆x2+y2=c2,可得P(a,b),由三角形的面积公式可得:mn=2cb,即c2-b2=cb,可得a2=cb,即有a4=c2(c2-a2)=c4-c2a2,由离心率e=可得1=e4-e2,即有e4-e2-1=0.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知点P(-1,-1),且点F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过点F且斜率为-2的直线l与该抛物线交于A,B两点.若=0,则p=_.【解析】因为F,直线l:y=-2=-2x+p,联立 消去y得4x2-6px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2
5、,y2),则x1+x2=p,x1x2= ,所以=(-1-x1)(-1-x2)+(-1-y1)(-1-y2)=1+x1x2+x1+x2+(p+1)2+ 4x1x2-2(p+1)(x1+x2)=5x1x2+(-1-2p)(x1+x2)+1+(p+1)2= +(-1-2p)p+1+(p+1)2=0,解得p=2.答案:26.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,满足=3,若SOAB=,则p=_.【解析】可得F,因为=3,所以yA=-3yB,因为A,B,F共线,所以=,=,解得|yB|=p,又SOAB=|yA-yB|=p|yB|=p2=,所以p=2.答案:27.过
6、抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,该抛物线的准线与x轴交于点M,若|AF|=4,则MAB的面积为_.【解析】 y2=4x的准线l:x=-1.因为|AF|=4,所以点A到准线l:x=-1的距离为4,所以1+xA=4,所以xA=3,所以yA=2,不妨设A(3,2),所以SAFM=22=2,因为F(1,0),所以直线AB的方程为y=(x-1),联立方程组解得B,所以SBFM=2=,所以SAMB=SAFM+SBFM=2+=.答案:8.设F为抛物线y2=2px的焦点,斜率为k(k0)的直线过F交抛物线于A,B两点,若|FA|=3|FB|,则直线AB的斜率为_.【解析】假设A在第一象限
7、,过A,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为D,E,过A作EB的垂线,垂足为C,则四边形ADEC为矩形,由抛物线定义可知|AD|=|AF|,|BE|=|BF|,又因为|FA|=3|FB|,所以|AD|=|CE|=3|BE|,即B为CE的三等分点,设|BF|=m,则|BC|=2m,|AF|=3m,|AB|=4m,即|AC|=m=2m,则tanABC=,即直线AB的斜率k=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线C:y2=2px(p0),直线y=x-1与C相交所得的弦长为8.(1)求p的值.(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛
8、物线C于N点,求证:直线MN过定点.【解析】(1)由,消x可得y2-2py-2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,所以弦长为=8,解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,设M,所以直线OM的方程为y=x,当x=-1时,yH=-,代入抛物线方程y2=4x,可得xN=,所以N,当,即y02时,直线MN的斜率k=,直线MN的方程为y-y0=,整理可得y=(x-1),故直线MN过定点(1,0).当=,即y0=2时,直线MN的方程为x=1,必过点(1,0),综上,直线MN过定点(1,0)10.已知抛物线E:y2=4x,圆C:(x-3)2+y2=1.(1)若过抛
9、物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程.(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使AMO=BMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题知抛物线E的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切,所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,所以圆心(3,0)到直线l的距离为d=,当直线l与圆相切时,有d=1=1k=,所以所求的切线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).(2)由(1)知,不妨设直线l:y=(x-1),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立方程组x2-14x+1=0,所以x1+x2=14,x1x2=1,假设存在点M(t,0)使AMO=BMO,则kAM+kBM=0.而kAM=,kBM=,所以kAM+kBM=+=0y1x2+y2x1-(y1+y2)t=02x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,即2-14-(14-2)t=0t=-1,故存在点M(-1,0)符合条件.当直线l:y=-(x-1)时由对称性易知点M(-1,0)也符合条件.综合可知在(1)的条件下,存在点M(-1,0)使AMO=BMO.关闭Word文档返回原板块